Fiche à trous · Première · Mathématiques

Géométrie dans l'espace — solides, positions relatives et sections

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Dans le plan, deux droites qui ne se coupent pas sont parallèles. Dans l'espace, c'est faux — et cette seule phrase contient la moitié des erreurs du chapitre. Deux arêtes d'un cube peuvent parfaitement n'avoir aucun point commun sans être parallèles : elles ne sont simplement pas dans le même plan. Raisonner dans l'espace, c'est d'abord se demander, à chaque étape, si les objets qu'on compare sont coplanaires.

Les solides usuels

Règle

Exemple

Un silo est formé d'un cylindre de rayon 5 m et de hauteur 10 m, surmonté d'une demi-sphère de même rayon. Calculer son volume exact.

Résultat :

Droites et plans

Règle

Définition — droites orthogonales :

12.

Piège

Conclure que deux droites sans point commun sont parallèles.

avant de conclure au parallélisme, exhiber le plan qui contient les deux droites. Si l'on n'en trouve pas — par exemple une face ou un plan diagonal du solide —, elles ne sont pas coplanaires.

Propriété

Sections planes

Construire la section d'un solide par un plan

Deux sections reviennent constamment. Un cône ou une pyramide coupés par un plan parallèle à la base donnent une figure semblable à la base : si le rapport de réduction est $k$ , les longueurs sont multipliées par $k$ , les aires par $k^{2}$ et les volumes par $k^{3}$ . Une sphère coupée par un plan donne toujours un cercle, dont le rayon diminue à mesure que le plan s'éloigne du centre — c'est pourquoi un ballon, quelle que soit la façon dont on le tranche, ne donne jamais autre chose qu'un disque.

Se repérer dans l'espace

Définition — coordonnées dans l'espace :

La distance d'un point à un plan est la plus courte de toutes les distances de ce point aux points du plan : c'est celle mesurée perpendiculairement. Lorsque le plan est l'un des plans de coordonnées, elle se lit sans aucun calcul — la distance de $M (x; y; z)$ au plan horizontal $(O x y)$ vaut $∣ z ∣$ , puisque se déplacer dans ce plan ne change que $x$ et $y$ . C'est aussi la hauteur à employer dans un volume de pyramide : la hauteur d'une pyramide est la distance du sommet au plan de la base, jamais la longueur d'une arête latérale.

Avant de conclure « parallèles », ai-je exhibé le plan contenant les deux droites ?
Ai-je distingué orthogonales (angle droit) et perpendiculaires (en plus sécantes) ?
Ai-je relié deux points d'une section seulement lorsqu'ils sont sur une même face ?
Dans une réduction de rapport $k$ : longueurs $\times k$ , aires $\times k^{2}$ , volumes $\times k^{3}$ ?
Ai-je gardé $π$ jusqu'au dernier calcul ?
La hauteur employée est-elle bien la distance au plan de base, et non une arête ?

Corrigé · à détacher

Géométrie dans l'espace — solides, positions relatives et sections

1. Les volumes se rangent en deux familles, et la mémoire n'a qu'une chose à retenir : tout ce qui se termine en pointe vaut un tiers de ce qui ne pointe pas. Un cylindre vaut sa base multipliée par sa hauteur ; un cône de même base et même hauteur en vaut le tiers. Un prisme vaut base × hauteur ; une pyramide de même base et même hauteur en vaut le tiers. La sphère est à part : $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ pour le volume, $A = 4 π r^{2}$ pour l'aire — le rayon au cube d'un côté, au carré de l'autre, et jamais l'inverse.
2. $V_{c \overset{o}{ˆ} ne} = \frac{π r ^{2} h}{3}; V_{sph \overset{e}{ˋ} re} = \frac{4}{3} π r^{3}$
3. Les volumes usuels, et la règle du tiers pour les solides pointus.
4. Le cylindre vaut $π r^{2} h$ , avec $r^{2} = 25$ .
5. La demi-sphère vaut la moitié de $\frac{4}{3} π r^{3}$ , donc $\frac{2}{3} π r^{3}$ , avec $r^{3} = 125$ .
6. Cela donne $\frac{250}{3} π$ m³.
7. On additionne en mettant au même dénominateur : $250 = \frac{750}{3}$ .
8. D'où le total.
9. $V = \frac{1000 π}{3}$ m³, soit environ 1 047 m³.
10. Deux droites de l'espace relèvent de trois cas, et de trois seulement. Si elles sont coplanaires, elles sont soit sécantes — un point commun —, soit parallèles — aucun. Si elles ne sont pas coplanaires, elles n'ont aucun point commun et ne sont pas parallèles : il n'existe aucun plan qui les contienne toutes deux. Une droite et un plan sont sécants en un point, ou parallèles. Deux plans sont sécants selon une droite — jamais en un seul point — ou parallèles.
11. Deux droites de l'espace sont orthogonales lorsque leurs directions font un angle droit, qu'elles se coupent ou non. Le mot perpendiculaires est réservé au cas où elles sont en plus sécantes. La distinction n'est pas un caprice de vocabulaire : dans un cube, l'arête $(A B)$ et l'arête $(C G)$ sont orthogonales sans avoir le moindre point commun, et écrire « perpendiculaires » serait faux.
12. Les trois positions relatives de deux droites, lues sur un cube.
13. Deux propriétés suffisent à démontrer presque tous les parallélismes du programme. Si deux droites sont parallèles à une même troisième, elles sont parallèles entre elles. Et si une droite $d$ est parallèle à une droite $d^{'}$ contenue dans un plan $P$ , alors $d$ est parallèle à $P$ . Pour démontrer qu'une droite est parallèle à un plan, on cherche donc une droite du plan qui lui soit parallèle — une seule suffit.
14. Repérer les points déjà donnés sur les faces, et les relier deux à deux quand ils sont sur une même face — jamais autrement : un segment de la section vit dans une face.
15. Utiliser le parallélisme des faces : deux faces parallèles coupées par un même plan donnent deux segments parallèles. C'est ce qui permet de compléter la figure sans nouveau point.
16. Prolonger les arêtes si nécessaire pour obtenir un point d'intersection supplémentaire, puis revenir dans le solide.
17. Nommer le polygone obtenu et justifier sa nature.
18. Un repère de l'espace est la donnée d'une origine et de trois axes non coplanaires. Tout point s'y écrit alors $M (x; y; z)$ : deux coordonnées situent le point dans le plan horizontal, la troisième donne sa hauteur. Dans un repère orthonormé, la distance entre deux points s'obtient par un Pythagore appliqué deux fois, et le milieu se calcule coordonnée par coordonnée, exactement comme dans le plan.
19. $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$