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Équations et inéquations — Premier et second degré

Q: Équations et inéquations — Premier et second degré : c'est en quelle classe ?

Ce chapitre est au programme de Mathématiques au lycée, en classe de Seconde. Il est défini par le Bulletin Officiel de l'Éducation nationale, le texte de référence qui fixe ce qui doit être enseigné dans chaque matière.

Q: Où télécharger la fiche PDF de Équations et inéquations — Premier et second degré ?

Sur cette page, dans le bloc « Imprimer » : 3 documents à télécharger — le cours, les exercices et le corrigé — soit 7 pages au format A4, prêtes à imprimer. Le téléchargement est gratuit, immédiat, et ne demande ni compte ni adresse e-mail.

Q: Le corrigé de Équations et inéquations — Premier et second degré est-il fourni ?

Oui, et c'est un document à part : chaque exercice y est repris étape par étape, avec le barème détaillé en fin de fiche — ce qui est attendu, combien de points, et ce qui fait perdre le point. Un parent qui ne se souvient plus du programme peut corriger une copie avec.

Q: Comment réviser Équations et inéquations — Premier et second degré efficacement ?

Commence par lire la fiche de révision pour remettre la règle en place, puis enchaîne immédiatement sur le quiz de cette page. Répondre juste après avoir lu ne suffit pas : reviens sur le chapitre deux ou trois jours plus tard. C'est l'espacement des révisions, plus que leur durée, qui fait tenir une notion en mémoire. Une session de quinze minutes répétée vaut mieux qu'une heure unique.

Q: Faut-il un compte pour s'entraîner sur Équations et inéquations — Premier et second degré ?

Non. Les quiz, les corrections détaillées et les fiches de révision sont accessibles sans créer de compte et sans donner d'adresse e-mail. Le compte gratuit sert uniquement à conserver la progression d'un appareil à l'autre.

Programme en vigueur — arrêté du 26 février 2026, applicable en Seconde depuis la rentrée 2026. Voir le texte

Équations du 1er degré. Inéquations (inversion du signe). Second degré ax² + bx + c = 0, discriminant Δ = b² - 4ac, racines.

La règle d'or

La solution d'une inéquation n'est plus une liste mais un intervalle, et diviser les deux membres par un nombre négatif en inverse le sens.

L'erreur que tout le monde fait

Calculer le discriminant de 2x² + 3x - 2 comme 9 - 16, en oubliant le signe de c.

Le produit de -4 par 2 puis par -2 vaut +16 : deux facteurs négatifs donnent un résultat positif. Le discriminant vaut donc 25 et non -7, et l'erreur transforme une équation à deux solutions en une équation qui n'en a aucune.

Calculer le produit de 4, de a et de c à part, avec son signe, puis le soustraire du carré de b.

Télécharger la fiche A4 — Équations et inéquations — Premier et second degré Version à trous, pour se testerSans compte, sans adresse e-mail · exercices et corrigé plus bas.

Notions à maîtriser

équation
inéquation
discriminant
racine
second degré
parabole

Réviser

Fiche de révision

Équations & inéquations : tout savoir !

Équations et inéquations — Premier et second degré 1. Équations du premier degré Une équation du premier degré (ou linéaire) s'écrit sous la forme : ax + b = 0 où a et b sont de

Lire la fiche

Résoudre une équation, c'est trouver les nombres qui la rendent vraie. Résoudre une inéquation, c'est trouver ceux qui la rendent vraie aussi — mais il y en a en général une infinité, et la réponse n'est plus une liste : c'est un intervalle. Ce changement de nature de la réponse est ce qui déroute le plus en début de seconde, avant même la règle du signe.

1Le premier degré

Résoudre $ax + b = c$

Rassembler les $x$ d'un côté, les nombres de l'autre, en changeant le signe de tout terme qui traverse le signe égal.
Diviser les deux membres par le coefficient de $x$ .
Vérifier en remplaçant dans l'équation de départ — jamais dans une ligne intermédiaire, qui pourrait déjà contenir l'erreur.cette vérification coûte dix secondes et attrape toutes les erreurs de signe.

Règle

Une inéquation se résout exactement de la même façon, avec une seule différence, qui n'admet aucune exception : multiplier ou diviser les deux membres par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité. Ajouter ou soustraire, en revanche, ne change jamais rien.

- 3 x > 12 ⟺ x < - 4

Piège

Résoudre $- 3 x > 12$ en écrivant $x > - 4$ .

Pourquoi — on a divisé par $- 3$ sans retourner l'inégalité. Un contrôle immédiat le montre : pour $x = 0$ , on aurait $0 > 12$ , ce qui est faux ; pour $x = - 5$ , on obtient $15 > 12$ , ce qui est vrai.

Le réflexe — entourer le nombre par lequel on divise. S'il est négatif, retourner le symbole avant d'écrire la ligne suivante — et non après, quand on a oublié.

La solution d'une inéquation s'écrit comme un intervalle, et la notation compte : $[- 4; + \infty [$ inclut $- 4$ , $] - 4; + \infty [$ ne l'inclut pas. Le crochet tourné vers l'extérieur exclut la borne. L'infini n'étant pas un nombre, son crochet est toujours ouvert.

2Le second degré

Règle

Une équation du second degré s'écrit $a x^{2} + b x + c = 0$ , avec $a \neq = 0$ . Son discriminant décide de tout : $Δ = b^{2} - 4 a c$ . Si $Δ > 0$ , il y a deux racines ; si $Δ = 0$ , une seule, dite double ; si $Δ < 0$ , aucune racine réelle.

x = \frac{- b \pm Δ}{2 a}

Trois signes, trois positions de la parabole.

Exemple

Résoudre $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ .

On identifie les coefficients : $a = 1$ , $b = - 5$ , $c = 6$ . Le signe de $b$ fait partie du coefficient.
On calcule le discriminant. $Δ = (- 5)^{2} - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1$
$Δ > 0$ : deux racines. On applique la formule. $\frac{5 + 1}{2} = 3$
Puis la seconde. $\frac{5 - 1}{2} = 2$
Vérification sur la racine 3, dans l'équation de départ. $3^{2} - 5 \times 3 + 6 = 0$ les solutions sont 2 et 3.

$S = {2; 3}$

Exemple

Résoudre $2 x^{2} + 3 x - 2 = 0$ .

Ici $a = 2$ , $b = 3$ , $c = - 2$ . $Δ = 3^{2} - 4 \times 2 \times (- 2) = 9 + 16 = 25$
Attention au double signe : $- 4 a c$ avec $c$ négatif donne une addition.
La racine de 25 vaut 5. $\frac{- 3 + 5}{4} = 0, 5$
Puis l'autre. $\frac{- 3 - 5}{4} = - 2$ les solutions sont $0, 5$ et $- 2$ .

$S = {- 2; 0, 5}$

Piège

Écrire $Δ = 3^{2} - 4 \times 2 \times (- 2) = 9 - 16 = - 7$ .

Pourquoi — le produit $- 4 \times 2 \times (- 2)$ vaut $+ 16$ : deux facteurs négatifs donnent un résultat positif. L'erreur transforme une équation à deux solutions en une équation sans solution.

Le réflexe — calculer $4 a c$ à part, avec son signe, puis le soustraire. Ici $4 a c = - 16$ , donc $Δ = 9 - (- 16) = 25$ .

Quand $Δ > 0$ , l'expression se factorise : $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , où $x_{1}$ et $x_{2}$ sont les racines. C'est cette forme qui permet ensuite d'étudier le signe du trinôme — et c'est la raison pour laquelle on cherche des racines même quand on ne résout pas d'équation.

▢Ai-je retourné l'inégalité en divisant par un nombre négatif ?
▢Ma solution d'inéquation est-elle écrite comme un intervalle, crochets compris ?
▢Pour $Δ$ : ai-je pris $b$ et $c$ avec leur signe ?
▢Ai-je calculé $4 a c$ à part avant de le soustraire ?
▢ $Δ < 0$ : ai-je conclu « aucune solution réelle », sans forcer un calcul ?
▢Ai-je vérifié une racine dans l'équation de départ ?

L'essentiel en 7 points

·Multiplier ou diviser une inéquation par un négatif inverse le sens.
·Une solution d'inéquation s'écrit en intervalle ; l'infini a toujours un crochet ouvert.
· $Δ = b^{2} - 4 a c$ · deux racines si $Δ > 0$ , une si $Δ = 0$ , aucune si $Δ < 0$ .
· $x = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ — et $b$ , $c$ se prennent avec leur signe.
·Calculer $4 a c$ à part, puis le soustraire : c'est là que naissent les erreurs de signe.
·Un produit nul ne se scinde que si l'autre membre vaut 0.
·Toute solution d'un problème mis en équation doit être confrontée au contexte.

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Fiche PDF — Équations et inéquations — Premier et second degré

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Au sommaire du cours

1. Le premier degré
2. Le second degré

Conforme au programme officiel · version 2026.1.

Exercices corrigés

Premier degré

Calculer

a. $5 x - 7 = 2 x + 8$
b. $\frac{x}{3} + 2 = 5$
c. $4 (x - 1) = 2 x + 6$

›Voir le corrigé

a. On rassemble. $5 x - 2 x = 8 + 7$
Puis on divise. $\frac{15}{3} = 5$ $x = 5$ .
b. On isole la fraction. $\frac{x}{3} = 3$
On multiplie par 3. $3 \times 3 = 9$ $x = 9$ .
c. On développe d'abord : $4 x - 4 = 2 x + 6$ . $4 x - 2 x = 6 + 4$
D'où le résultat. $\frac{10}{2} = 5$ $x = 5$ .

Inéquations et sens de l'inégalité

Calculer

a. $2 x + 5 < 11$
b. $- 4 x ⩾ 12$
c. $3 - 2 x > 9$

›Voir le corrigé

a. On soustrait 5 : le sens ne change pas. $\frac{6}{2} = 3$ $x < 3$ , soit $S =] - \infty; 3 [$ .
b. On divise par $- 4$ : le sens s'inverse. $\frac{12}{- 4} = - 3$
D'où $x ⩽ - 3$ , soit $S =] - \infty; - 3]$ — crochet fermé, l'inégalité était large.
c. On isole : $- 2 x > 6$ . $\frac{6}{- 2} = - 3$
En divisant par $- 2$ , le sens s'inverse : $x < - 3$ , soit $S =] - \infty; - 3 [$ .
Contrôle sur c avec $x = - 4$ : $3 - 2 \times (- 4) = 11$ , et $11 > 9$ . La valeur convient bien.

Calculer un discriminant

Calculer

a. $x^{2} - 4 x + 4 = 0$
b. $x^{2} + x + 1 = 0$
c. $3 x^{2} - 5 x - 2 = 0$

›Voir le corrigé

a. $a = 1$ , $b = - 4$ , $c = 4$ . $Δ = 16 - 16 = 0$
Une racine double. $\frac{4}{2} = 2$ $S = {2}$ .
b. $a = 1$ , $b = 1$ , $c = 1$ . $Δ = 1 - 4 = - 3$
$Δ < 0$ : aucune solution réelle, $S = \emptyset$ . On s'arrête là — il n'y a rien à calculer de plus.
c. $a = 3$ , $b = - 5$ , $c = - 2$ . On calcule $4 a c = 3 \times 4 \times (- 2) = - 24$ . $Δ = 25 + 24 = 49$
La racine de 49 vaut 7. $\frac{5 + 7}{6} = 2$
Puis l'autre. $\frac{5 - 7}{6} \approx - 0, 33$ les solutions sont 2 et $- \frac{1}{3}$ .

Équation-produit

Raisonner

a. $(x - 3) (2 x + 5) = 0$
b. $x^{2} - 9 = 0$ , sans utiliser le discriminant.
c.Pourquoi $(x - 3) (2 x + 5) = 7$ ne se résout-il pas de la même façon ?

›Voir le corrigé

a. Un produit est nul si l'un des facteurs l'est : $x - 3 = 0$ ou $2 x + 5 = 0$ .
La seconde donne $x = - 2, 5$ . $\frac{- 5}{2} = - 2, 5$ $S = {- 2, 5; 3}$ .
b. On reconnaît une différence de carrés : $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ .
D'où $S = {- 3; 3}$ — plus rapide que le discriminant, qui donnerait le même résultat.
c. Parce que la propriété du produit nul ne vaut que pour zéro. Deux nombres de produit 7 peuvent valoir 1 et 7, ou 14 et 0,5 : le produit ne dit rien sur chacun.
Il faudrait développer, tout ramener à zéro, puis appliquer le discriminant.

Mise en équation

Modéliser

a.Un rectangle a une longueur qui dépasse sa largeur de 3 cm, et une aire de 40 cm². Quelles sont ses dimensions ?
b.Vérifier le résultat.
c.L'équation a deux solutions : pourquoi une seule convient-elle ?

›Voir le corrigé

a. On note $x$ la largeur : la longueur vaut $x + 3$ , et l'aire $x (x + 3) = 40$ .
On développe et on ramène à zéro : $x^{2} + 3 x - 40 = 0$ . $Δ = 9 + 160 = 169$
La racine de 169 vaut 13. $\frac{- 3 + 13}{2} = 5$
Puis l'autre. $\frac{- 3 - 13}{2} = - 8$
b. Avec $x = 5$ : largeur 5 cm, longueur 8 cm. $5 \times 8 = 40$
c. Parce que $- 8$ est une solution de l'équation, pas du problème : une largeur ne peut pas être négative.
C'est une étape obligatoire de tout problème mis en équation : revenir au contexte pour écarter les solutions impossibles.

Trouver le maximum d'une aire

Raisonner

a.On reprend l'enclos contre un mur : $A (x) = x (40 - 2 x)$ . Résoudre $A (x) = 150$ .
b.Résoudre $A (x) = 200$ .
c.Que dit le nombre de solutions sur la position du maximum ?

›Voir le corrigé

a. On développe : $40 x - 2 x^{2} = 150$ , soit $- 2 x^{2} + 40 x - 150 = 0$ , ou $x^{2} - 20 x + 75 = 0$ après division par $- 2$ . $Δ = 400 - 300 = 100$
La racine de 100 vaut 10. $\frac{20 + 10}{2} = 15$
Puis l'autre. $\frac{20 - 10}{2} = 5$ deux largeurs conviennent, 5 m et 15 m.
b. Pour 200 : $x^{2} - 20 x + 100 = 0$ . $Δ = 400 - 400 = 0$
Une racine double. $\frac{20}{2} = 10$ une seule largeur, 10 m.
c. Une aire atteinte deux fois est atteinte de part et d'autre du sommet ; une aire atteinte une seule fois l'est exactement au sommet.
Le maximum vaut donc 200 m², pour une largeur de 10 m — ce que les valeurs calculées au chapitre précédent laissaient deviner, et qui est ici démontré.

Ce qui rapporte des points, ce qui en coûte

Inverser le sens en divisant par un négatif3 ptsPerdu si : Une inéquation résolue à l'envers
Calculer Δ avec les signes exacts4 ptsPerdu si : $-4ac$ traité comme une soustraction quand $c$ est négatif
Conclure correctement selon le signe de Δ3 ptsPerdu si : Chercher des racines quand $\Delta<0$
Écrire l'ensemble des solutions avec la bonne notation2 ptsPerdu si : Un crochet fermé sur l'infini
Confronter les solutions au contexte du problème3 ptsPerdu si : Une largeur négative retenue comme réponse

La méthode

Résoudre une équation du second degré

1
Écrire l'équation avec un membre nul, sous la forme ax² + bx + c = 0.
2
Relever a, b et c avec leur signe.
3
Calculer le discriminant en soustrayant le produit de 4, a et c du carré de b.
4
Conclure d'après son signe : deux racines s'il est positif, une seule s'il est nul, aucune s'il est négatif.
5
Confronter chaque solution au contexte du problème avant de rédiger la réponse.

Se tester

Touches 1 à 4

MathématiquesSeconde

Question 1

On donne la parabole d'équation

y = -x^2 + 4x - 3

. Quel est le sommet de cette parabole ?

Aucun compte requis — réponds, la correction s'affiche aussitôt.

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Se tester en conditions de contrôle

1 contrôle sur ce chapitre, chacun avec sa durée, son barème sur vingt et un corrigé qui explique chaque réponse.

Contrôle n°155 min · /20

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Questions fréquentes

Équations et inéquations — Premier et second degré : c'est en quelle classe ?

Ce chapitre est au programme de Mathématiques au lycée, en classe de Seconde. Il est défini par le Bulletin Officiel de l'Éducation nationale, le texte de référence qui fixe ce qui doit être enseigné dans chaque matière.

Que faut-il savoir sur Équations et inéquations — Premier et second degré ?

Équations du 1er degré. Inéquations (inversion du signe). Second degré ax² + bx + c = 0, discriminant Δ = b² - 4ac, racines. Les notions à maîtriser sont : équation, inéquation, discriminant, racine, second degré, parabole.

Où télécharger la fiche PDF de Équations et inéquations — Premier et second degré ?

Sur cette page, dans le bloc « Imprimer » : 3 documents à télécharger — le cours, les exercices et le corrigé — soit 7 pages au format A4, prêtes à imprimer. Le téléchargement est gratuit, immédiat, et ne demande ni compte ni adresse e-mail.

Le corrigé de Équations et inéquations — Premier et second degré est-il fourni ?

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Comment réviser Équations et inéquations — Premier et second degré efficacement ?

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