Fonctions trigonométriques — sin, cos et tan

cosinus et sinus d'un réel — On enroule la droite des réels sur le cercle de centre $O$ et de rayon 1. Tout réel $x$ vient alors se poser en un point $M$ du cercle, appelé son point image. Par définition, $\cos x$ est l'abscisse de $M$ et $\sin x$ son ordonnée. Le théorème de Pythagore appliqué au rayon donne immédiatement l'identité fondamentale ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$, vraie pour tout réel sans exception.

Trois propriétés se lisent directement sur le cercle et évitent presque tous les calculs. La périodicité : ajouter un tour complet ramène au même point, donc $\cos (x+2\pi )=\cos x$ et $\sin (x+2\pi )=\sin x$. La parité : $-x$ est le symétrique de $x$ par rapport à l'axe des abscisses, donc le cosinus est pair et le sinus impair. Enfin, $\cos x$ et $\sin x$ sont toujours compris entre $-1$ et 1 — une équation $\cos x=2$ n'a donc aucune solution, et le dire suffit à la résoudre.

Le cosinus et le sinus ne se distribuent pas sur une somme : il faut ces formules, et elles sont au programme. Deux signes sont à surveiller — le cosinus inverse le signe, le sinus le conserve. En posant $b=a$, on obtient les formules de duplication, dont on tire les deux formes utiles à la linéarisation : ${\cos }^{2}a=\frac{1+\cos 2a}{2}$ et ${\sin }^{2}a=\frac{1-\cos 2a}{2}$, qui abaissent un carré en un cosinus de degré un.

Calculer la valeur exacte de $\cos \frac{\pi }{12}$.

1. On écrit $\frac{\pi }{12}$ comme une différence de deux angles remarquables : $\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$.$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$
2. Donc $\frac{\pi }{12}=\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}$, et l'on applique $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$.
3. Le premier produit vaut $\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$, le second $\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}$.$\sqrt{3}\times \sqrt{2}=\sqrt{6}$.
4. On additionne les deux fractions, qui ont déjà le même dénominateur.

$\cos \frac{\pi }{12}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

Les fonctions $x\mapsto \cos x$ et $x\mapsto \sin x$ sont définies et dérivables sur $\mathbb{R}$, de dérivées $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ et $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$ — le signe moins est la seule chose à ne pas oublier. Elles sont périodiques de période $2\pi$, ce qui permet de n'étudier qu'un intervalle de longueur $2\pi$ et de reproduire ensuite la courbe par translations. La parité réduit encore le travail : il suffit d'étudier le cosinus sur $[0;\pi ]$, puis de compléter par symétrie.

Résoudre $\cos x = a$ ou $\sin x = a$

1. Vérifier que $a$ est entre $-1$ et 1. Sinon, il n'y a aucune solution, et c'est la réponse complète.
2. Trouver une solution évidente $\alpha$ parmi les valeurs remarquables : c'est presque toujours ce qu'attend l'énoncé.
3. Ajouter la seconde solution du tour, donnée par la symétrie. Pour un cosinus, c'est $-\alpha$ — symétrie par rapport à l'axe des abscisses. Pour un sinus, c'est $\pi -\alpha$ — symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.c'est là que se perdent les points : une seule des deux solutions est donnée, et la moitié de la réponse manque.
4. Ajouter $2k\pi$, avec $k$ entier, à chacune des deux familles — sauf si l'énoncé restreint l'intervalle, auquel cas on ne retient que les solutions qui y tombent.

Résoudre $\cos x=\frac{1}{2}$ sur $[0;2\pi ]$.

1. La valeur $\frac{1}{2}$ est bien entre $-1$ et 1, et c'est une valeur remarquable : $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$.
2. La seconde solution du tour est $-\frac{\pi }{3}$, qu'on ramène dans l'intervalle en ajoutant $2\pi$ : $2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$.$2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$
3. Les deux solutions de l'intervalle sont donc $\frac{\pi }{3}$ et $\frac{5\pi }{3}$.contrôle : les deux points images sont bien symétriques par rapport à l'axe des abscisses, et ont donc la même abscisse.

$S=\left\{\frac{\pi }{3};\frac{5\pi }{3}\right\}$