Fiche à trous · Seconde · Mathématiques

Géométrie repérée — milieu, distance et équation de droite

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Un repère transforme la géométrie en calcul. Dès que deux points ont des coordonnées, on ne mesure plus avec une règle : on calcule une longueur, un milieu, une nature de figure — et le résultat est exact, pas approché. Trois formules suffisent pour tout le chapitre, et la moitié des points se perd en les appliquant dans le mauvais sens.

Le repère : la seule chose à comprendre avant tout le reste

Définition — Repère orthonormé :

Pourquoi insister sur « orthonormé » ? Parce que la formule de la distance n'est vraie que dans ce cas. Le milieu, lui, se calcule dans n'importe quel repère. Retenir cette différence, c'est déjà deux points de gagnés : une question de cours la demande presque toujours.

Piège

Écrire $M (2; 5)$ pour un point situé 5 à droite et 2 vers le haut.

dire la phrase à voix basse : « j'avance, puis je monte ». On avance sur l'axe horizontal, on monte sur l'axe vertical.

Le milieu d’un segment

Propriété

Exemple

Calculer les coordonnées du milieu $M$ de $[A B]$ avec $A (- 3; 2)$ et $B (5; 6)$ .

Résultat :

Retrouver un point dont on connaît le milieu

Exemple

$S (2; - 3)$ est le milieu de $[E Z]$ et $E (5; 1)$ . Calculer les coordonnées de $Z$ .

Résultat :

Piège

Calculer $Z$ comme une moyenne : $\frac{2 + 5}{2}$ .

se demander ce qui est connu. Deux extrémités connues → on divise. Un milieu et une extrémité → on double puis on retire.

La distance entre deux points

Propriété

20.

L'ordre des points n'a aucune importance : $(x_{F} - x_{D})^{2}$ et $(x_{D} - x_{F})^{2}$ donnent le même nombre, puisqu'un carré efface le signe. $D F = F D$ , comme on s'y attend d'une longueur.

Exemple

Calculer $U V$ avec $U (- 1; 3)$ et $V (5; 11)$ dans un repère orthonormé.

Résultat :

Exemple

Calculer $T Y$ avec $T (- 2; 4)$ et $Y (1; 10)$ , en valeur exacte.

Résultat :

Piège

Écrire $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ , sans racine.

garder la notation $A B^{2}$ tant que la racine n'est pas prise. Le carré écrit dans la marge empêche d'oublier.

Reconnaître une figure dans un repère

Montrer qu’un triangle est rectangle, isocèle, ou les deux

Exemple

Soit $A (3; 6)$ , $B (1; 2)$ et $C (5; 0)$ . Quelle est la nature du triangle $A B C$ ?

Résultat :

Propriété

Exemple

On garde $A (3; 6)$ , $B (1; 2)$ , $C (5; 0)$ . Soit $D$ le milieu de $[A C]$ et $E$ le point tel que $D$ soit le milieu de $[B E]$ . Quelle est la nature de $A B C E$ , et quelle est son aire ?

Résultat :

50.

Piège

Conclure « c'est un carré » après avoir trouvé quatre côtés égaux.

un carré demande deux arguments, toujours : une égalité de longueurs et un angle droit. Les écrire tous les deux, même si l'un paraît évident sur la figure.

L’équation d’une droite

Définition — Équation réduite :

Trouver l’équation d’une droite passant par deux points

Exemple

Équation de la droite passant par $P (1; 2)$ et $Q (3; 8)$ .

Résultat :

Propriété

Le repère est-il orthonormé ? Sans cela, aucune distance ne se calcule.
Ai-je écrit abscisse puis ordonnée, dans cet ordre, pour chaque point ?
Milieu : j'additionne et je divise par 2. Point manquant : je double et je retire.
Distance : ai-je pris la racine à la fin, ou me suis-je arrêté au carré ?
Une racine non entière : l'ai-je simplifiée au lieu de l'arrondir ?
Nature d'un triangle : j'ai comparé des carrés, et nommé le sommet.
Nature d'un quadrilatère : ai-je donné deux arguments quand la figure en demande deux ?
Ai-je conclu par une phrase nommant les points, et non par un nombre seul ?

Corrigé · à détacher

Géométrie repérée — milieu, distance et équation de droite

1. Un repère $(O; I; J)$ est orthonormé lorsque ses deux axes sont perpendiculaires — ortho — et que les unités $O I$ et $O J$ ont la même longueur — normé. Les coordonnées d'un point $M$ sont le couple $(x_{M}; y_{M})$ : l'abscisse d'abord, l'ordonnée ensuite.
2. Pour lire les coordonnées de $M$ , on descend sur l’axe des abscisses, puis on revient sur l’axe des ordonnées. Jamais l’inverse.
3. Le milieu $G$ du segment $[K L]$ a pour coordonnées la moyenne des coordonnées de $K$ et de $L$ :
4. $G (\frac{x _{K} + x _{L}}{2}; \frac{y _{K} + y _{L}}{2})$
5. Le milieu est la moyenne, coordonnée par coordonnée : $- 3$ et $5$ donnent $1$ , $2$ et $6$ donnent $4$ .
6. On applique la formule sur les abscisses :
7. Puis sur les ordonnées, séparément :
8. On vérifie à l'œil sur la figure : $M$ doit tomber entre $A$ et $B$ .
9. M(1 ; 4)
10. Repérer qui est le milieu. C'est la seule difficulté de ce type de question : « $S$ est le milieu de $[E Z]$ » ne se lit pas comme « $S$ est le milieu de $[S Z]$ ».
11. Écrire l'égalité du milieu sur les abscisses, en laissant l'inconnue :
12. Isoler l'inconnue — multiplier par 2, puis soustraire :
13. Recommencer sur les ordonnées, puis vérifier en recalculant le milieu obtenu.
14. Abscisse : on double celle du milieu, on retire celle du point connu.
15. Ordonnée, de la même façon :
16. Vérification — le milieu de $[E Z]$ doit redonner $S$ :
17. Z(−1 ; −7)
18. Dans un repère orthonormé, et seulement dans ce cas, la distance entre $D (x_{D}; y_{D})$ et $F (x_{F}; y_{F})$ vaut :
19. $D F = (x_{F} - x_{D})^{2} + (y_{F} - y_{D})^{2}$
20. La formule n’est rien d’autre que le théorème de Pythagore : $A B$ est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés sont les écarts de coordonnées.
21. On écrit les deux écarts, en gardant les parenthèses autour des nombres négatifs :
22. On calcule chaque écart, puis son carré :
23. La racine tombe juste, ce qui est rare — et rassurant :
24. UV = 10
25. Même marche à suivre :
26. $45$ n'est pas un carré parfait. On simplifie la racine plutôt que d'arrondir :
27. Une valeur approchée ne se donne que si l'énoncé la demande.
28. TY = 3√5
29. Calculer les carrés des trois longueurs. On s'arrête au carré : c'est tout ce dont les deux critères ont besoin.
30. Isocèle : deux carrés égaux. Nommer le sommet — « isocèle en $B$ » signifie $B A = B C$ .
31. Rectangle : la réciproque de Pythagore. Le plus grand carré doit valoir la somme des deux autres :
32. L'angle droit est au sommet opposé au plus grand côté.
33. Conclure par une phrase qui nomme les points, pas par un nombre seul.
34. Les trois carrés, l'un après l'autre :
35. Deuxième côté.
36. Troisième côté, le plus long.
37. $A B^{2} = B C^{2}$ , donc $A B = B C$ : le triangle est isocèle en $B$ .
38. Le plus grand carré est $A C^{2}$ . On teste la réciproque de Pythagore :
39. L'égalité est vérifiée, donc le triangle est rectangle en $B$ — le sommet opposé à $[A C]$ .
40. ABC est rectangle et isocèle en B
41. Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme. Dans un repère, cela se démontre en un calcul : les deux diagonales ont le même milieu.
42. Le milieu de $[A C]$ :
43. Son ordonnée :
44. Le point $E$ , par la méthode du symétrique :
45. Son ordonnée :
46. Les diagonales de $A B C E$ sont $[A C]$ et $[B E]$ . Elles ont le même milieu $D$ par construction : $A B C E$ est un parallélogramme.
47. Ce parallélogramme a un angle droit en $B$ et deux côtés consécutifs égaux ( $A B = B C$ ) : c'est un carré.
48. Son aire est le produit de deux côtés consécutifs — inutile de connaître la longueur du côté sous forme décimale :
49. ABCE est un carré d’aire 20 unités d’aire
50. Les diagonales $[A C]$ et $[B E]$ se coupent en leur milieu $D$ : c’est la signature d’un parallélogramme. L’angle droit et les côtés égaux en font un carré.
51. Toute droite non verticale admet une équation de la forme $y = a x + b$ . Le nombre $a$ est le coefficient directeur — ce qu'on monte quand on avance de $1$ —, et $b$ l'ordonnée à l'origine — l'ordonnée du point d'abscisse $0$ . Une droite verticale, elle, a une équation de la forme $x = k$ .
52. Calculer le coefficient directeur, ordonnées au numérateur :
53. Remplacer $x$ et $y$ par les coordonnées de l'un des deux points pour trouver $b$ .
54. Vérifier avec l'autre point — celui qui n'a pas servi.
55. Le coefficient directeur :
56. On remplace dans $y = 3 x + b$ avec le point $P$ :
57. Donc :
58. Vérification avec $Q$ , qui n'a pas servi :
59. y = 3x − 1
60. Deux droites non verticales d'équations $y = a x + b$ et $y = a^{'} x + b^{'}$ sont parallèles si et seulement si $a = a^{'}$ , et perpendiculaires — dans un repère orthonormé — si et seulement si :
61. $a \times a^{'} = - 1$