Fiche à trous · Seconde · Mathématiques

Fonctions de référence : carré, racine, inverse, cube

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Quatre fonctions reviennent partout, et il faut pouvoir les tracer de mémoire en dix secondes : $x^{2}$ , $x$ , $\frac{1}{x}$ et $x^{3}$ . Les connaître ne sert pas qu'à les reconnaître : la plupart des fonctions rencontrées ensuite sont l'une d'elles, déplacée, retournée ou étirée. Savoir la courbe de départ, c'est savoir la courbe d'arrivée.

Les quatre courbes

Propriété

Piège

Écrire que la fonction inverse est décroissante sur $R ∖ {0}$ .

un sens de variation s'annonce toujours sur un intervalle. Deux intervalles séparés exigent deux phrases distinctes.

Propriété

Comparer sans calculer

Règle

Exemple

Comparer $(\frac{1}{2})^{2}$ et $\frac{1}{2}$ , puis $3^{2}$ et 3. Que remarque-t-on ?

Résultat :

Transformations de courbes : translation et réflexion

Règle

Le sens du décalage horizontal se retrouve sans l'apprendre. La courbe de $g (x) = (x - 3)^{2}$ atteint son minimum lorsque $x - 3 = 0$ , c'est-à-dire en $x = 3$ : le sommet de la parabole s'est donc déplacé vers la droite. Écrire $x - 3$ décale vers la droite, écrire $x + 3$ décale vers la gauche. Une vérification en trois secondes vaut mieux qu'une règle mal retenue.

Puis-je tracer les quatre courbes de mémoire, avec leur domaine ?
L'inverse est décroissante sur chaque intervalle, jamais sur leur réunion.
Le cube est la seule des quatre à être croissante sur $R$ entier.
Pour comparer deux images : ai-je invoqué le sens de variation ?
Élever au carré diminue les nombres entre 0 et 1 : y ai-je pensé ?
Pour $f (x + k)$ : ai-je vérifié le sens du décalage en annulant la parenthèse ?

Corrigé · à détacher

Fonctions de référence : carré, racine, inverse, cube

1. Quatre allures, à reconnaître sans hésiter.
2. La fonction carré $f (x) = x^{2}$ est définie sur $R$ , décroissante sur $] - \infty; 0]$ , croissante sur $[0; + \infty [$ . Elle est paire : sa courbe, la parabole, est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, et son minimum vaut 0, atteint en 0.
3. La fonction racine carrée $f (x) = x$ n'est définie que sur $[0; + \infty [$ et y est croissante. Sa courbe part de l'origine et monte de plus en plus lentement : elle n'a ni symétrie ni maximum.
4. La fonction inverse $f (x) = \frac{1}{x}$ est définie sur $R ∖ {0}$ . Elle est impaire, et sa courbe — l'hyperbole — est formée de deux branches symétriques par rapport à l'origine. Elle est décroissante sur $] - \infty; 0 [$ et décroissante sur $] 0; + \infty [$ , mais non sur leur réunion.
5. La fonction cube $f (x) = x^{3}$ est définie sur $R$ et croissante sur $R$ tout entier — c'est la seule des quatre. Elle est impaire, et sa courbe traverse l'origine en s'aplatissant.
6. Les variations permettent de comparer deux images sans les calculer. Sur un intervalle où $f$ est croissante, $a < b$ entraîne $f (a) < f (b)$ : l'ordre se transmet. Sur un intervalle décroissant, il s'inverse. C'est ainsi qu'on compare $7$ et $8$ — la racine étant croissante, $7 < 8$ — sans ouvrir la calculatrice.
7. Le premier calcul.
8. Or $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$ : élever au carré a diminué le nombre.
9. Le second calcul.
10. Cette fois $9 > 3$ : élever au carré a augmenté le nombre.
11. La frontière est 1, qui est son propre carré. C'est le contre-exemple à opposer à l'idée que « le carré, ça augmente ».
12. $(\frac{1}{2})^{2} < \frac{1}{2}$ et $3^{2} > 3$
13. Trois transformations suffisent en seconde, et chacune se lit dans l'écriture. $f (x) + k$ translate la courbe vers le haut de $k$ — vers le bas si $k$ est négatif. $f (x + k)$ la translate vers la gauche de $k$ : le signe est contre-intuitif, et c'est là que se perdent les points. $- f (x)$ la retourne par rapport à l'axe des abscisses : c'est une réflexion, et non une translation.