Fiche à trous · Seconde · Mathématiques

Géométrie repérée — équation de droite et distance

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Poser un repère sur le plan transforme la géométrie en calcul. Une droite devient une équation, un parallélisme devient une égalité, une perpendicularité devient un produit qui vaut $- 1$ . Ce qui se démontrait à la règle et au compas se vérifie désormais en trois lignes — et surtout, se vérifie sans dessin, donc sans risque de se fier à une apparence.

L'équation d'une droite

Définition — coefficient directeur et ordonnée à l'origine :

Trouver l'équation d'une droite passant par deux points

Exemple

Équation de la droite passant par $A (1; 2)$ et $B (3; 8)$ .

Résultat :

Piège

Calculer $a$ en divisant la différence des abscisses par celle des ordonnées.

se dire la formule en français : « de combien monte-t-on quand on avance de 1 ». La montée est au numérateur.

Parallèles et perpendiculaires

Propriété

La condition $a \times a^{'} = - 1$ se retient mieux sous sa forme pratique : si $a = 3$ , alors $a^{'} = - \frac{1}{3}$ . On inverse la fraction et on change le signe. Le cas $a = 1$ donne $a^{'} = - 1$ : les deux diagonales d'un carré, ce qui se vérifie d'un coup d'œil sur un quadrillage.

Distances et milieux

Propriété

Exemple

Le triangle $A (1; 2)$ , $B (4; 6)$ , $C (- 2; 5)$ est-il isocèle ? On travaille en repère orthonormé.

Résultat :

Pour comparer des longueurs, il est souvent inutile d'extraire les racines : si $A B^{2} \neq = A C^{2}$ , alors $A B \neq = A C$ , puisque la fonction racine conserve l'ordre. On gagne du temps et l'on évite les arrondis — donc les fausses égalités.

Coefficient directeur : la différence des ordonnées au numérateur.
Ai-je vérifié mon équation sur le point qui n'a pas servi à la trouver ?
Parallèles : $a = a^{'}$ . Perpendiculaires : $a \times a^{'} = - 1$ .
La formule de distance suppose un repère orthonormé : l'énoncé le dit-il ?
Pour comparer des longueurs, ai-je comparé les carrés ?
Ma conclusion nomme-t-elle les points, avec une phrase ?

Corrigé · à détacher

Géométrie repérée — équation de droite et distance

1. Toute droite non verticale a une équation de la forme $y = a x + b$ . Le nombre $a$ est le coefficient directeur, encore appelé pente de la droite : c'est ce dont on monte quand on avance de 1. Le nombre $b$ est l'ordonnée à l'origine : c'est l'ordonnée du point de la droite dont l'abscisse vaut 0. Une droite verticale n'entre pas dans ce cadre : son équation est de la forme $x = k$ .
2. $a = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$
3. Deux nombres suffisent à décrire une droite.
4. Le coefficient directeur : différence des ordonnées divisée par différence des abscisses, dans le même ordre pour les deux.
5. L'ordonnée à l'origine : on remplace $x$ et $y$ par les coordonnées de l'un des deux points dans $y = a x + b$ , puis on isole $b$ .
6. La vérification : on teste l'autre point, celui qui n'a pas servi. S'il ne tombe pas juste, l'erreur est dans le calcul.
7. Le coefficient directeur.
8. On remplace avec le point $A$ : $2 = 3 \times 1 + b$ .
9. L'équation est donc $y = 3 x - 1$ .
10. Vérification avec $B$ , resté inutilisé.
11. $y = 3 x - 1$
12. Deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Elles sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs vaut $- 1$ . Dans ce second cas, chacun est l'opposé de l'inverse de l'autre.
13. $(d) ∥ (d^{'}) ⟺ a = a^{'} (d) ⊥ (d^{'}) ⟺ a \times a^{'} = - 1$
14. Dans un repère orthonormé — et seulement dans ce cas — la distance entre deux points se calcule par le théorème de Pythagore appliqué aux différences de coordonnées. Le milieu, lui, se calcule dans n'importe quel repère : c'est la moyenne des coordonnées.
15. $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$
16. Premier côté.
17. Deuxième côté.
18. Troisième côté.
19. Les trois longueurs sont deux à deux différentes : le triangle n'est pas isocèle.
20. le triangle est quelconque