Fiche à trous · Seconde · Mathématiques

Équations et inéquations — premier et second degré

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Résoudre une équation, c'est trouver les nombres qui la rendent vraie. Résoudre une inéquation, c'est trouver ceux qui la rendent vraie aussi — mais il y en a en général une infinité, et la réponse n'est plus une liste : c'est un intervalle. Ce changement de nature de la réponse est ce qui déroute le plus en début de seconde, avant même la règle du signe.

Le premier degré

Résoudre $ax + b = c$

Règle

Piège

Résoudre $- 3 x > 12$ en écrivant $x > - 4$ .

entourer le nombre par lequel on divise. S'il est négatif, retourner le symbole avant d'écrire la ligne suivante — et non après, quand on a oublié.

La solution d'une inéquation s'écrit comme un intervalle, et la notation compte : $[- 4; + \infty [$ inclut $- 4$ , $] - 4; + \infty [$ ne l'inclut pas. Le crochet tourné vers l'extérieur exclut la borne. L'infini n'étant pas un nombre, son crochet est toujours ouvert.

Le second degré

Règle

Exemple

Résoudre $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ .

Résultat :

Exemple

Résoudre $2 x^{2} + 3 x - 2 = 0$ .

Résultat :

Piège

Écrire $Δ = 3^{2} - 4 \times 2 \times (- 2) = 9 - 16 = - 7$ .

calculer $4 a c$ à part, avec son signe, puis le soustraire. Ici $4 a c = - 16$ , donc $Δ = 9 - (- 16) = 25$ .

Quand $Δ > 0$ , l'expression se factorise : $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , où $x_{1}$ et $x_{2}$ sont les racines. C'est cette forme qui permet ensuite d'étudier le signe du trinôme — et c'est la raison pour laquelle on cherche des racines même quand on ne résout pas d'équation.

Ai-je retourné l'inégalité en divisant par un nombre négatif ?
Ma solution d'inéquation est-elle écrite comme un intervalle, crochets compris ?
Pour $Δ$ : ai-je pris $b$ et $c$ avec leur signe ?
Ai-je calculé $4 a c$ à part avant de le soustraire ?
$Δ < 0$ : ai-je conclu « aucune solution réelle », sans forcer un calcul ?
Ai-je vérifié une racine dans l'équation de départ ?

Corrigé · à détacher

Équations et inéquations — premier et second degré

1. Rassembler les $x$ d'un côté, les nombres de l'autre, en changeant le signe de tout terme qui traverse le signe égal.
2. Diviser les deux membres par le coefficient de $x$ .
3. Vérifier en remplaçant dans l'équation de départ — jamais dans une ligne intermédiaire, qui pourrait déjà contenir l'erreur.
4. Une inéquation se résout exactement de la même façon, avec une seule différence, qui n'admet aucune exception : multiplier ou diviser les deux membres par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité. Ajouter ou soustraire, en revanche, ne change jamais rien.
5. $- 3 x > 12 ⟺ x < - 4$
6. Une équation du second degré s'écrit $a x^{2} + b x + c = 0$ , avec $a \neq = 0$ . Son discriminant décide de tout : $Δ = b^{2} - 4 a c$ . Si $Δ > 0$ , il y a deux racines ; si $Δ = 0$ , une seule, dite double ; si $Δ < 0$ , aucune racine réelle.
7. $x = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$
8. Trois signes, trois positions de la parabole.
9. On identifie les coefficients : $a = 1$ , $b = - 5$ , $c = 6$ . Le signe de $b$ fait partie du coefficient.
10. On calcule le discriminant.
11. $Δ > 0$ : deux racines. On applique la formule.
12. Puis la seconde.
13. Vérification sur la racine 3, dans l'équation de départ.
14. $S = {2; 3}$
15. Ici $a = 2$ , $b = 3$ , $c = - 2$ .
16. Attention au double signe : $- 4 a c$ avec $c$ négatif donne une addition.
17. La racine de 25 vaut 5.
18. Puis l'autre.
19. $S = {- 2; 0, 5}$