Fiche à trous · Seconde · Mathématiques

Généralités sur les fonctions

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Tout le programme de seconde, et une bonne part de celui du lycée, tient sur une seule idée : une fonction associe à chaque nombre un autre nombre, et un seul. Ce mot seul est ce qui distingue une fonction d'une correspondance quelconque, et c'est aussi ce qui permet de tout dessiner. Un graphique de fonction ne repasse jamais deux fois au-dessus du même point de l'axe horizontal.

Image, antécédent, domaine

Définition — fonction, image, antécédent :

Définition — domaine de définition :

Lire une image, lire un antécédent

Piège

Répondre « 2 » à la question « quel est l'antécédent de 3 ? » alors qu'on a lu $f (2) = 3$ … puis s'arrêter là.

tracer la droite horizontale d'ordonnée 3 en entier, d'un bord à l'autre du graphique, et compter toutes les intersections.

Variations et extremums

Définition — sens de variation :

Définition — maximum et minimum :

11.

Piège

Répondre « le maximum est 1 » quand la fonction atteint 4 en $x = 1$ .

formuler la réponse en une phrase complète : « le maximum vaut 4, atteint en $x = 1$ ». La phrase rend la confusion impossible.

Le tableau de variations sert à bien plus qu'à résumer : il permet de compter les solutions d'une équation qu'on ne sait pas résoudre. Si $f$ croît de $- 2$ à 4 sur un intervalle, alors toute valeur comprise entre $- 2$ et 4 y est atteinte exactement une fois. En additionnant les intervalles, on obtient le nombre exact de solutions de $f (x) = k$ — sans jamais calculer une seule d'entre elles.

Piège

Lire les variations d'une courbe de droite à gauche.

poser le doigt sur l'axe des abscisses et le faire glisser vers la droite, en regardant si la courbe monte ou descend.

Parité

Règle

Exemple

La fonction $f (x) = x^{2} - 3$ est-elle paire, impaire, ou ni l'une ni l'autre ?

Résultat :

Ai-je vérifié le domaine : pas de division par zéro, pas de racine d'un négatif ?
Image ou antécédent : ai-je lu le graphique dans le bon sens ?
Pour un antécédent : ai-je cherché tous les points d'intersection ?
Un extremum est une valeur de $f$ , atteinte en un $x$ : ai-je donné les deux ?
Croissante se lit toujours de gauche à droite.
Parité : ai-je calculé $f (- x)$ plutôt que de la deviner sur le dessin ?

Corrigé · à détacher

Généralités sur les fonctions

1. Une fonction $f$ associe à un nombre $x$ un unique nombre noté $f (x)$ . On dit que $f (x)$ est l'image de $x$ , et que $x$ est un antécédent de $f (x)$ . L'asymétrie est essentielle : l' image et un antécédent. Un nombre peut avoir plusieurs antécédents — pour $f (x) = x^{2}$ , le nombre 9 en a deux, 3 et $- 3$ — mais jamais deux images.
2. $x ⟼ f (x)$
3. Une entrée, une sortie — et jamais l'inverse.
4. Le domaine de définition $D_{f}$ est l'ensemble des nombres qui ont une image. Deux interdits le déterminent presque toujours : on ne divise pas par zéro, et on ne prend pas la racine carrée d'un nombre négatif. Ainsi $\frac{1}{x}$ est définie sur $R ∖ {0}$ et $x$ sur $[0; + \infty [$ .
5. Une image, de $x$ vers $f (x)$ : on part de $x$ sur l'axe horizontal, on monte jusqu'à la courbe, on lit à gauche sur l'axe vertical.
6. Un antécédent, de $f (x)$ vers $x$ : on part de la valeur sur l'axe vertical, on avance horizontalement, on lit en dessous chaque point de rencontre.
7. Contrôler le sens de lecture : l'énoncé demande-t-il « l'image de 2 » ou « les antécédents de 2 » ? Les deux questions ne se lisent pas dans le même sens.
8. Monter depuis l'axe des abscisses, lire sur celui des ordonnées.
9. Sur un intervalle $I$ , $f$ est croissante si l'ordre des nombres est conservé : lorsque $a < b$ , on a $f (a) ⩽ f (b)$ . Elle est décroissante si l'ordre est inversé. Graphiquement, une fonction croissante monte lorsqu'on parcourt la courbe de gauche à droite — jamais dans l'autre sens.
10. Un maximum de $f$ sur $I$ est la plus grande valeur atteinte : c'est un nombre, $f (a)$ , atteint en un nombre $a$ . Un minimum est la plus petite. Le tableau de variations résume tout : les valeurs de $x$ sur la première ligne, des flèches montantes ou descendantes sur la seconde, et les extremums écrits aux sommets et aux creux.
11. Une flèche par intervalle, et les extremums à leurs extrémités.
12. Une fonction est paire si $f (- x) = f (x)$ pour tout $x$ du domaine : sa courbe est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Elle est impaire si $f (- x) = - f (x)$ : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine. La plupart des fonctions ne sont ni l'une ni l'autre. Le test se fait toujours par le calcul, jamais sur le dessin — mais le dessin permet de deviner lequel tenter.
13. $paire : f (- x) = f (x) impaire : f (- x) = - f (x)$
14. On calcule $f (- x)$ en remplaçant $x$ par $- x$ partout, sans rien simplifier trop vite : $f (- x) = (- x)^{2} - 3$ .
15. Or $(- x)^{2} = x^{2}$ , car le carré d'un nombre négatif est positif.
16. Donc $f (- x) = x^{2} - 3 = f (x)$ : la fonction est paire, et sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
17. Contrôle numérique sur un cas : $f (2) = 1$ et $f (- 2) = 1$ .
18. $f$ est paire