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Fonctions du second degré — discriminant, forme canonique et signe

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Le second degré est le premier chapitre où l'on ne cherche plus une valeur de $x$ , mais où l'on décrit le comportement d'une fonction sur tout $R$ : où elle s'annule, où elle est positive, où elle atteint son minimum. Trois écritures d'un même trinôme servent à cela, et chacune répond à une question que les deux autres ne savent pas traiter. Savoir laquelle choisir vaut plus que savoir calculer vite.

Trois écritures, trois usages

Règle

Définition — forme canonique :

Exemple

Mettre $f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 5$ sous forme canonique, et en déduire son minimum.

Résultat :

Le discriminant

Règle

12.

Résoudre $ax^2 + bx + c = 0$

Exemple

Résoudre $2 x^{2} + 3 x - 2 = 0$ .

Résultat :

Piège

Écrire $Δ = 3^{2} - 4 \times 2 \times (- 2) = 9 - 16 = - 7$ .

calculer $4 a c$ seul, l'écrire sur une ligne avec son signe, puis seulement faire la soustraction.

Propriété

Exemple

Deux nombres ont pour somme 7 et pour produit 12. Les déterminer sans poser de système.

Résultat :

Se ramener au second degré

Le signe du trinôme

Règle

35.

La factorisation $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ n'existe que si $Δ \geq 0$ , et elle se déduit des racines sans nouveau calcul : c'est le moyen le plus rapide de résoudre $f (x) > 0$ ou de simplifier un quotient. Attention au facteur $a$ , oublié une fois sur deux : $2 x^{2} + 3 x - 2$ se factorise en $2 (x + 2) (x - \frac{1}{2})$ , et non en $(x + 2) (x - \frac{1}{2})$ , dont le coefficient dominant vaudrait 1.

Ai-je écrit $a$ , $b$ , $c$ avec leur signe avant de calculer $Δ$ ?
Ai-je calculé $4 a c$ séparément avant de le soustraire ?
Ai-je conclu sur le signe de $Δ$ avant de chercher des racines ?
Ai-je vérifié par la somme $\frac{- b}{a}$ et le produit $\frac{c}{a}$ ?
Pour une inéquation : ai-je fait un tableau de signe plutôt qu'une division ?
Dans une factorisation, ai-je gardé le facteur $a$ devant les parenthèses ?

Corrigé · à détacher

Fonctions du second degré — discriminant, forme canonique et signe

1. Un trinôme du second degré s'écrit $f (x) = a x^{2} + b x + c$ avec $a \neq = 0$ . Sa forme développée donne l'ordonnée à l'origine $f (0) = c$ et le sens de la parabole par le signe de $a$ . Sa forme canonique $a (x - α)^{2} + β$ donne le sommet, donc l'extrémum et l'axe de symétrie. Sa forme factorisée $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , quand elle existe, donne les racines. On ne les calcule pas toutes les trois : on choisit celle que la question réclame.
2. $f (x) = a x^{2} + b x + c = a (x - α)^{2} + β = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$
3. La forme canonique est $f (x) = a (x - α)^{2} + β$ , où $α = \frac{- b}{2 a}$ et $β = f (α)$ . Le carré $(x - α)^{2}$ étant toujours positif ou nul, et nul seulement en $x = α$ , la fonction atteint en ce point son minimum $β$ si $a > 0$ , son maximum $β$ si $a < 0$ . C'est un raisonnement complet, et non un résultat à retenir : la forme canonique démontre l'extrémum au lieu de le lire sur un graphique.
4. $α = \frac{- b}{2 a} et β = f (α)$
5. Le sommet, l'axe de symétrie et l'extrémum se lisent sur la forme canonique.
6. On identifie $a = 2$ , $b = - 8$ , $c = 5$ , puis on calcule $α$ .
7. On calcule $β = f (2)$ .
8. On écrit la forme canonique et on conclut.
9. $f (x) = 2 (x - 2)^{2} - 3$ : minimum $- 3$ , atteint en $x = 2$ .
10. Le discriminant est $Δ = b^{2} - 4 a c$ . Son signe décide à lui seul du nombre de racines. Si $Δ > 0$ , deux racines distinctes $x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ . Si $Δ = 0$ , une racine double $x_{0} = \frac{- b}{2 a}$ . Si $Δ < 0$ , aucune racine réelle — la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses, et le trinôme garde le signe de $a$ sur tout $R$ .
11. $Δ = b^{2} - 4 a c; x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$
12. Trois signes de Δ, trois positions de la parabole par rapport à l'axe.
13. Écrire $a$ , $b$ , $c$ avec leur signe, séparément et avant tout calcul. La moitié des erreurs de ce chapitre naissent d'un $b$ noté positif alors qu'il vaut $- 5$ .
14. Calculer $4 a c$ à part, puis le soustraire. Enchaîner $b^{2} - 4 a c$ d'un seul geste quand $c$ est négatif produit une soustraction là où il fallait une addition.
15. Regarder le signe de $Δ$ et n'aller plus loin que s'il est positif ou nul. Chercher des racines quand $Δ < 0$ n'est pas une maladresse, c'est une faute de raisonnement.
16. Appliquer la formule, en gardant $2 a$ au dénominateur des deux racines.
17. Vérifier par la somme et le produit : $x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}$ et $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ . Deux additions mentales qui attrapent presque toutes les erreurs de calcul.
18. On pose $a = 2$ , $b = 3$ , $c = - 2$ , puis on calcule $4 a c$ à part.
19. On en déduit le discriminant.
20. $Δ > 0$ : deux racines, avec $25 = 5$ .
21. Puis la seconde.
22. On vérifie par la somme et le produit.
23. $S = {- 2; \frac{1}{2}}$
24. Lorsque le trinôme a deux racines, leur somme vaut $\frac{- b}{a}$ et leur produit $\frac{c}{a}$ . C'est d'abord une vérification gratuite après tout calcul de racines. C'est aussi un outil de résolution : deux nombres de somme $S$ et de produit $P$ sont exactement les racines de $x^{2} - S x + P = 0$ — ce qui transforme un problème de partage en une équation du second degré, sans passer par un système.
25. $x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}; x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$
26. Ce sont les racines de $x^{2} - S x + P = 0$ , soit $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ .
27. $Δ = 1 > 0$ , donc $Δ = 1$ et deux racines.
28. Puis la seconde.
29. On vérifie sur l'énoncé.
30. Les deux nombres sont 3 et 4.
31. Une équation bicarrée $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ : poser $X = x^{2}$ , résoudre en $X$ , puis revenir à $x$ — et ne garder que les $X$ positifs, un carré ne pouvant être négatif.
32. Une équation avec quotient : chasser le dénominateur après avoir posé sa condition d'existence, puis vérifier que les solutions trouvées la respectent.
33. Une comparaison de deux fonctions $f (x) = g (x)$ : tout ramener dans un membre pour obtenir $f (x) - g (x) = 0$ , et étudier le trinôme obtenu.
34. Un trinôme est du signe de $a$ partout, sauf entre les racines lorsqu'il en a deux. C'est la formule à retenir, et elle couvre les trois cas : si $Δ < 0$ il n'y a pas d'« entre », donc le signe de $a$ sur tout $R$ ; si $Δ = 0$ , l'intervalle entre les racines est vide et le trinôme s'annule en un point. Une inéquation du second degré se résout par ce tableau de signe, jamais en divisant les deux membres par une expression contenant $x$ — dont on ignore le signe.
35. Le tableau de signe d'un trinôme, dans les trois cas possibles.