Fiche à trous · Première · Mathématiques

Probabilités — schéma de Bernoulli et loi binomiale

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Un contrôle qualité tire vingt pièces d'une chaîne où 2 % sont défectueuses. Combien en trouvera-t-on de mauvaises ? La réponse n'est pas un nombre mais une loi : une probabilité pour chaque résultat possible. La loi binomiale est l'outil qui la donne, et elle s'applique dès qu'on répète la même expérience un nombre fixé de fois, sans que les répétitions s'influencent.

Répéter la même épreuve

Définition — épreuve de Bernoulli :

Règle

La loi binomiale

Définition — loi binomiale :

Définition — coefficient binomial :

Exemple

Un dé équilibré est lancé 5 fois. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement deux fois un 6 ?

Résultat :

Piège

Écrire $P (X = 2) = (\frac{1}{6})^{2} \times (\frac{5}{6})^{3}$ sans le coefficient.

se demander si l'ordre est imposé. Si l'énoncé dit « exactement $k$ fois » sans préciser quand, il y a un coefficient — toujours.

Espérance, et calcul à la calculatrice

Propriété

Calculer une probabilité binomiale

Exemple

Une chaîne produit 2 % de pièces défectueuses. On prélève au hasard un lot de 20 pièces dans une production très nombreuse. Quelle est la probabilité qu'au moins une soit défectueuse, et combien en attend-on en moyenne ?

Résultat :

Ai-je nommé le succès et donné sa probabilité ?
Ai-je vérifié que les épreuves sont identiques et indépendantes ?
Ai-je écrit la phrase « $X$ suit la loi binomiale de paramètres… » ?
Ai-je mis le coefficient binomial devant le produit des puissances ?
Les deux exposants totalisent-ils bien $n$ ?
Pour « au moins un », ai-je utilisé l'événement contraire ?

Corrigé · à détacher

Probabilités — schéma de Bernoulli et loi binomiale

1. Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues seulement, qu'on convient d'appeler succès — de probabilité $p$ — et échec — de probabilité $1 - p$ . Le mot « succès » n'a rien d'élogieux : dans un contrôle qualité, le succès est la pièce défectueuse, puisque c'est elle qu'on compte. C'est l'énoncé qui décide, et le premier geste d'un exercice est de dire explicitement ce que l'on appelle succès.
2. $P (succ \overset{e}{ˋ} s) = p; P (\overset{e}{ˊ} chec) = 1 - p$
3. Un schéma de Bernoulli est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques — même probabilité de succès à chaque fois — et indépendantes — le résultat d'une épreuve ne change pas les suivantes. Ces deux conditions sont à vérifier, pas à supposer : un tirage avec remise les respecte, un tirage sans remise ne les respecte pas, puisque la composition change à chaque tirage. C'est la faute qui invalide le plus souvent un raisonnement juste par ailleurs.
4. Deux répétitions : chaque chemin a sa probabilité, et plusieurs chemins donnent le même nombre de succès.
5. Dans un schéma de $n$ épreuves de Bernoulli de paramètre $p$ , la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , notée $B (n; p)$ . Elle prend ses valeurs de 0 à $n$ , et sa probabilité s'obtient en multipliant la probabilité d'un chemin par le nombre de chemins qui réalisent $k$ succès.
6. $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$
7. Le coefficient binomial $(k n)$ , lu « $k$ parmi $n$ », est le nombre de chemins de l'arbre comportant exactement $k$ succès parmi $n$ épreuves. Il se lit sur le triangle de Pascal, où chaque nombre est la somme des deux qui le surmontent, ou se calcule directement à la calculatrice. Deux valeurs se retiennent : $(0 n) = 1$ — un seul chemin sans aucun succès — et $(1 n) = n$ .
8. $(k n) = (n - k n)$
9. Le triangle de Pascal : la ligne n donne tous les coefficients de n épreuves.
10. Le succès est « obtenir un 6 », de probabilité $\frac{1}{6}$ ; les lancers sont identiques et indépendants, donc $X$ suit $B (5; \frac{1}{6})$ .
11. On lit le coefficient sur la ligne 5 du triangle de Pascal, à la place $k = 2$ .
12. On applique la formule : $10 \times (\frac{1}{6})^{2} \times (\frac{5}{6})^{3}$ . Le premier facteur donne $\frac{1}{36}$ , le second $\frac{125}{216}$ .
13. Le dénominateur total vaut $36 \times 216$ , et le numérateur $10 \times 125$ .
14. On termine le quotient.
15. Environ 0,161, soit un peu plus de 16 %.
16. L'espérance d'une variable suivant $B (n; p)$ vaut $E (X) = n p$ . C'est le nombre moyen de succès qu'on obtiendrait en répétant l'expérience un très grand nombre de fois — et le résultat n'a aucune raison d'être entier : une espérance de $0, 4$ pièce défectueuse ne veut pas dire qu'on en trouve un peu moins d'une, mais qu'en moyenne, sur beaucoup de lots, il y en a 0,4 par lot.
17. $E (X) = n p$
18. Nommer le succès et donner sa probabilité $p$ , puis vérifier les deux conditions : épreuves identiques, épreuves indépendantes.
19. Écrire la loi : « $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = \dots$ et $p = \dots$ ». Cette phrase est notée en elle-même.
20. Traduire la question : « exactement $k$ » se note $P (X = k)$ ; « au plus $k$ » se note $P (X \leq k)$ ; « au moins un » se note $P (X \geq 1)$ , et se calcule par l'événement contraire $1 - P (X = 0)$ .
21. Utiliser la calculatrice : la fonction de densité binomiale donne $P (X = k)$ , la fonction de répartition donne $P (X \leq k)$ . On arrondit à la fin seulement, et l'on n'oublie pas d'écrire la formule avant le résultat.
22. Le succès est « la pièce est défectueuse », de probabilité $0, 02$ . La production étant très nombreuse, le prélèvement s'assimile à un tirage avec remise : les épreuves sont identiques et indépendantes.
23. Donc $X$ suit $B (20; 0, 02)$ , et l'on passe par l'événement contraire : $P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0)$ .
24. Or $P (X = 0) = 0, 9 8^{20} \approx 0, 668$ , à la calculatrice.
25. On soustrait à 1.
26. L'espérance se calcule directement.
27. Environ 33 % des lots contiennent au moins une pièce défectueuse ; on en attend 0,4 par lot.