Suites numériques — Arithmétiques et géométriques

suite arithmétique — Une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ si l'on passe de chaque terme au suivant en ajoutant toujours $r$ : $u_{n+1}=u_n+r$. Cette relation est la définition par récurrence ; elle donne le terme suivant, mais pas le centième sans passer par les quatre-vingt-dix-neuf premiers. Le terme général $u_n=u_0+nr$ règle ce problème : il donne n'importe quel terme directement, parce qu'on a ajouté $r$ exactement $n$ fois depuis $u_0$.

suite géométrique — Une suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ si l'on passe de chaque terme au suivant en multipliant toujours par $q$ : $u_{n+1}=q\times u_n$. Son terme général est $u_n=u_0\times q^n$, pour la même raison : on a multiplié $n$ fois. Une hausse de 4 % par an est une suite géométrique de raison $1,04$ — et non $0,04$ : la raison est le coefficient multiplicateur, pas le pourcentage.

Reconnaître la nature d'une suite

1. Calculer les différences $u_1-u_0$, $u_2-u_1$, $u_3-u_2$. Si elles sont toutes égales, la suite est arithmétique et cette valeur commune est $r$.
2. Sinon, calculer les quotients $\frac{u_1}{u_0}$, $\frac{u_2}{u_1}$. S'ils sont tous égaux, la suite est géométrique de raison $q$.
3. Conclure sur trois quotients au moins : deux valeurs égales ne prouvent rien, et l'énoncé attend une démonstration, pas une constatation.pour démontrer, on part de $u_{n+1}$ écrit avec $n$ quelconque, et l'on montre que la différence — ou le quotient — ne dépend pas de $n$.
4. Attention à l'indice de départ. Si la suite commence à $u_1$, le terme général devient $u_n=u_1+(n-1)r$, et $u_n=u_1\times q^{n-1}$ : on n'a fait que $n-1$ pas.

Pour une suite arithmétique, le signe de $r$ décide seul : croissante si $r>0$, décroissante si $r<0$, constante si $r=0$. Pour une suite géométrique à termes strictement positifs, c'est la position de $q$ par rapport à 1 qui décide : croissante si $q>1$, décroissante si $0<q<1$. Si $q<0$, les termes changent de signe à chaque pas et la suite n'est ni croissante ni décroissante — elle alterne.

Chercher un seuil

1. Écrire l'inégalité que doit vérifier le rang cherché : $u_n>S$, ou $u_n<S$ selon la question.
2. Calculer les termes de proche en proche jusqu'à franchir le seuil — à la calculatrice ou par un petit programme, la relation de récurrence suffit.
3. Donner le premier rang qui convient, et lui seul. La réponse est un entier, pas un intervalle : c'est le plus petit $n$ tel que l'inégalité soit vraie.
4. Vérifier les deux côtés : le rang trouvé doit satisfaire l'inégalité, et le rang précédent ne doit pas la satisfaire.c'est ce double contrôle qui prouve qu'on a bien le premier rang, et non simplement un rang qui marche.

Une population de 5 000 bactéries augmente de 20 % par heure. Au bout de combien d'heures dépasse-t-elle 10 000 ?

1. La population suit une suite géométrique de raison $1,20$.$1+0.2=1.2$
2. On calcule de proche en proche : après une heure, puis deux.$5000\times 1.2=6000$
3. Puis les suivantes.$6000\times 1.2=7200$
4. On continue jusqu'au franchissement.$7200\times 1.2=8640$
5. L'heure suivante dépasse le seuil.$8640\times 1.2=10368$la quatrième heure donne 10 368 > 10 000, la troisième 8 640 < 10 000 : le seuil est bien franchi à la quatrième heure.

Il faut 4 heures.

La somme des entiers de 1 à $n$ vaut $\frac{n(n+1)}{2}$. Plus généralement, la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique se calcule comme le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier — c'est la seule chose à retenir, et elle se redémontre en appariant les termes des deux extrémités. Pour une suite géométrique de raison $q\ne 1$, la somme des $n+1$ premiers termes vaut $u_0\times \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Une salle de spectacle compte 12 rangs. Le premier a 20 places, et chaque rang suivant en a 3 de plus. Combien de places en tout ?

1. Le nombre de places par rang forme une suite arithmétique de premier terme 20 et de raison 3.$20+3=23$
2. Le douzième rang correspond à onze pas depuis le premier.$20+11\times 3=53$
3. On applique la formule : douze termes, moyenne des extrêmes.$\frac{20+53}{2}=36.5$
4. D'où le total.$12\times 36.5=438$la moyenne n'est pas entière, mais le total l'est : c'est normal, on multiplie par un nombre pair de rangs.

La salle compte 438 places.

Pour une suite géométrique de raison $q\ne 1$, la somme $u_0+u_1+\cdots +u_n$ des $n+1$ premiers termes vaut $u_0\times \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$. On retient l'énoncé sous sa forme parlante : premier terme, fois un moins la raison à la puissance nombre de termes, sur un moins la raison. L'exposant compte les termes, pas les pas — c'est là que l'on se trompe, et un test sur $n=0$ le vérifie en trois secondes : la formule doit alors rendre $u_0$.

Une entreprise vend 200 unités le premier mois, puis 10 % de plus chaque mois. Combien d'unités aura-t-elle vendues au total sur six mois ?

1. Les ventes mensuelles forment une suite géométrique de premier terme 200.$1+0.1=1.1$
2. Six mois, ce sont six termes : $u_0$ à $u_5$, donc l'exposant vaut 6.$1.1^6=1.771561$
3. On applique la formule de la somme.$\frac{1-1.771561}{1-1.1}=7.71561$
4. Puis on multiplie par le premier terme.$200\times 7.71561=1543.122$on arrondit à l'unité : les ventes se comptent en entiers.

Environ 1 543 unités sur les six mois.