Fiche à trous · Première · Mathématiques

Dérivation — nombre dérivé, tangente et sens de variation

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Jusqu'ici, une fonction se décrivait par ses valeurs. La dérivation la décrit par sa vitesse de variation : à quelle allure elle monte ou descend en chaque point. C'est le même geste que lire un compteur de vitesse plutôt qu'un compteur kilométrique — et c'est ce qui permet enfin de démontrer un sens de variation ou un maximum, au lieu de le lire sur un graphique.

Du taux de variation au nombre dérivé

Définition — taux de variation :

Définition — nombre dérivé :

Règle

Exemple

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f (x) = x^{2}$ au point d'abscisse 2.

Résultat :

Calculer une dérivée

12.

Règle

Piège

Dériver $f (x) = x^{2} \times (3 x + 1)$ en écrivant $f^{'} (x) = 2 x \times 3 = 6 x$ .

nommer $u$ et $v$ avant de dériver, écrire $u^{'}$ et $v^{'}$ sur une ligne à part, puis appliquer $u^{'} v + u v^{'}$ sans réfléchir. Quand c'est possible, développer d'abord : c'est plus court et moins risqué.

Exemple

Dériver $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ sur $] 3; + \infty [$ .

Résultat :

Dérivée et sens de variation

Règle

Étudier les variations d'une fonction

Un extrémum local ne peut se produire qu'en un point où $f^{'}$ s'annule — mais l'inverse est faux, et c'est la nuance qui distingue une copie sûre. La fonction $x \mapsto x^{3}$ a une dérivée nulle en 0 et reste pourtant strictement croissante : sa dérivée $3 x^{2}$ est positive de part et d'autre. Ce qui fait un extrémum n'est pas l'annulation de $f^{'}$ , c'est son changement de signe.

Ai-je utilisé $f^{'} (a)$ pour la pente et $f (a)$ pour l'ordonnée de la tangente ?
Pour un produit ou un quotient, ai-je posé $u$ , $v$ , $u^{'}$ , $v^{'}$ avant de dériver ?
Dans le quotient, ai-je écrit $u^{'} v - u v^{'}$ dans cet ordre ?
Ai-je factorisé $f^{'}$ avant d'en chercher le signe ?
Mon tableau de variations donne-t-il les valeurs de $f$ , et non de $f^{'}$ ?
Ai-je vérifié le changement de signe avant de conclure à un extrémum ?

Corrigé · à détacher

Dérivation — nombre dérivé, tangente et sens de variation

1. Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a + h$ est le quotient $\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ . Géométriquement, c'est le coefficient directeur de la sécante qui joint les deux points de la courbe : de combien la fonction monte, rapporté au chemin horizontal parcouru. C'est une pente moyenne sur un intervalle, pas une pente en un point.
2. $τ (h) = \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$
3. Lorsque $h$ tend vers 0, la sécante bascule vers la tangente, et le taux de variation tend vers un nombre appelé nombre dérivé de $f$ en $a$ , noté $f^{'} (a)$ . C'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ : une vitesse instantanée et non plus moyenne. Une fonction admettant un tel nombre en $a$ est dite dérivable en $a$ .
4. $f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$
5. La tangente est la position limite des sécantes quand h tend vers 0.
6. La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ . Deux ingrédients seulement, et il faut les deux : $f^{'} (a)$ donne la pente, $f (a)$ ancre la droite au bon point. Une tangente calculée avec la bonne pente mais la mauvaise ordonnée est une droite parallèle à la tangente — ce qui ne vaut aucun point.
7. $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$
8. On dérive : $f^{'} (x) = 2 x$ , puis on évalue en 2.
9. On calcule l'ordonnée du point de contact.
10. On reporte dans la formule : $y = 4 (x - 2) + 4$ .
11. $y = 4 x - 4$
12. Les dérivées usuelles, à connaître sans hésitation.
13. Les opérations se dérivent selon quatre règles. La somme se dérive terme à terme : $(f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}$ . Une constante multiplicative se conserve : $(k f)^{'} = k f^{'}$ . Le produit ne se dérive pas terme à terme : $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ . Le quotient non plus : $(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$ , et l'ordre du numérateur compte — l'inverser change le signe du résultat.
14. $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}; (\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$
15. On pose $u = 2 x + 1$ et $v = x - 3$ , d'où $u^{'} = 2$ et $v^{'} = 1$ .
16. On applique $\frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ : le numérateur vaut $2 (x - 3) - (2 x + 1)$ .
17. On conclut.
18. $f^{'} (x) = \frac{- 7}{( x - 3 ) ^{2}}$ , strictement négative : $f$ est décroissante sur cet intervalle.
19. C'est le théorème qui donne tout son intérêt au chapitre. Sur un intervalle, si $f^{'} > 0$ alors $f$ est strictement croissante ; si $f^{'} < 0$ , strictement décroissante ; si $f^{'} = 0$ partout, constante. Étudier les variations d'une fonction revient donc à étudier le signe de sa dérivée — un problème de signe, souvent un trinôme, dont on sait déjà tout faire.
20. Donner l'ensemble de définition, et l'intervalle d'étude s'il est imposé.
21. Calculer $f^{'} (x)$ , puis la factoriser ou la réduire au même dénominateur : on ne peut étudier le signe que d'un produit ou d'un quotient, jamais d'une somme.
22. Résoudre $f^{'} (x) = 0$ et déterminer le signe de $f^{'}$ — discriminant, tableau de signe, ou signe évident si le dénominateur est un carré.
23. Dresser le tableau de variations : ligne des $x$ , ligne du signe de $f^{'}$ , ligne des flèches, et les valeurs de $f$ aux bornes et aux points où $f^{'}$ s'annule.