Fiche à trous · Première · Mathématiques

Fonctions trigonométriques — cercle, formules d'addition et équations

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En seconde, le sinus et le cosinus étaient des rapports dans un triangle rectangle : ils n'existaient que pour des angles aigus. Le cercle trigonométrique les libère de cette contrainte. Ils deviennent les coordonnées d'un point qui tourne, définies pour tout réel, et deviennent du même coup des fonctions — que l'on peut dériver, dont on peut étudier les variations, et qui décrivent tout ce qui se répète : une marée, un courant alternatif, un battement.

Le cercle trigonométrique

Définition — cosinus et sinus d'un réel :

Règle

Les valeurs remarquables ne se retiennent pas une par une : la ligne des sinus est celle des cosinus lue à l'envers. En écrivant les numérateurs $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ sur 2 pour le sinus de $0$ à $\frac{π}{2}$ , on obtient $0$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{2}{2}$ , $\frac{3}{2}$ , $1$ — cinq valeurs, une seule règle, et le cosinus se lit en remontant la même ligne.

Les formules d'addition

Règle

Piège

Écrire $cos (a + b) = cos a + cos b$ .

au moindre doute, tester sur $0$ et sur $\frac{π}{2}$ . Une formule fausse tombe en trois secondes ; une formule juste survit, et l'on continue en confiance.

Exemple

Calculer la valeur exacte de $cos \frac{π}{12}$ .

Résultat :

Les fonctions sinus et cosinus

Propriété

15.

Résoudre une équation trigonométrique

Résoudre $\cos x = a$ ou $\sin x = a$

Exemple

Résoudre $cos x = \frac{1}{2}$ sur $[0; 2 π]$ .

Résultat :

Ai-je vérifié que la valeur cherchée est bien dans $[- 1; 1]$ ?
Ai-je donné les deux solutions du tour, et non une seule ?
Ai-je utilisé $- α$ pour un cosinus et $π - α$ pour un sinus ?
Ai-je ajouté $2 k π$ , ou restreint à l'intervalle demandé ?
Dans $cos (a + b)$ , ai-je bien inversé le signe entre les deux produits ?
Ai-je écrit le signe moins dans $(cos x)^{'} = - sin x$ ?

Corrigé · à détacher

Fonctions trigonométriques — cercle, formules d'addition et équations

1. On enroule la droite des réels sur le cercle de centre $O$ et de rayon 1. Tout réel $x$ vient alors se poser en un point $M$ du cercle, appelé son point image. Par définition, $cos x$ est l'abscisse de $M$ et $sin x$ son ordonnée. Le théorème de Pythagore appliqué au rayon donne immédiatement l'identité fondamentale $cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ , vraie pour tout réel sans exception.
2. $cos^{2} x + sin^{2} x = 1$
3. Le cercle trigonométrique, les valeurs remarquables et les trois identités à connaître.
4. Trois propriétés se lisent directement sur le cercle et évitent presque tous les calculs. La périodicité : ajouter un tour complet ramène au même point, donc $cos (x + 2 π) = cos x$ et $sin (x + 2 π) = sin x$ . La parité : $- x$ est le symétrique de $x$ par rapport à l'axe des abscisses, donc le cosinus est pair et le sinus impair. Enfin, $cos x$ et $sin x$ sont toujours compris entre $- 1$ et 1 — une équation $cos x = 2$ n'a donc aucune solution, et le dire suffit à la résoudre.
5. $cos (- x) = cos x; sin (- x) = - sin x$
6. Le cosinus et le sinus ne se distribuent pas sur une somme : il faut ces formules, et elles sont au programme. Deux signes sont à surveiller — le cosinus inverse le signe, le sinus le conserve. En posant $b = a$ , on obtient les formules de duplication, dont on tire les deux formes utiles à la linéarisation : $cos^{2} a = \frac{1 + cos 2 a}{2}$ et $sin^{2} a = \frac{1 - cos 2 a}{2}$ , qui abaissent un carré en un cosinus de degré un.
7. $cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b; sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b$
8. On écrit $\frac{π}{12}$ comme une différence de deux angles remarquables : $\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$ .
9. Donc $\frac{π}{12} = \frac{π}{3} - \frac{π}{4}$ , et l'on applique $cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b$ .
10. Le premier produit vaut $\frac{1}{2} \times \frac{2}{2} = \frac{2}{4}$ , le second $\frac{3}{2} \times \frac{2}{2} = \frac{6}{4}$ .
11. On additionne les deux fractions, qui ont déjà le même dénominateur.
12. $cos \frac{π}{12} = \frac{2 + 6}{4}$
13. Les fonctions $x \mapsto cos x$ et $x \mapsto sin x$ sont définies et dérivables sur $R$ , de dérivées $(sin x)^{'} = cos x$ et $(cos x)^{'} = - sin x$ — le signe moins est la seule chose à ne pas oublier. Elles sont périodiques de période $2 π$ , ce qui permet de n'étudier qu'un intervalle de longueur $2 π$ et de reproduire ensuite la courbe par translations. La parité réduit encore le travail : il suffit d'étudier le cosinus sur $[0; π]$ , puis de compléter par symétrie.
14. $(sin x)^{'} = cos x; (cos x)^{'} = - sin x$
15. Les deux courbes ont la même forme, décalées d'un quart de période.
16. Vérifier que $a$ est entre $- 1$ et 1. Sinon, il n'y a aucune solution, et c'est la réponse complète.
17. Trouver une solution évidente $α$ parmi les valeurs remarquables : c'est presque toujours ce qu'attend l'énoncé.
18. Ajouter la seconde solution du tour, donnée par la symétrie. Pour un cosinus, c'est $- α$ — symétrie par rapport à l'axe des abscisses. Pour un sinus, c'est $π - α$ — symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
19. Ajouter $2 k π$ , avec $k$ entier, à chacune des deux familles — sauf si l'énoncé restreint l'intervalle, auquel cas on ne retient que les solutions qui y tombent.
20. La valeur $\frac{1}{2}$ est bien entre $- 1$ et 1, et c'est une valeur remarquable : $cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ .
21. La seconde solution du tour est $- \frac{π}{3}$ , qu'on ramène dans l'intervalle en ajoutant $2 π$ : $2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$ .
22. Les deux solutions de l'intervalle sont donc $\frac{π}{3}$ et $\frac{5 π}{3}$ .
23. $S = {\frac{π}{3}; \frac{5 π}{3}}$