Dérivation — Nombre dérivé et fonctions dérivées

taux de variation — Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est le quotient $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$. Géométriquement, c'est le coefficient directeur de la sécante qui joint les deux points de la courbe : de combien la fonction monte, rapporté au chemin horizontal parcouru. C'est une pente moyenne sur un intervalle, pas une pente en un point.

nombre dérivé — Lorsque $h$ tend vers 0, la sécante bascule vers la tangente, et le taux de variation tend vers un nombre appelé nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f^{\prime }(a)$. C'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ : une vitesse instantanée et non plus moyenne. Une fonction admettant un tel nombre en $a$ est dite dérivable en $a$.

La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$. Deux ingrédients seulement, et il faut les deux : $f^{\prime }(a)$ donne la pente, $f(a)$ ancre la droite au bon point. Une tangente calculée avec la bonne pente mais la mauvaise ordonnée est une droite parallèle à la tangente — ce qui ne vaut aucun point.

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x)=x^2$ au point d'abscisse 2.

1. On dérive : $f^{\prime }(x)=2x$, puis on évalue en 2.$2\times 2=4$
2. On calcule l'ordonnée du point de contact.$2^2=4$
3. On reporte dans la formule : $y=4(x-2)+4$.$-4\times 2+4=-4$en développant, la constante vaut $-4$.

$y=4x-4$

Les opérations se dérivent selon quatre règles. La somme se dérive terme à terme : $(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$. Une constante multiplicative se conserve : $(kf{)}^{\prime }=k{f}^{\prime }$. Le produit ne se dérive pas terme à terme : $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$. Le quotient non plus : ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$, et l'ordre du numérateur compte — l'inverser change le signe du résultat.

Dériver $f(x)=\frac{2x+1}{x-3}$ sur $]3;+\infty [$.

1. On pose $u=2x+1$ et $v=x-3$, d'où $u^{\prime }=2$ et $v^{\prime }=1$.$2\times 1=2$
2. On applique $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ : le numérateur vaut $2(x-3)-(2x+1)$.$-6-1=-7$les termes en $x$ se simplifient : $2x-2x=0$, il ne reste que les constantes.
3. On conclut.$0-7=-7$

$f^{\prime }(x)=\frac{-7}{(x-3{)}^2}$, strictement négative : $f$ est décroissante sur cet intervalle.

C'est le théorème qui donne tout son intérêt au chapitre. Sur un intervalle, si $f^{\prime }>0$ alors $f$ est strictement croissante ; si $f^{\prime }<0$, strictement décroissante ; si $f^{\prime }=0$ partout, constante. Étudier les variations d'une fonction revient donc à étudier le signe de sa dérivée — un problème de signe, souvent un trinôme, dont on sait déjà tout faire.

Étudier les variations d'une fonction

1. Donner l'ensemble de définition, et l'intervalle d'étude s'il est imposé.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$, puis la factoriser ou la réduire au même dénominateur : on ne peut étudier le signe que d'un produit ou d'un quotient, jamais d'une somme.
3. Résoudre $f^{\prime }(x)=0$ et déterminer le signe de $f^{\prime }$ — discriminant, tableau de signe, ou signe évident si le dénominateur est un carré.
4. Dresser le tableau de variations : ligne des $x$, ligne du signe de $f^{\prime }$, ligne des flèches, et les valeurs de $f$ aux bornes et aux points où $f^{\prime }$ s'annule.les valeurs remarquables se calculent avec $f$, jamais avec $f^{\prime }$ — c'est une confusion fréquente en fin de tableau.