Probabilités — Loi binomiale

épreuve de Bernoulli — Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues seulement, qu'on convient d'appeler succès — de probabilité $p$ — et échec — de probabilité $1-p$. Le mot « succès » n'a rien d'élogieux : dans un contrôle qualité, le succès est la pièce défectueuse, puisque c'est elle qu'on compte. C'est l'énoncé qui décide, et le premier geste d'un exercice est de dire explicitement ce que l'on appelle succès.

Un schéma de Bernoulli est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques — même probabilité de succès à chaque fois — et indépendantes — le résultat d'une épreuve ne change pas les suivantes. Ces deux conditions sont à vérifier, pas à supposer : un tirage avec remise les respecte, un tirage sans remise ne les respecte pas, puisque la composition change à chaque tirage. C'est la faute qui invalide le plus souvent un raisonnement juste par ailleurs.

loi binomiale — Dans un schéma de $n$ épreuves de Bernoulli de paramètre $p$, la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, notée $\mathcal{B}(n;p)$. Elle prend ses valeurs de 0 à $n$, et sa probabilité s'obtient en multipliant la probabilité d'un chemin par le nombre de chemins qui réalisent $k$ succès.

coefficient binomial — Le coefficient binomial $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$, lu « $k$ parmi $n$ », est le nombre de chemins de l'arbre comportant exactement $k$ succès parmi $n$ épreuves. Il se lit sur le triangle de Pascal, où chaque nombre est la somme des deux qui le surmontent, ou se calcule directement à la calculatrice. Deux valeurs se retiennent : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)=1$ — un seul chemin sans aucun succès — et $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)=n$.

Un dé équilibré est lancé 5 fois. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement deux fois un 6 ?

1. Le succès est « obtenir un 6 », de probabilité $\frac{1}{6}$ ; les lancers sont identiques et indépendants, donc $X$ suit $\mathcal{B}\left(5;\frac{1}{6}\right)$.
2. On lit le coefficient sur la ligne 5 du triangle de Pascal, à la place $k=2$.$4+6=10$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$.
3. On applique la formule : $10\times {\left(\frac{1}{6}\right)}^2\times {\left(\frac{5}{6}\right)}^3$. Le premier facteur donne $\frac{1}{36}$, le second $\frac{125}{216}$.$6^2=36$
4. Le dénominateur total vaut $36\times 216$, et le numérateur $10\times 125$.$10\times 125=1250$
5. On termine le quotient.$36\times 216=7776$$\frac{1250}{7776}\approx 0,161$.

Environ 0,161, soit un peu plus de 16 %.

L'espérance d'une variable suivant $\mathcal{B}(n;p)$ vaut $E(X)=np$. C'est le nombre moyen de succès qu'on obtiendrait en répétant l'expérience un très grand nombre de fois — et le résultat n'a aucune raison d'être entier : une espérance de $0,4$ pièce défectueuse ne veut pas dire qu'on en trouve un peu moins d'une, mais qu'en moyenne, sur beaucoup de lots, il y en a 0,4 par lot.

Calculer une probabilité binomiale

1. Nommer le succès et donner sa probabilité $p$, puis vérifier les deux conditions : épreuves identiques, épreuves indépendantes.
2. Écrire la loi : « $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=\dots$ et $p=\dots$ ». Cette phrase est notée en elle-même.
3. Traduire la question : « exactement $k$ » se note $P(X=k)$ ; « au plus $k$ » se note $P(X\le k)$ ; « au moins un » se note $P(X\ge 1)$, et se calcule par l'événement contraire $1-P(X=0)$.passer par le contraire évite d'additionner $n$ termes, et c'est presque toujours ce qu'attend l'énoncé.
4. Utiliser la calculatrice : la fonction de densité binomiale donne $P(X=k)$, la fonction de répartition donne $P(X\le k)$. On arrondit à la fin seulement, et l'on n'oublie pas d'écrire la formule avant le résultat.

Une chaîne produit 2 % de pièces défectueuses. On prélève au hasard un lot de 20 pièces dans une production très nombreuse. Quelle est la probabilité qu'au moins une soit défectueuse, et combien en attend-on en moyenne ?

1. Le succès est « la pièce est défectueuse », de probabilité $0,02$. La production étant très nombreuse, le prélèvement s'assimile à un tirage avec remise : les épreuves sont identiques et indépendantes.$1-0.02=0.98$
2. Donc $X$ suit $\mathcal{B}(20;0,02)$, et l'on passe par l'événement contraire : $P(X\ge 1)=1-P(X=0)$.
3. Or $P(X=0)=0,98^{20}\approx 0,668$, à la calculatrice.le coefficient $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{0}\right)$ vaut 1 et $0,02^0$ vaut 1 : il ne reste que la puissance.
4. On soustrait à 1.$1-0.668=0.332$
5. L'espérance se calcule directement.$20\times 0.02=0.4$0,4 pièce défectueuse en moyenne par lot.

Environ 33 % des lots contiennent au moins une pièce défectueuse ; on en attend 0,4 par lot.