Fiche à trous · Première · Enseignement scientifique

La forme de la Terre

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Il y a plus de deux mille ans, un homme a mesuré la circonférence de la Terre sans quitter l'Égypte. Il lui a fallu deux choses : un angle, mesuré à l'ombre d'un bâton, et une distance entre deux villes. Le reste est une proportion — et le résultat est étonnamment proche de la valeur admise aujourd'hui.

La sphéricité, établie avant la mesure

Piège

Croire qu'établir la sphère terrestre supposait de la parcourir ou de la voir de l'espace.

Séparer ce qui établit la forme de ce qui en mesure les dimensions.

La mesure d'Ératosthène

Règle

Exemple

L'angle mesuré vaut 7,2° et la distance entre les deux villes 5000 stades. Quelle circonférence en déduire ?

Résultat :

Se repérer : latitude et longitude

Définition — Méridien, latitude, longitude :

Propriété

La sphère reste un modèle. La Terre est légèrement aplatie aux pôles, du fait de sa rotation, et son relief s'écarte localement de la surface théorique. Ces écarts sont petits — quelques dixièmes de pour cent sur les rayons — et négligeables pour les calculs de ce chapitre, mais ils comptent en géodésie et pour la navigation par satellite. Un modèle utile n'est pas un modèle exact.

Calculer une longueur sur un méridien

Ai-je distingué ce qui établit la sphère et ce qui la mesure ?
Ai-je posé la proportion entre l'angle et le tour complet ?
Ai-je vérifié que les points sont sur le même méridien ?
Ai-je contrôlé qu'un degré fait un peu plus de 111 km ?
Ai-je signalé que la sphère est un modèle approché ?

Corrigé · à détacher

La forme de la Terre

1. Ératosthène n'a pas mesuré la Terre en en faisant le tour : il a mesuré un angle et une distance, et le reste est une proportion. À midi au solstice, le Soleil est au zénith à Syène — un puits y est entièrement éclairé — tandis qu'à Alexandrie, sur le même méridien, un bâton porte une ombre correspondant à un angle d'environ 7,2°.
2. $\frac{angle}{360} = \frac{distance}{circonf e ˊ rence}$
3. On cherche combien de fois cet angle tient dans un tour complet :
4. La circonférence vaut donc cinquante fois la distance mesurée :
5. 250 000 stades — un résultat du bon ordre de grandeur, obtenu sans quitter l'Égypte.
6. Un méridien est un demi-grand cercle joignant les deux pôles ; tous les points d'un même méridien ont la même longitude. La latitude repère la position entre l'équateur et un pôle, de 0° à 90°. Deux points d'un même méridien ne diffèrent donc que par leur latitude, et c'est ce qui rend le calcul d'un arc immédiat entre eux.
7. Sur un méridien, la longueur d'un arc est proportionnelle à l'écart de latitude : un degré correspond au trois-cent-soixantième de la circonférence. Avec une circonférence d'environ 40 000 km, un degré de méridien fait donc un peu plus de 111 km. Ce repère permet de contrôler un résultat d'un coup d'œil.
8. Vérifier que les deux points sont bien sur le même méridien.
9. Calculer la différence de latitude, en degrés.
10. Poser la proportion entre cet angle et le tour complet.
11. Multiplier cette fraction par la circonférence pour obtenir la longueur de l'arc.
12. Contrôler l'ordre de grandeur : un degré de méridien fait un peu plus de cent kilomètres.