Fiche à trous · Seconde · Mathématiques

Introduction à la trigonométrie — radian et cercle unité

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Au collège, cosinus et sinus étaient des rapports de longueurs dans un triangle rectangle — et n'existaient donc que pour des angles compris entre 0° et 90°. Le cercle trigonométrique les libère de cette contrainte : ils deviennent les coordonnées d'un point qui tourne, et se définissent pour n'importe quel angle, positif, négatif, ou supérieur à un tour.

Une nouvelle unité d'angle

Définition — radian :

Exemple

Convertir 60° en radians, puis $\frac{π}{4}$ en degrés.

Résultat :

Le radian n'est pas une complication gratuite. Il est le seul choix qui rende les formules de dérivation des fonctions trigonométriques simples, et il fait de la mesure d'un angle une longueur — celle de l'arc parcouru. C'est cette identification qui permettra plus tard d'enrouler la droite des réels autour du cercle.

Le cercle trigonométrique

Définition — cosinus et sinus d'un angle quelconque :

10.

Propriété

Piège

Annoncer un cosinus de 1,3 après un calcul.

vérifier systématiquement que le résultat appartient à $[- 1; 1]$ . C'est un contrôle gratuit, et il attrape la moitié des erreurs du chapitre.

Les valeurs remarquables

13.

Ces valeurs se retiennent mieux avec l'écriture $\frac{k}{2}$ : le cosinus prend successivement $\frac{4}{2}$ , $\frac{3}{2}$ , $\frac{2}{2}$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{0}{2}$ — soit $k$ qui descend de 4 à 0. Le sinus fait exactement l'inverse. Une seule suite à mémoriser au lieu de dix valeurs.

Exemple

Sachant que $cos θ = \frac{3}{5}$ et que $θ$ est compris entre 0 et $\frac{π}{2}$ , calculer $sin θ$ .

Résultat :

$180° = π$ : ai-je converti dans le bon sens ?
Le sens positif est celui inverse des aiguilles d'une montre.
Cosinus = abscisse, sinus = ordonnée. Jamais l'inverse.
Mon résultat appartient-il bien à $[- 1; 1]$ ?
Après une racine carrée : ai-je choisi le signe grâce à l'intervalle donné ?
Ma calculatrice est-elle dans la bonne unité — degrés ou radians ?

Corrigé · à détacher

Introduction à la trigonométrie — radian et cercle unité

1. Le radian mesure un angle par la longueur de l'arc qu'il découpe sur un cercle de rayon 1. Le tour complet mesurant $2 π$ dans cette unité et 360° dans l'autre, la conversion découle d'une simple proportionnalité : un demi-tour vaut $π$ radians ou 180°.
2. $α_{rad} = α_{deg} \times \frac{π}{180}$
3. De degrés vers radians, on multiplie par $\frac{π}{180}$ : $60 \times \frac{π}{180} = \frac{π}{3}$ .
4. Le calcul se fait sur les nombres, sans toucher à $π$ .
5. De radians vers degrés, on multiplie par $\frac{180}{π}$ : le $π$ se simplifie.
6. Le raccourci à retenir : $180° = π$ . Toutes les conversions courantes s'en déduisent par division.
7. $60° = \frac{π}{3}$ et $\frac{π}{4} = 45°$
8. On place le cercle de rayon 1 centré à l'origine d'un repère orthonormé. À un angle $θ$ , mesuré depuis l'axe des abscisses et dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, correspond un unique point $M$ du cercle. Par définition, $cos θ$ est l'abscisse de $M$ et $sin θ$ son ordonnée.
9. $M (cos θ; sin θ)$
10. Le cosinus se lit à l'horizontale, le sinus à la verticale.
11. Deux conséquences immédiates de cette définition. Le point étant sur un cercle de rayon 1, ses coordonnées sont comprises entre $- 1$ et 1 : c'est pourquoi un cosinus ou un sinus ne peut jamais dépasser 1. Et le théorème de Pythagore appliqué au triangle formé par $M$ , l'origine et sa projection donne la relation fondamentale.
12. $cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$
13. Cinq colonnes à connaître par cœur, et deux lignes qui se lisent en miroir.
14. On applique la relation fondamentale : $sin^{2} θ = 1 - cos^{2} θ$ .
15. On calcule le carré du cosinus.
16. D'où le carré du sinus.
17. On prend la racine.
18. Le carré admet deux racines, $0, 8$ et $- 0, 8$ . C'est l'intervalle donné qui tranche : entre 0 et $\frac{π}{2}$ , le point est dans le quart de plan supérieur droit, donc son ordonnée est positive.
19. $sin θ = 0, 8$ , soit $\frac{4}{5}$