Fonctions du second degré

Un trinôme du second degré s'écrit $f(x)=a{x}^2+bx+c$ avec $a\ne 0$. Sa forme développée donne l'ordonnée à l'origine $f(0)=c$ et le sens de la parabole par le signe de $a$. Sa forme canonique $a(x-\alpha {)}^2+\beta$ donne le sommet, donc l'extrémum et l'axe de symétrie. Sa forme factorisée $a(x-x_1)(x-x_2)$, quand elle existe, donne les racines. On ne les calcule pas toutes les trois : on choisit celle que la question réclame.

forme canonique — La forme canonique est $f(x)=a(x-\alpha {)}^2+\beta$, où $\alpha =\frac{-b}{2a}$ et $\beta =f(\alpha )$. Le carré $(x-\alpha {)}^2$ étant toujours positif ou nul, et nul seulement en $x=\alpha$, la fonction atteint en ce point son minimum $\beta$ si $a>0$, son maximum $\beta$ si $a<0$. C'est un raisonnement complet, et non un résultat à retenir : la forme canonique démontre l'extrémum au lieu de le lire sur un graphique.

Mettre $f(x)=2x^2-8x+5$ sous forme canonique, et en déduire son minimum.

1. On identifie $a=2$, $b=-8$, $c=5$, puis on calcule $\alpha$.$\frac{-(-8)}{2\times 2}=2$
2. On calcule $\beta =f(2)$.$2\times 4-8\times 2+5=-3$
3. On écrit la forme canonique et on conclut.$2(x-2{)}^2-3$le carré est nul en $x=2$ et positif ailleurs ; comme $a=2>0$, le minimum vaut $-3$.

$f(x)=2(x-2{)}^2-3$ : minimum $-3$, atteint en $x=2$.

Le discriminant est $\Delta =b^2-4ac$. Son signe décide à lui seul du nombre de racines. Si $\Delta >0$, deux racines distinctes $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$. Si $\Delta =0$, une racine double $x_0=\frac{-b}{2a}$. Si $\Delta <0$, aucune racine réelle — la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses, et le trinôme garde le signe de $a$ sur tout $\mathbb{R}$.

Résoudre $ax^2 + bx + c = 0$

1. Écrire $a$, $b$, $c$ avec leur signe, séparément et avant tout calcul. La moitié des erreurs de ce chapitre naissent d'un $b$ noté positif alors qu'il vaut $-5$.
2. Calculer $4ac$ à part, puis le soustraire. Enchaîner $b^2-4ac$ d'un seul geste quand $c$ est négatif produit une soustraction là où il fallait une addition.
3. Regarder le signe de $\Delta$ et n'aller plus loin que s'il est positif ou nul. Chercher des racines quand $\Delta <0$ n'est pas une maladresse, c'est une faute de raisonnement.
4. Appliquer la formule, en gardant $2a$ au dénominateur des deux racines.si $a$ est négatif, $2a$ l'est aussi : la plus grande racine est alors celle qui porte le signe $-$.
5. Vérifier par la somme et le produit : $x_1+x_2=\frac{-b}{a}$ et $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$. Deux additions mentales qui attrapent presque toutes les erreurs de calcul.

Résoudre $2x^2+3x-2=0$.

1. On pose $a=2$, $b=3$, $c=-2$, puis on calcule $4ac$ à part.$4\times 2\times (-2)=-16$
2. On en déduit le discriminant.$9-(-16)=25$$c$ étant négatif, $-4ac$ ajoute 16 : c'est le passage où l'on se trompe.
3. $\Delta >0$ : deux racines, avec $\sqrt{25}=5$.$\frac{-3-5}{4}=-2$
4. Puis la seconde.$\frac{-3+5}{4}=0.5$
5. On vérifie par la somme et le produit.$-2+0.5=-1.5$et $\frac{-b}{a}=\frac{-3}{2}=-1,5$ : cohérent.

$S=\left\{-2;\frac{1}{2}\right\}$

Lorsque le trinôme a deux racines, leur somme vaut $\frac{-b}{a}$ et leur produit $\frac{c}{a}$. C'est d'abord une vérification gratuite après tout calcul de racines. C'est aussi un outil de résolution : deux nombres de somme $S$ et de produit $P$ sont exactement les racines de $x^2-Sx+P=0$ — ce qui transforme un problème de partage en une équation du second degré, sans passer par un système.

Deux nombres ont pour somme 7 et pour produit 12. Les déterminer sans poser de système.

1. Ce sont les racines de $x^2-Sx+P=0$, soit $x^2-7x+12=0$.$49-48=1$
2. $\Delta =1>0$, donc $\sqrt{\Delta }=1$ et deux racines.$\frac{7-1}{2}=3$
3. Puis la seconde.$\frac{7+1}{2}=4$
4. On vérifie sur l'énoncé.$3\times 4=12$et $3+4=7$ : les deux conditions sont satisfaites.

Les deux nombres sont 3 et 4.

Se ramener au second degré

1. Une équation bicarrée $a{x}^4+b{x}^2+c=0$ : poser $X=x^2$, résoudre en $X$, puis revenir à $x$ — et ne garder que les $X$ positifs, un carré ne pouvant être négatif.
2. Une équation avec quotient : chasser le dénominateur après avoir posé sa condition d'existence, puis vérifier que les solutions trouvées la respectent.
3. Une comparaison de deux fonctions $f(x)=g(x)$ : tout ramener dans un membre pour obtenir $f(x)-g(x)=0$, et étudier le trinôme obtenu.la même translation vaut pour $f(x)>g(x)$, qui devient un signe de trinôme.

Un trinôme est du signe de $a$ partout, sauf entre les racines lorsqu'il en a deux. C'est la formule à retenir, et elle couvre les trois cas : si $\Delta <0$ il n'y a pas d'« entre », donc le signe de $a$ sur tout $\mathbb{R}$ ; si $\Delta =0$, l'intervalle entre les racines est vide et le trinôme s'annule en un point. Une inéquation du second degré se résout par ce tableau de signe, jamais en divisant les deux membres par une expression contenant $x$ — dont on ignore le signe.