Fiche à trous · Première · Mathématiques

Suites numériques — arithmétiques, géométriques, sommes

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Une suite est une liste de nombres indexée par les entiers, et l'essentiel du chapitre tient dans une seule question : comment passe-t-on d'un terme au suivant ? Deux réponses reviennent partout — on ajoute toujours la même chose, ou on multiplie toujours par la même chose. Elles décrivent respectivement une épargne à intérêts simples et une population qui croît d'un pourcentage fixe, et elles n'ont ni la même formule, ni la même allure, ni les mêmes conséquences à long terme.

Deux façons d'avancer

Définition — suite arithmétique :

Définition — suite géométrique :

Reconnaître la nature d'une suite

Piège

Écrire $u_{n} = u_{1} + n r$ pour une suite qui commence à $u_{1}$ .

tester la formule sur le premier terme. Avec $n = 1$ , elle doit redonner $u_{1}$ : si elle donne $u_{1} + r$ , l'indice est faux.

Le sens de variation

Règle

11.

Chercher un seuil

Exemple

Une population de 5 000 bactéries augmente de 20 % par heure. Au bout de combien d'heures dépasse-t-elle 10 000 ?

Résultat :

Sommer les termes

Règle

Exemple

Une salle de spectacle compte 12 rangs. Le premier a 20 places, et chaque rang suivant en a 3 de plus. Combien de places en tout ?

Résultat :

La différence entre les deux modèles est spectaculaire à long terme, et c'est tout l'enjeu du chapitre. Placer 1 000 € à 5 % d'intérêts simples ajoute 50 € chaque année : au bout de vingt ans, 2 000 €. À 5 % d'intérêts composés, on multiplie chaque année par $1, 05$ , et l'on obtient $1000 \times 1, 0 5^{20} \approx 2653$ €. Le même taux, la même durée, et six cent cinquante euros d'écart — parce qu'une suite géométrique fait porter les intérêts sur les intérêts.

Propriété

Exemple

Une entreprise vend 200 unités le premier mois, puis 10 % de plus chaque mois. Combien d'unités aura-t-elle vendues au total sur six mois ?

Résultat :

Piège

Prendre $q = 0, 03$ pour une hausse annuelle de 3 %.

appliquer la raison au premier terme et regarder le résultat. S'il s'effondre alors que l'énoncé annonce une hausse, la raison est fausse.

La formule de la somme arithmétique n'est pas à apprendre : elle se retrouve. Pour additionner $1 + 2 + \dots + 100$ , on écrit la somme dans un sens puis dans l'autre, et l'on apparie les termes de rang opposé : $1 + 100$ , $2 + 99$ , $3 + 98$ … Chaque paire vaut 101, il y en a cent, donc le double de la somme vaut $100 \times 101$ . On divise par deux et l'on obtient 5 050. La même manœuvre marche sur n'importe quelle suite arithmétique, et c'est de là que vient la « moyenne des extrêmes ».

Ai-je bien distingué la relation de récurrence du terme général ?
Ai-je vérifié l'indice de départ : $u_{0}$ ou $u_{1}$ ?
Ai-je testé mon terme général sur le premier terme ?
Pour un pourcentage, ai-je pris le coefficient multiplicateur et non le taux ?
Pour une somme, ai-je compté le nombre de termes — bornes incluses ?
Ai-je justifié la nature de la suite pour un $n$ quelconque, et non sur trois exemples ?

Corrigé · à détacher

Suites numériques — arithmétiques, géométriques, sommes

1. Une suite $(u_{n})$ est arithmétique de raison $r$ si l'on passe de chaque terme au suivant en ajoutant toujours $r$ : $u_{n + 1} = u_{n} + r$ . Cette relation est la définition par récurrence ; elle donne le terme suivant, mais pas le centième sans passer par les quatre-vingt-dix-neuf premiers. Le terme général $u_{n} = u_{0} + n r$ règle ce problème : il donne n'importe quel terme directement, parce qu'on a ajouté $r$ exactement $n$ fois depuis $u_{0}$ .
2. $u_{n + 1} = u_{n} + r et u_{n} = u_{0} + n r$
3. Une suite $(u_{n})$ est géométrique de raison $q$ si l'on passe de chaque terme au suivant en multipliant toujours par $q$ : $u_{n + 1} = q \times u_{n}$ . Son terme général est $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ , pour la même raison : on a multiplié $n$ fois. Une hausse de 4 % par an est une suite géométrique de raison $1, 04$ — et non $0, 04$ : la raison est le coefficient multiplicateur, pas le pourcentage.
4. $u_{n + 1} = q \times u_{n} et u_{n} = u_{0} \times q^{n}$
5. Une suite arithmétique aligne ses points ; une suite géométrique les courbe.
6. Calculer les différences $u_{1} - u_{0}$ , $u_{2} - u_{1}$ , $u_{3} - u_{2}$ . Si elles sont toutes égales, la suite est arithmétique et cette valeur commune est $r$ .
7. Sinon, calculer les quotients $\frac{u _{1}}{u _{0}}$ , $\frac{u _{2}}{u _{1}}$ . S'ils sont tous égaux, la suite est géométrique de raison $q$ .
8. Conclure sur trois quotients au moins : deux valeurs égales ne prouvent rien, et l'énoncé attend une démonstration, pas une constatation.
9. Attention à l'indice de départ. Si la suite commence à $u_{1}$ , le terme général devient $u_{n} = u_{1} + (n - 1) r$ , et $u_{n} = u_{1} \times q^{n - 1}$ : on n'a fait que $n - 1$ pas.
10. Pour une suite arithmétique, le signe de $r$ décide seul : croissante si $r > 0$ , décroissante si $r < 0$ , constante si $r = 0$ . Pour une suite géométrique à termes strictement positifs, c'est la position de $q$ par rapport à 1 qui décide : croissante si $q > 1$ , décroissante si $0 < q < 1$ . Si $q < 0$ , les termes changent de signe à chaque pas et la suite n'est ni croissante ni décroissante — elle alterne.
11. Le sens de variation se lit sur la raison, sans calculer aucun terme.
12. Écrire l'inégalité que doit vérifier le rang cherché : $u_{n} > S$ , ou $u_{n} < S$ selon la question.
13. Calculer les termes de proche en proche jusqu'à franchir le seuil — à la calculatrice ou par un petit programme, la relation de récurrence suffit.
14. Donner le premier rang qui convient, et lui seul. La réponse est un entier, pas un intervalle : c'est le plus petit $n$ tel que l'inégalité soit vraie.
15. Vérifier les deux côtés : le rang trouvé doit satisfaire l'inégalité, et le rang précédent ne doit pas la satisfaire.
16. La population suit une suite géométrique de raison $1, 20$ .
17. On calcule de proche en proche : après une heure, puis deux.
18. Puis les suivantes.
19. On continue jusqu'au franchissement.
20. L'heure suivante dépasse le seuil.
21. Il faut 4 heures.
22. La somme des entiers de 1 à $n$ vaut $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ . Plus généralement, la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique se calcule comme le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier — c'est la seule chose à retenir, et elle se redémontre en appariant les termes des deux extrémités. Pour une suite géométrique de raison $q \neq = 1$ , la somme des $n + 1$ premiers termes vaut $u_{0} \times \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ .
23. $S = (nombre de termes) \times \frac{premier + dernier}{2}$
24. Le nombre de places par rang forme une suite arithmétique de premier terme 20 et de raison 3.
25. Le douzième rang correspond à onze pas depuis le premier.
26. On applique la formule : douze termes, moyenne des extrêmes.
27. D'où le total.
28. La salle compte 438 places.
29. Pour une suite géométrique de raison $q \neq = 1$ , la somme $u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ des $n + 1$ premiers termes vaut $u_{0} \times \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ . On retient l'énoncé sous sa forme parlante : premier terme, fois un moins la raison à la puissance nombre de termes, sur un moins la raison. L'exposant compte les termes, pas les pas — c'est là que l'on se trompe, et un test sur $n = 0$ le vérifie en trois secondes : la formule doit alors rendre $u_{0}$ .
30. $u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = u_{0} \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$
31. Les ventes mensuelles forment une suite géométrique de premier terme 200.
32. Six mois, ce sont six termes : $u_{0}$ à $u_{5}$ , donc l'exposant vaut 6.
33. On applique la formule de la somme.
34. Puis on multiplie par le premier terme.
35. Environ 1 543 unités sur les six mois.