Programme en vigueur — arrêté du 2023, applicable en Première depuis la rentrée 2023. Voir le texte
La mesure d'Ératosthène. Méridiens, latitude, longitude. Circonférence et longueur d'un arc. Sphéricité et écarts au modèle.
La règle d'or
Ératosthène n'a pas mesuré la Terre en en faisant le tour : il a mesuré un angle et une distance, et le reste est une proportion.
L'erreur que tout le monde fait
Croire qu'établir la sphéricité de la Terre supposait de la parcourir ou de la voir de l'espace.
La sphéricité était admise dans l'Antiquité grecque à partir d'observations locales : l'ombre circulaire portée sur la Lune, la disparition progressive des navires à l'horizon, le changement de hauteur des étoiles avec la latitude. La mesure d'Ératosthène ne démontre pas la sphéricité, elle en tire une taille — et c'est une autre opération.
Séparer ce qui établit la forme de ce qui en mesure les dimensions.
Il y a plus de deux mille ans, un homme a mesuré la circonférence de la Terre sans quitter l'Égypte. Il lui a fallu deux choses : un angle, mesuré à l'ombre d'un bâton, et une distance entre deux villes. Le reste est une proportion — et le résultat est étonnamment proche de la valeur admise aujourd'hui.
1La sphéricité, établie avant la mesure
Piège
Croire qu'établir la sphère terrestre supposait de la parcourir ou de la voir de l'espace.
Pourquoi — La sphéricité était admise dans l'Antiquité grecque à partir d'observations locales : l'ombre circulaire que la Terre porte sur la Lune lors d'une éclipse, la disparition progressive des navires par la coque à l'horizon, le changement de hauteur des étoiles avec la latitude. La mesure d'Ératosthène ne démontre pas la sphéricité : elle en tire une taille, ce qui est une autre opération.
Le réflexe — Séparer ce qui établit la forme de ce qui en mesure les dimensions.
2La mesure d'Ératosthène
Règle
Ératosthène n'a pas mesuré la Terre en en faisant le tour : il a mesuré un angle et une distance, et le reste est une proportion. À midi au solstice, le Soleil est au zénith à Syène — un puits y est entièrement éclairé — tandis qu'à Alexandrie, sur le même méridien, un bâton porte une ombre correspondant à un angle d'environ 7,2°.
360angle=circonfeˊrencedistance
Exemple
L'angle mesuré vaut 7,2° et la distance entre les deux villes 5000 stades. Quelle circonférence en déduire ?
On cherche combien de fois cet angle tient dans un tour complet :360÷7,2=50
La circonférence vaut donc cinquante fois la distance mesurée :50×5000=250000
250 000 stades — un résultat du bon ordre de grandeur, obtenu sans quitter l'Égypte.
3Se repérer : latitude et longitude
Définition
Méridien, latitude, longitude — Un méridien est un demi-grand cercle joignant les deux pôles ; tous les points d'un même méridien ont la même longitude. La latitude repère la position entre l'équateur et un pôle, de 0° à 90°. Deux points d'un même méridien ne diffèrent donc que par leur latitude, et c'est ce qui rend le calcul d'un arc immédiat entre eux.
Propriété
Sur un méridien, la longueur d'un arc est proportionnelle à l'écart de latitude : un degré correspond au trois-cent-soixantième de la circonférence. Avec une circonférence d'environ 40 000 km, un degré de méridien fait donc un peu plus de 111 km. Ce repère permet de contrôler un résultat d'un coup d'œil.
La sphère reste un modèle. La Terre est légèrement aplatie aux pôles, du fait de sa rotation, et son relief s'écarte localement de la surface théorique. Ces écarts sont petits — quelques dixièmes de pour cent sur les rayons — et négligeables pour les calculs de ce chapitre, mais ils comptent en géodésie et pour la navigation par satellite. Un modèle utile n'est pas un modèle exact.
Calculer une longueur sur un méridien
Vérifier que les deux points sont bien sur le même méridien.
Calculer la différence de latitude, en degrés.
Poser la proportion entre cet angle et le tour complet.Un degré correspond au trois-cent-soixantième de la circonférence.
Multiplier cette fraction par la circonférence pour obtenir la longueur de l'arc.
Contrôler l'ordre de grandeur : un degré de méridien fait un peu plus de cent kilomètres.
▢Ai-je distingué ce qui établit la sphère et ce qui la mesure ?
▢Ai-je posé la proportion entre l'angle et le tour complet ?
▢Ai-je vérifié que les points sont sur le même méridien ?
▢Ai-je contrôlé qu'un degré fait un peu plus de 111 km ?
▢Ai-je signalé que la sphère est un modèle approché ?
L'essentiel en 8 points
·La sphéricité était établie avant la mesure, par des observations locales.
·Ératosthène mesure un angle et une distance, puis fait une proportion.
·360 ÷ 7,2 = 50 : la circonférence vaut 50 fois la distance.
·Méridien : demi-grand cercle joignant les pôles, même longitude.
·Latitude : de 0° à l'équateur à 90° au pôle.
·Circonférence ≈ 40 000 km ; un degré ≈ 111 km.
·L'arc est proportionnel à l'écart de latitude, sur un même méridien.
·La sphère est un modèle : la Terre est un peu aplatie aux pôles.
2
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Fiche PDF — La forme de la Terre
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Exercices corrigés
1
Notions. Répondre en une phrase précise.
Connaître
a.Citer deux observations antiques en faveur de la sphéricité.
b.Qu'a mesuré Ératosthène, exactement ?
c.Qu'est-ce qu'un méridien ?
d.Que repère la latitude ?
e.Combien de kilomètres fait un degré de méridien ?
›Voir le corrigéMasquer le corrigé
a. L'ombre circulaire portée par la Terre sur la Lune lors d'une éclipse, et la disparition des navires par la coque à l'horizon. On peut ajouter le changement de hauteur des étoiles avec la latitude.
b. Un angle — celui de l'ombre d'un bâton à Alexandrie quand le Soleil est au zénith à Syène — et une distance entre les deux villes. Rien de plus.
c. Un demi-grand cercle joignant les deux pôles. Tous ses points ont la même longitude.
d. La position entre l'équateur et un pôle, de 0° à 90°.
e. Un peu plus de 111 km, puisque 40 000 km de circonférence se répartissent sur 360°.
2
Refaire la mesure. On observe un angle de 7,2° entre deux villes du même méridien distantes de 800 km.
Calculer
a.Combien de fois cet angle tient-il dans un tour complet ?
b.En déduire la circonférence de la Terre.
c.Quelle longueur pour un degré de méridien ?
d.Deux villes du même méridien diffèrent de 3° de latitude. Quelle distance les sépare ?
e.Que faudrait-il vérifier avant d'appliquer ce calcul à deux villes quelconques ?
›Voir le corrigéMasquer le corrigé
a. Nombre de fois :360÷7,2=50
b. Circonférence, en kilomètres :50×800=40000
c. Longueur d'un degré :40000÷360≈111,1
d. Distance, en kilomètres :3×111,1≈333,3
e. Qu'elles sont sur le même méridien. Sinon l'écart de latitude ne suffit pas : il faudrait aussi tenir compte de la différence de longitude, et l'arc n'est plus celui d'un grand cercle méridien.
3
La méthode et ses limites. Argumenter.
Argumenter
a.Pourquoi la mesure ne démontre-t-elle pas la sphéricité ?
b.Quelle hypothèse le raisonnement fait-il sur les rayons solaires ?
c.Une erreur sur la distance entre les villes se répercute comment ?
d.En quoi la sphère est-elle un modèle approché ?
e.Ces écarts invalident-ils la méthode ? Justifier.
›Voir le corrigéMasquer le corrigé
a. Parce qu'elle la suppose : la proportion entre angle et arc n'a de sens que sur un cercle. La sphéricité était établie avant, par d'autres observations.
b. Qu'ils arrivent parallèles en tous points, ce qui revient à supposer le Soleil très éloigné. Sans cette hypothèse, l'angle mesuré ne serait pas celui du centre de la Terre.
c. Proportionnellement : la circonférence est cinquante fois cette distance, donc une erreur de 1 % sur la distance donne 1 % d'erreur sur le résultat. C'était la principale faiblesse de la mesure antique.
d. La Terre est légèrement aplatie aux pôles du fait de sa rotation, et son relief s'écarte localement de la surface théorique.
e. Non : les écarts sont de l'ordre de quelques dixièmes de pour cent, négligeables devant l'incertitude de la mesure antique. Ils comptent en géodésie et pour la navigation par satellite, pas ici.
Ce qui rapporte des points, ce qui en coûte
Séparer forme et dimensions4 ptsPerdu si : Faire démontrer la sphéricité par la mesure
Poser la proportion angle/tour5 ptsPerdu si : Multiplier au hasard
Vérifier l'appartenance au même méridien4 ptsPerdu si : Appliquer la formule à deux villes quelconques
Contrôler l'ordre de grandeur4 ptsPerdu si : Annoncer un degré à 11 km ou à 1110 km
Nommer une hypothèse du raisonnement3 ptsPerdu si : Présenter la mesure comme sans hypothèse
4
La méthode
Calculer une longueur sur un méridien
1
Vérifier que les deux points sont bien sur le même méridien.
2
Calculer la différence de latitude, en degrés.
3
Poser la proportion entre cet angle et le tour complet.
Un angle de un degré correspond au trois-cent-soixantième de la circonférence.
4
Multiplier cette fraction par la circonférence pour obtenir la longueur de l'arc.
5
Contrôler l'ordre de grandeur : un degré de méridien fait un peu plus de cent kilomètres.
5
Se tester
Touches 1 à 4
Les questions de ce chapitre ne sont pas encore disponibles. Voici un échantillon pour patienter.
Mathématiques4ème
Question 1
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 13 cm et un côté 5 cm. Combien mesure le troisième côté ?
Aucun compte requis — réponds, la correction s'affiche aussitôt.
Ce chapitre est au programme de Enseignement scientifique au lycée, en classe de Première, année du Bac de français. Il est défini par le Bulletin Officiel de l'Éducation nationale, le texte de référence qui fixe ce qui doit être enseigné dans chaque matière.
Que faut-il savoir sur La forme de la Terre ?+
La mesure d'Ératosthène. Méridiens, latitude, longitude. Circonférence et longueur d'un arc. Sphéricité et écarts au modèle. Les notions à maîtriser sont : Ératosthène, méridien, circonférence, latitude, sphère, arc.
Où télécharger la fiche PDF de La forme de la Terre ?+
Sur cette page, dans le bloc « Imprimer » : 3 documents à télécharger — le cours, les exercices et le corrigé — soit 5 pages au format A4, prêtes à imprimer. Le téléchargement est gratuit, immédiat, et ne demande ni compte ni adresse e-mail.
Le corrigé de La forme de la Terre est-il fourni ?+
Oui, et c'est un document à part : chaque exercice y est repris étape par étape, avec le barème détaillé en fin de fiche — ce qui est attendu, combien de points, et ce qui fait perdre le point. Un parent qui ne se souvient plus du programme peut corriger une copie avec.
La forme de la Terre peut-il tomber au Bac de français ?+
Ce chapitre fait partie du programme officiel de Première, il entre donc dans le périmètre du Bac de français. Le sujet exact varie chaque année et aucun chapitre n'est garanti, mais l'ensemble du programme de l'année est susceptible d'être évalué : mieux vaut ne pas parier sur des impasses.
Comment réviser La forme de la Terre efficacement ?+
Commence par lire la fiche de révision pour remettre la règle en place, puis enchaîne immédiatement sur le quiz de cette page. Répondre juste après avoir lu ne suffit pas : reviens sur le chapitre deux ou trois jours plus tard. C'est l'espacement des révisions, plus que leur durée, qui fait tenir une notion en mémoire. Une session de quinze minutes répétée vaut mieux qu'une heure unique.
Faut-il un compte pour s'entraîner sur La forme de la Terre ?+
Non. Les quiz, les corrections détaillées et les fiches de révision sont accessibles sans créer de compte et sans donner d'adresse e-mail. Le compte gratuit sert uniquement à conserver la progression d'un appareil à l'autre.