Géométrie dans l'espace

Les volumes se rangent en deux familles, et la mémoire n'a qu'une chose à retenir : tout ce qui se termine en pointe vaut un tiers de ce qui ne pointe pas. Un cylindre vaut sa base multipliée par sa hauteur ; un cône de même base et même hauteur en vaut le tiers. Un prisme vaut base × hauteur ; une pyramide de même base et même hauteur en vaut le tiers. La sphère est à part : $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ pour le volume, $\mathcal{A}=4\pi r^2$ pour l'aire — le rayon au cube d'un côté, au carré de l'autre, et jamais l'inverse.

Un silo est formé d'un cylindre de rayon 5 m et de hauteur 10 m, surmonté d'une demi-sphère de même rayon. Calculer son volume exact.

1. Le cylindre vaut $\pi r^{2}h$, avec $r^2=25$.$25\times 10=250$soit $250\pi$ m³.
2. La demi-sphère vaut la moitié de $\frac{4}{3}\pi r^3$, donc $\frac{2}{3}\pi r^3$, avec $r^3=125$.$5^3=125$
3. Cela donne $\frac{250}{3}\pi$ m³.$2\times 125=250$
4. On additionne en mettant au même dénominateur : $250=\frac{750}{3}$.$250\times 3=750$
5. D'où le total.$750+250=1000$$\frac{1000\pi }{3}\approx 1047$ m³. On garde $\pi$ jusqu'au bout : arrondir en cours de route déplace le résultat.

$V=\frac{1000\pi }{3}$ m³, soit environ 1 047 m³.

Deux droites de l'espace relèvent de trois cas, et de trois seulement. Si elles sont coplanaires, elles sont soit sécantes — un point commun —, soit parallèles — aucun. Si elles ne sont pas coplanaires, elles n'ont aucun point commun et ne sont pas parallèles : il n'existe aucun plan qui les contienne toutes deux. Une droite et un plan sont sécants en un point, ou parallèles. Deux plans sont sécants selon une droite — jamais en un seul point — ou parallèles.

droites orthogonales — Deux droites de l'espace sont orthogonales lorsque leurs directions font un angle droit, qu'elles se coupent ou non. Le mot perpendiculaires est réservé au cas où elles sont en plus sécantes. La distinction n'est pas un caprice de vocabulaire : dans un cube, l'arête $(AB)$ et l'arête $(CG)$ sont orthogonales sans avoir le moindre point commun, et écrire « perpendiculaires » serait faux.

Deux propriétés suffisent à démontrer presque tous les parallélismes du programme. Si deux droites sont parallèles à une même troisième, elles sont parallèles entre elles. Et si une droite $d$ est parallèle à une droite $d^{\prime }$ contenue dans un plan $\mathcal{P}$, alors $d$ est parallèle à $\mathcal{P}$. Pour démontrer qu'une droite est parallèle à un plan, on cherche donc une droite du plan qui lui soit parallèle — une seule suffit.

Construire la section d'un solide par un plan

1. Repérer les points déjà donnés sur les faces, et les relier deux à deux quand ils sont sur une même face — jamais autrement : un segment de la section vit dans une face.
2. Utiliser le parallélisme des faces : deux faces parallèles coupées par un même plan donnent deux segments parallèles. C'est ce qui permet de compléter la figure sans nouveau point.
3. Prolonger les arêtes si nécessaire pour obtenir un point d'intersection supplémentaire, puis revenir dans le solide.
4. Nommer le polygone obtenu et justifier sa nature.la section d'un cube par un plan peut être un triangle, un quadrilatère, jusqu'à un hexagone — le nombre de côtés ne dépasse jamais le nombre de faces coupées.

coordonnées dans l'espace — Un repère de l'espace est la donnée d'une origine et de trois axes non coplanaires. Tout point s'y écrit alors $M(x;y;z)$ : deux coordonnées situent le point dans le plan horizontal, la troisième donne sa hauteur. Dans un repère orthonormé, la distance entre deux points s'obtient par un Pythagore appliqué deux fois, et le milieu se calcule coordonnée par coordonnée, exactement comme dans le plan.