Un sens de variation s'annonce toujours sur un intervalle : la fonction inverse décroît sur chacune de ses deux branches, jamais sur leur réunion.
L'erreur que tout le monde fait
Écrire que la fonction inverse est décroissante sur l'ensemble des réels privé de zéro.
Prendre a = -1 et b = 1 : on a bien a < b, mais leurs images valent -1 et 1, donc l'image de a est plus petite que celle de b. L'ordre est conservé, et la fonction n'est donc pas décroissante sur cette réunion, malgré l'allure des deux branches.
Annoncer deux phrases distinctes pour deux intervalles séparés. Un sens de variation ne se déclare jamais sur une réunion d'intervalles.
Quatre fonctions reviennent partout, et il faut pouvoir les tracer de mémoire en dix secondes : x2, x, x1 et x3. Les connaître ne sert pas qu'à les reconnaître : la plupart des fonctions rencontrées ensuite sont l'une d'elles, déplacée, retournée ou étirée. Savoir la courbe de départ, c'est savoir la courbe d'arrivée.
1Les quatre courbes
Quatre allures, à reconnaître sans hésiter.
Propriété
La fonction carréf(x)=x2 est définie sur R, décroissante sur ]−∞;0], croissante sur [0;+∞[. Elle est paire : sa courbe, la parabole, est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, et son minimum vaut 0, atteint en 0.
Propriété
La fonction racine carréef(x)=x n'est définie que sur [0;+∞[ et y est croissante. Sa courbe part de l'origine et monte de plus en plus lentement : elle n'a ni symétrie ni maximum.
Propriété
La fonction inversef(x)=x1 est définie sur R∖{0}. Elle est impaire, et sa courbe — l'hyperbole — est formée de deux branches symétriques par rapport à l'origine. Elle est décroissante sur ]−∞;0[et décroissante sur ]0;+∞[, mais non sur leur réunion.
Piège
Écrire que la fonction inverse est décroissante sur R∖{0}.
Pourquoi — prendre a=−1 et b=1 : on a a<b, mais f(a)=−1 et f(b)=1, donc f(a)<f(b). L'ordre est conservé — la fonction n'est donc pas décroissante sur cette réunion.
Le réflexe — un sens de variation s'annonce toujours sur un intervalle. Deux intervalles séparés exigent deux phrases distinctes.
Propriété
La fonction cubef(x)=x3 est définie sur R et croissante sur R tout entier — c'est la seule des quatre. Elle est impaire, et sa courbe traverse l'origine en s'aplatissant.
2Comparer sans calculer
Règle
Les variations permettent de comparer deux images sans les calculer. Sur un intervalle où f est croissante, a<b entraîne f(a)<f(b) : l'ordre se transmet. Sur un intervalle décroissant, il s'inverse. C'est ainsi qu'on compare 7 et 8 — la racine étant croissante, 7<8 — sans ouvrir la calculatrice.
Exemple
Comparer (21)2 et 21, puis 32 et 3. Que remarque-t-on ?
Le premier calcul.(21)2=41
Or 41<21 : élever au carré a diminué le nombre.
Le second calcul.32=9
Cette fois 9>3 : élever au carré a augmenté le nombre.le carré agrandit les nombres supérieurs à 1 et rapetisse ceux qui sont compris entre 0 et 1.
La frontière est 1, qui est son propre carré. C'est le contre-exemple à opposer à l'idée que « le carré, ça augmente ».
(21)2<21 et 32>3
3Transformations de courbes : translation et réflexion
Règle
Trois transformations suffisent en seconde, et chacune se lit dans l'écriture. f(x)+ktranslate la courbe vers le haut de k — vers le bas si k est négatif. f(x+k) la translate vers la gauche de k : le signe est contre-intuitif, et c'est là que se perdent les points. −f(x) la retourne par rapport à l'axe des abscisses : c'est une réflexion, et non une translation.
Le sens du décalage horizontal se retrouve sans l'apprendre. La courbe de g(x)=(x−3)2 atteint son minimum lorsque x−3=0, c'est-à-dire en x=3 : le sommet de la parabole s'est donc déplacé vers la droite. Écrire x−3 décale vers la droite, écrire x+3 décale vers la gauche. Une vérification en trois secondes vaut mieux qu'une règle mal retenue.
▢Puis-je tracer les quatre courbes de mémoire, avec leur domaine ?
▢L'inverse est décroissante sur chaque intervalle, jamais sur leur réunion.
▢Le cube est la seule des quatre à être croissante sur R entier.
▢Pour comparer deux images : ai-je invoqué le sens de variation ?
▢Élever au carré diminue les nombres entre 0 et 1 : y ai-je pensé ?
▢Pour f(x+k) : ai-je vérifié le sens du décalage en annulant la parenthèse ?
L'essentiel en 7 points
·Carré : R, paire, minimum 0 en 0 — parabole.
·Racine : [0;+∞[, croissante, part de l'origine.
·Inverse : R∖{0}, impaire, décroissante sur chaque intervalle — hyperbole.
·Cube : R, impaire, croissante partout — la seule.
·Comparer sans calculer : invoquer le sens de variation sur l'intervalle.
·Le carré diminue les nombres compris entre 0 et 1. Points fixes : 0 et 1.
·f(x)+k monte · f(x+k) va à gauche · −f(x) retourne.
2
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Fiche PDF — Fonctions de référence : carré, racine, inverse, cube
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Au sommaire du cours
1. Les quatre courbes
2. Comparer sans calculer
3. Transformations de courbes : translation et réflexion
a.Donner le domaine de définition de chacune des quatre fonctions de référence.
b.Laquelle est croissante sur R tout entier ?
c.Lesquelles sont paires, lesquelles impaires ?
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a. Carré et cube : R. Racine : [0;+∞[. Inverse : R∖{0}.
b. Le cube, et lui seul. Le carré change de sens en 0, la racine n'est définie qu'à droite, l'inverse a un trou.
c. Paire : le carré. Impaires : l'inverse et le cube.
La racine n'est ni l'une ni l'autre : son domaine n'est pas symétrique, ce qui suffit à l'exclure.
Ce dernier point est un raisonnement utile : une fonction dont le domaine n'est pas symétrique par rapport à 0 ne peut être ni paire ni impaire.
2
Comparer sans calculatrice
Raisonner
a.Comparer 15 et 17.
b.Comparer 41 et 71.
c.Comparer (−5)2 et (−3)2.
›Voir le corrigéMasquer le corrigé
a. La racine est croissante sur [0;+∞[ et 15<17, donc 15<17.
b. L'inverse est décroissante sur ]0;+∞[ et 4<7, donc l'ordre s'inverse : 41>71.
c. Les deux nombres sont négatifs, et le carré est décroissant sur ]−∞;0].
Comme −5<−3, l'ordre s'inverse.(−5)2=25
Puis la deuxième.(−3)2=9et en effet 25>9.
Chaque réponse nomme l'intervalle et le sens de variation avant de conclure : c'est ce qui est attendu, et le calcul ne sert qu'à contrôler.
3
Reconnaître une courbe transformée
Analyser
a.f(x)=x2+3
b.g(x)=(x−2)2
c.h(x)=−x2
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a. La parabole de référence, translatée de 3 vers le haut. Son minimum vaut 3, atteint en 0.
b. La parabole translatée de 2 vers la droite : le carré s'annule lorsque x−2=0, donc en x=2.
Son minimum vaut 0, atteint en 2.
c. La parabole retournée par rapport à l'axe des abscisses : elle s'ouvre vers le bas.
Son extremum change de nature : ce n'est plus un minimum mais un maximum, valant 0 en 0.
Le retournement échange systématiquement maximum et minimum — c'est la conséquence à ne pas oublier.
4
Résoudre graphiquement
Analyser
a.Combien de solutions l'équation x2=5 a-t-elle ? Et x2=−2 ?
b.Combien de solutions pour x1=0 ?
c.Combien pour x3=7 ?
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a.x2=5 : deux solutions, 5 et −5 — la droite horizontale coupe la parabole en deux points.
x2=−2 : aucune. Un carré n'est jamais négatif, et la droite y=−2 passe sous la parabole.
b. Aucune : l'hyperbole s'approche de l'axe des abscisses sans jamais l'atteindre.
Algébriquement, x1=0 donnerait 1=0, ce qui est impossible.
c. Exactement une. La fonction cube étant croissante sur R entier, toute droite horizontale la coupe une fois et une seule.
C'est la conséquence pratique de la croissance stricte, et elle vaut pour toute équation x3=k.
5
Le carré entre 0 et 1
Raisonner
a.Calculer 0,92, 0,52 et 0,12.
b.Que remarque-t-on ? Énoncer la règle.
c.Pour quel nombre a-t-on x2=x ?
›Voir le corrigéMasquer le corrigé
a. Les trois carrés.0,92=0,81
Puis la deuxième.0,52=0,25
Puis la suivante.0,12=0,01
b. Chaque carré est plus petit que le nombre de départ. Élever au carré un nombre compris entre 0 et 1 le rapproche de zéro.
Et plus le nombre est petit, plus l'écart est spectaculaire : 0,1 devient 0,01, soit dix fois moins.
c. Deux nombres seulement : 0 et 1. On résout x2−x=0, soit x(x−1)=0.
Ce sont les deux points fixes du carré, et ils marquent la frontière entre les deux comportements.
6
Un problème d'inverse
Modéliser
a.Un trajet de 120 km est parcouru à la vitesse v km/h. Exprimer la durée t(v) en heures.
b.Calculer t(40), t(60) et t(120).
c.Doubler la vitesse divise-t-il la durée par deux ? Justifier par la nature de la fonction.
›Voir le corrigéMasquer le corrigé
a. La durée est le quotient de la distance par la vitesse.t(v)=v120
C'est la fonction inverse, multipliée par 120. Son domaine ici est ]0;+∞[ : une vitesse nulle n'a pas de sens.
Les trois valeurs.40120=3
Puis la deuxième.60120=2
Puis la suivante.120120=1
c. Oui. Passer de 60 à 120 km/h fait passer la durée de 2 h à 1 h.
C'est la propriété de la fonction inverse : multiplier v par un nombre divise t par ce même nombre. On dit que t et v sont inversement proportionnelles.
Ce qui rapporte des points, ce qui en coûte
Donner domaine et variations d'une fonction de référence3 ptsPerdu si : « L'inverse est décroissante sur son domaine »
Comparer deux images en invoquant le sens de variation4 ptsPerdu si : Comparer à la calculatrice sans justifier
Reconnaître une transformation dans l'écriture4 ptsPerdu si : Décaler à droite ce que $f(x+3)$ décale à gauche
Compter les solutions d'une équation à partir de la courbe3 ptsPerdu si : Oublier la seconde solution d'un carré
Rédiger une conclusion avec unité2 ptsPerdu si : Une durée sans heures
4
La méthode
Reconnaître une courbe transformée à partir d'une fonction de référence
1
Identifier la fonction de référence sous la transformation : carré, racine, inverse ou cube.
2
Repérer un nombre ajouté hors de la fonction, qui translate la courbe vers le haut ou vers le bas.
3
Chercher un nombre ajouté à x, qui translate la courbe horizontalement.
Le signe est contre-intuitif : ajouter un nombre à x déplace la courbe vers la gauche.
4
Regarder si un signe moins précède la fonction, auquel cas la courbe est retournée par rapport à l'axe des abscisses.
5
Se tester
Touches 1 à 4
MathématiquesSeconde
Question 1
On considère la fonction v définie par v(x)=x+1+2. Quel est l'ensemble des réels x pour lesquels v(x)≤3 ?
Aucun compte requis — réponds, la correction s'affiche aussitôt.
Fonctions de référence : carré, racine, inverse, cube : c'est en quelle classe ?+
Ce chapitre est au programme de Mathématiques au lycée, en classe de Seconde. Il est défini par le Bulletin Officiel de l'Éducation nationale, le texte de référence qui fixe ce qui doit être enseigné dans chaque matière.
Que faut-il savoir sur Fonctions de référence : carré, racine, inverse, cube ?+
f(x) = x², √x, 1/x, x³ : domaines, variations, représentations. Transformations de courbes (translation, réflexion). Les notions à maîtriser sont : parabole, hyperbole, racine carrée, cube, transformation.
Où télécharger la fiche PDF de Fonctions de référence : carré, racine, inverse, cube ?+
Sur cette page, dans le bloc « Imprimer » : 3 documents à télécharger — le cours, les exercices et le corrigé — soit 6 pages au format A4, prêtes à imprimer. Le téléchargement est gratuit, immédiat, et ne demande ni compte ni adresse e-mail.
Le corrigé de Fonctions de référence : carré, racine, inverse, cube est-il fourni ?+
Oui, et c'est un document à part : chaque exercice y est repris étape par étape, avec le barème détaillé en fin de fiche — ce qui est attendu, combien de points, et ce qui fait perdre le point. Un parent qui ne se souvient plus du programme peut corriger une copie avec.
Commence par lire la fiche de révision pour remettre la règle en place, puis enchaîne immédiatement sur le quiz de cette page. Répondre juste après avoir lu ne suffit pas : reviens sur le chapitre deux ou trois jours plus tard. C'est l'espacement des révisions, plus que leur durée, qui fait tenir une notion en mémoire. Une session de quinze minutes répétée vaut mieux qu'une heure unique.
Faut-il un compte pour s'entraîner sur Fonctions de référence : carré, racine, inverse, cube ?+
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Notions voisines
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