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Introduction à la trigonométrie — Radian et cercle unité

Programme en vigueur — arrêté du 26 février 2026, applicable en Seconde depuis la rentrée 2026. Voir le texte

Conversion degrés ↔ radians. Cercle unité, cos(θ) et sin(θ). Valeurs remarquables. Relation fondamentale cos²(θ) + sin²(θ) = 1.

La règle d'or

Sur le cercle de rayon 1, le cosinus est l'abscisse et le sinus l'ordonnée : ni l'un ni l'autre ne peut sortir de l'intervalle allant de -1 à 1.

L'erreur que tout le monde fait

Annoncer un cosinus de 1,3 à l'issue d'un calcul.

C'est impossible : le point serait hors du cercle de rayon 1. Un tel résultat signale toujours une erreur, de calcul ou de mode de la calculatrice, jamais un angle particulier.

Vérifier que tout cosinus et tout sinus obtenus appartiennent à l'intervalle allant de -1 à 1. Ce contrôle est gratuit et attrape une grande part des erreurs du chapitre.

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Notions à maîtriser

radian
cercle unité
cosinus
sinus
valeurs remarquables

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Fiche de révision

Trigonométrie : Radian et cercle unité

Introduction à la trigonométrie — Radian et cercle unité 1. Définition du radian Le radian (symbole : rad) est une unité de mesure d’angle basée sur le cercle. 1 radian est l’an

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Au collège, cosinus et sinus étaient des rapports de longueurs dans un triangle rectangle — et n'existaient donc que pour des angles compris entre 0° et 90°. Le cercle trigonométrique les libère de cette contrainte : ils deviennent les coordonnées d'un point qui tourne, et se définissent pour n'importe quel angle, positif, négatif, ou supérieur à un tour.

1Une nouvelle unité d'angle

Définition

radian — Le radian mesure un angle par la longueur de l'arc qu'il découpe sur un cercle de rayon 1. Le tour complet mesurant $2 π$ dans cette unité et 360° dans l'autre, la conversion découle d'une simple proportionnalité : un demi-tour vaut $π$ radians ou 180°.

α_{rad} = α_{deg} \times \frac{π}{180}

Exemple

Convertir 60° en radians, puis $\frac{π}{4}$ en degrés.

De degrés vers radians, on multiplie par $\frac{π}{180}$ : $60 \times \frac{π}{180} = \frac{π}{3}$ .
Le calcul se fait sur les nombres, sans toucher à $π$ . $\frac{60}{180} \approx 0, 33$
De radians vers degrés, on multiplie par $\frac{180}{π}$ : le $π$ se simplifie. $\frac{180}{4} = 45$
Le raccourci à retenir : $180° = π$ . Toutes les conversions courantes s'en déduisent par division. $\frac{π}{6} = 30°$ , $\frac{π}{4} = 45°$ , $\frac{π}{3} = 60°$ , $\frac{π}{2} = 90°$ .

$60° = \frac{π}{3}$ et $\frac{π}{4} = 45°$

Le radian n'est pas une complication gratuite. Il est le seul choix qui rende les formules de dérivation des fonctions trigonométriques simples, et il fait de la mesure d'un angle une longueur — celle de l'arc parcouru. C'est cette identification qui permettra plus tard d'enrouler la droite des réels autour du cercle.

2Le cercle trigonométrique

Définition

cosinus et sinus d'un angle quelconque — On place le cercle de rayon 1 centré à l'origine d'un repère orthonormé. À un angle $θ$ , mesuré depuis l'axe des abscisses et dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, correspond un unique point $M$ du cercle. Par définition, $cos θ$ est l'abscisse de $M$ et $sin θ$ son ordonnée.

M (cos θ; sin θ)

Le cosinus se lit à l'horizontale, le sinus à la verticale.

Propriété

Deux conséquences immédiates de cette définition. Le point étant sur un cercle de rayon 1, ses coordonnées sont comprises entre $- 1$ et 1 : c'est pourquoi un cosinus ou un sinus ne peut jamais dépasser 1. Et le théorème de Pythagore appliqué au triangle formé par $M$ , l'origine et sa projection donne la relation fondamentale.

cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1

Piège

Annoncer un cosinus de 1,3 après un calcul.

Pourquoi — c'est impossible : le point serait hors du cercle de rayon 1. Un tel résultat signale toujours une erreur — de calcul, ou de mode sur la calculatrice.

Le réflexe — vérifier systématiquement que le résultat appartient à $[- 1; 1]$ . C'est un contrôle gratuit, et il attrape la moitié des erreurs du chapitre.

3Les valeurs remarquables

Cinq colonnes à connaître par cœur, et deux lignes qui se lisent en miroir.

Ces valeurs se retiennent mieux avec l'écriture $\frac{k}{2}$ : le cosinus prend successivement $\frac{4}{2}$ , $\frac{3}{2}$ , $\frac{2}{2}$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{0}{2}$ — soit $k$ qui descend de 4 à 0. Le sinus fait exactement l'inverse. Une seule suite à mémoriser au lieu de dix valeurs.

Exemple

Sachant que $cos θ = \frac{3}{5}$ et que $θ$ est compris entre 0 et $\frac{π}{2}$ , calculer $sin θ$ .

On applique la relation fondamentale : $sin^{2} θ = 1 - cos^{2} θ$ .
On calcule le carré du cosinus. $(\frac{3}{5})^{2} = 0, 36$
D'où le carré du sinus. $1 - 0, 36 = 0, 64$
On prend la racine. $0, 64 = 0, 8$
Le carré admet deux racines, $0, 8$ et $- 0, 8$ . C'est l'intervalle donné qui tranche : entre 0 et $\frac{π}{2}$ , le point est dans le quart de plan supérieur droit, donc son ordonnée est positive.sans cette indication, la question n'aurait pas de réponse unique.

$sin θ = 0, 8$ , soit $\frac{4}{5}$

▢ $180° = π$ : ai-je converti dans le bon sens ?
▢Le sens positif est celui inverse des aiguilles d'une montre.
▢Cosinus = abscisse, sinus = ordonnée. Jamais l'inverse.
▢Mon résultat appartient-il bien à $[- 1; 1]$ ?
▢Après une racine carrée : ai-je choisi le signe grâce à l'intervalle donné ?
▢Ma calculatrice est-elle dans la bonne unité — degrés ou radians ?

L'essentiel en 8 points

· $180° = π$ radians — toutes les conversions en découlent.
·Sens positif : inverse des aiguilles d'une montre.
·Sur le cercle de rayon 1 : $cos θ$ = abscisse, $sin θ$ = ordonnée.
·Cosinus et sinus appartiennent toujours à $[- 1; 1]$ .
·Relation fondamentale : $cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$ .
·Cosinus : $\frac{4}{2}, \frac{3}{2}, \frac{2}{2}, \frac{1}{2}, \frac{0}{2}$ — le sinus fait l'inverse.
·Après une racine carrée : c'est l'intervalle qui choisit le signe.
·Les signes se lisent sur un croquis : aucun tableau à apprendre.

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Trois documents à imprimer, 6 pages en tout : le cours, les exercices avec la place pour écrire, et le corrigé détaillé avec son barème.

Au sommaire du cours

1. Une nouvelle unité d'angle
2. Le cercle trigonométrique
3. Les valeurs remarquables

Conforme au programme officiel · version 2026.1.

Exercices corrigés

Convertir

Calculer

a.Convertir 90°, 45° et 120° en radians.
b.Convertir $\frac{π}{6}$ , $\frac{2 π}{3}$ et $π$ en degrés.
c.Combien de radians dans un tour complet ?

›Voir le corrigé

a. $90° = \frac{π}{2}$ , car $\frac{90}{180} = \frac{1}{2}$ . $\frac{90}{180} = 0, 5$
$45° = \frac{π}{4}$ et $120° = \frac{2 π}{3}$ , car $\frac{120}{180} = \frac{2}{3}$ .
b. $\frac{π}{6} = 30°$ . $\frac{180}{6} = 30$
$\frac{2 π}{3} = 120°$ et $π = 180°$ . $\frac{2 \times 180}{3} = 120$
c. $2 π$ radians, soit environ 6,28. $2 \times 3, 14 = 6, 28$
Toutes ces conversions se ramènent à la seule égalité $180° = π$ : il n'y a rien d'autre à retenir.

Placer un point sur le cercle

Représenter

a.Où se trouve le point associé à $θ = \frac{π}{2}$ ? Quelles sont ses coordonnées ?
b.Même question pour $θ = π$ .
c.Même question pour $θ = - \frac{π}{2}$ .

›Voir le corrigé

a. Un quart de tour dans le sens direct : le point est en haut du cercle, de coordonnées $(0; 1)$ .
Donc $cos \frac{π}{2} = 0$ et $sin \frac{π}{2} = 1$ .
b. Un demi-tour : le point est à gauche, en $(- 1; 0)$ . D'où $cos π = - 1$ et $sin π = 0$ .
c. Un angle négatif se parcourt dans le sens des aiguilles d'une montre : le point est en bas, en $(0; - 1)$ .
Donc $cos (- \frac{π}{2}) = 0$ et $sin (- \frac{π}{2}) = - 1$ .
C'est l'avantage décisif du cercle : les angles négatifs et obtus reçoivent un cosinus et un sinus, ce que le triangle rectangle ne permettait pas.

Les valeurs remarquables

Connaître

a.Donner $cos \frac{π}{3}$ , $sin \frac{π}{3}$ , $cos \frac{π}{4}$ et $sin \frac{π}{6}$ .
b.Vérifier la relation fondamentale pour $θ = \frac{π}{3}$ .

›Voir le corrigé

a. $cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ et $sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ .
$cos \frac{π}{4} = \frac{2}{2}$ et $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ .
b. Le carré du cosinus. $0, 5^{2} = 0, 25$
Le carré du sinus, avec $\frac{3}{2} \approx 0, 866$ . $0, 86 6^{2} \approx 0, 75$
La somme. $0, 25 + 0, 75 = 1$
La relation est vérifiée, comme elle l'est pour n'importe quel angle — c'est le théorème de Pythagore appliqué au rayon.

Retrouver un sinus

Calculer

a. $cos θ = \frac{5}{13}$ , avec $θ \in [0; \frac{π}{2}]$ . Calculer $sin θ$ .
b. $sin θ = - 0, 6$ , avec $θ \in [- \frac{π}{2}; 0]$ . Calculer $cos θ$ .

›Voir le corrigé

a. Le carré du cosinus. $(\frac{5}{13})^{2} \approx 0, 148$
Le carré du sinus. $1 - 0, 148 \approx 0, 852$
La racine. $0, 852 \approx 0, 923$ soit exactement $\frac{12}{13}$ , positif car $θ$ est dans le premier quadrant.
b. Le carré du sinus vaut 0,36. $0, 6^{2} = 0, 36$
D'où le carré du cosinus. $1 - 0, 36 = 0, 64$
La racine vaut 0,8, et l'on retient la valeur positive. $0, 64 = 0, 8$
L'intervalle $[- \frac{π}{2}; 0]$ place le point dans le quart inférieur droit : son abscisse est positive, son ordonnée négative — ce que confirment le sinus donné et le cosinus trouvé.

Signes selon le quadrant

Raisonner

a.Pour $θ$ entre $\frac{π}{2}$ et $π$ , quels sont les signes du cosinus et du sinus ?
b.Et entre $π$ et $\frac{3 π}{2}$ ?
c.Comment retrouver ces signes sans les apprendre ?

›Voir le corrigé

a. Le point est dans le quart supérieur gauche : abscisse négative, ordonnée positive.
Donc $cos θ < 0$ et $sin θ > 0$ .
b. Quart inférieur gauche : les deux coordonnées sont négatives, donc cosinus et sinus le sont aussi.
c. En dessinant le cercle et en plaçant le point. Le cosinus est l'abscisse, le sinus l'ordonnée : les signes se lisent sur le dessin.
C'est le grand avantage de la définition par le cercle : aucun tableau de signes à mémoriser.
Un croquis de dix secondes remplace une règle apprise par cœur, et ne se trompe jamais de quadrant.

Du triangle au cercle

Raisonner

a.Au collège, $cos θ$ était le quotient adjacent sur hypoténuse. Montrer que la définition par le cercle donne le même résultat pour un angle aigu.
b.Pourquoi l'ancienne définition ne pouvait-elle pas s'appliquer à un angle obtus ?

›Voir le corrigé

a. Sur le cercle de rayon 1, le point $M$ , l'origine $O$ et le projeté $H$ de $M$ sur l'axe forment un triangle rectangle en $H$ .
L'hypoténuse $O M$ vaut 1, et le côté adjacent $O H$ vaut l'abscisse de $M$ .
Le quotient adjacent sur hypoténuse vaut donc $\frac{O H}{1} = O H$ , c'est-à-dire l'abscisse — soit exactement la nouvelle définition.
b. Parce qu'un triangle rectangle ne peut pas contenir d'angle obtus : la somme des angles vaut 180°, et l'angle droit en occupe déjà 90.
L'ancienne définition n'avait donc aucun sens au-delà de 90°, et encore moins pour un angle négatif.
Le cercle étend la définition sans la contredire : c'est le modèle de ce que font les mathématiques quand elles généralisent une notion.

Ce qui rapporte des points, ce qui en coûte

Convertir degrés et radians dans le bon sens3 ptsPerdu si : Multiplier par $\frac{180}{\pi}$ au lieu de l'inverse
Placer correctement un point sur le cercle, sens compris3 ptsPerdu si : Tourner dans le sens des aiguilles pour un angle positif
Connaître les valeurs remarquables4 ptsPerdu si : Échanger cosinus et sinus
Employer la relation fondamentale et choisir le signe4 ptsPerdu si : Donner les deux signes sans trancher
Vérifier que le résultat appartient à $[-1;1]$2 ptsPerdu si : Un cosinus supérieur à 1 non détecté

La méthode

Déterminer le cosinus et le sinus d'un angle remarquable

1
Convertir l'angle dans l'unité demandée.
Un demi-tour vaut 180 degrés ou pi radians : toutes les conversions découlent de cette proportionnalité.
2
Placer le point correspondant sur le cercle, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
3
Lire l'abscisse du point pour le cosinus, son ordonnée pour le sinus.
4
Déterminer le signe sur le croquis, plutôt que de retenir un tableau.
5
Contrôler que la somme des carrés du cosinus et du sinus vaut 1.

Se tester

Touches 1 à 4

MathématiquesSeconde

Question 1

La Lune a un diamètre apparent de

0.5°

depuis la Terre. Quelle est cette mesure en radians ?

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1 contrôle sur ce chapitre, chacun avec sa durée, son barème sur vingt et un corrigé qui explique chaque réponse.

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Questions fréquentes

Introduction à la trigonométrie — Radian et cercle unité : c'est en quelle classe ?

Ce chapitre est au programme de Mathématiques au lycée, en classe de Seconde. Il est défini par le Bulletin Officiel de l'Éducation nationale, le texte de référence qui fixe ce qui doit être enseigné dans chaque matière.

Que faut-il savoir sur Introduction à la trigonométrie — Radian et cercle unité ?

Conversion degrés ↔ radians. Cercle unité, cos(θ) et sin(θ). Valeurs remarquables. Relation fondamentale cos²(θ) + sin²(θ) = 1. Les notions à maîtriser sont : radian, cercle unité, cosinus, sinus, valeurs remarquables.

Où télécharger la fiche PDF de Introduction à la trigonométrie — Radian et cercle unité ?

Sur cette page, dans le bloc « Imprimer » : 3 documents à télécharger — le cours, les exercices et le corrigé — soit 6 pages au format A4, prêtes à imprimer. Le téléchargement est gratuit, immédiat, et ne demande ni compte ni adresse e-mail.

Le corrigé de Introduction à la trigonométrie — Radian et cercle unité est-il fourni ?

Oui, et c'est un document à part : chaque exercice y est repris étape par étape, avec le barème détaillé en fin de fiche — ce qui est attendu, combien de points, et ce qui fait perdre le point. Un parent qui ne se souvient plus du programme peut corriger une copie avec.

Comment réviser Introduction à la trigonométrie — Radian et cercle unité efficacement ?

Commence par lire la fiche de révision pour remettre la règle en place, puis enchaîne immédiatement sur le quiz de cette page. Répondre juste après avoir lu ne suffit pas : reviens sur le chapitre deux ou trois jours plus tard. C'est l'espacement des révisions, plus que leur durée, qui fait tenir une notion en mémoire. Une session de quinze minutes répétée vaut mieux qu'une heure unique.

Faut-il un compte pour s'entraîner sur Introduction à la trigonométrie — Radian et cercle unité ?

Non. Les quiz, les corrections détaillées et les fiches de révision sont accessibles sans créer de compte et sans donner d'adresse e-mail. Le compte gratuit sert uniquement à conserver la progression d'un appareil à l'autre.

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