Géométrie repérée — Équation de droite et distance

Repère orthonormé — Un repère $(O;I;J)$ est orthonormé lorsque ses deux axes sont perpendiculaires — ortho — et que les unités $OI$ et $OJ$ ont la même longueur — normé. Les coordonnées d'un point $M$ sont le couple $(x_M;y_M)$ : l'abscisse d'abord, l'ordonnée ensuite.

Le milieu $G$ du segment $[KL]$ a pour coordonnées la moyenne des coordonnées de $K$ et de $L$ :

Calculer les coordonnées du milieu $M$ de $[AB]$ avec $A(-3;2)$ et $B(5;6)$.

1. On applique la formule sur les abscisses :$x_M=\frac{-3+5}{2}=\frac{2}{2}=1$
2. Puis sur les ordonnées, séparément :$y_M=\frac{2+6}{2}=\frac{8}{2}=4$
3. On vérifie à l'œil sur la figure : $M$ doit tomber entre $A$ et $B$.une coordonnée du milieu hors de l'intervalle des deux autres est forcément fausse.

M(1 ; 4)

Retrouver un point dont on connaît le milieu

1. Repérer qui est le milieu. C'est la seule difficulté de ce type de question : « $S$ est le milieu de $[EZ]$ » ne se lit pas comme « $S$ est le milieu de $[SZ]$ ».
2. Écrire l'égalité du milieu sur les abscisses, en laissant l'inconnue :$x_S=\frac{x_E+x_Z}{2}$
3. Isoler l'inconnue — multiplier par 2, puis soustraire :$x_Z=2x_S-x_E$
4. Recommencer sur les ordonnées, puis vérifier en recalculant le milieu obtenu.la vérification coûte dix secondes et attrape toutes les erreurs de signe.

$S(2;-3)$ est le milieu de $[EZ]$ et $E(5;1)$. Calculer les coordonnées de $Z$.

1. Abscisse : on double celle du milieu, on retire celle du point connu.$x_Z=2\times 2-5=4-5=-1$
2. Ordonnée, de la même façon :$y_Z=2\times (-3)-1=-6-1=-7$
3. Vérification — le milieu de $[EZ]$ doit redonner $S$ :$\frac{5+(-1)}{2}=\frac{4}{2}=2$

Z(−1 ; −7)

Dans un repère orthonormé, et seulement dans ce cas, la distance entre $D(x_D;y_D)$ et $F(x_F;y_F)$ vaut :

Calculer $UV$ avec $U(-1;3)$ et $V(5;11)$ dans un repère orthonormé.

1. On écrit les deux écarts, en gardant les parenthèses autour des nombres négatifs :$U{V}^2=(5-(-1){)}^2+(11-3{)}^2$
2. On calcule chaque écart, puis son carré :$U{V}^2=6^2+8^2=36+64=100$
3. La racine tombe juste, ce qui est rare — et rassurant :$UV=\sqrt{100}=10$

UV = 10

Calculer $TY$ avec $T(-2;4)$ et $Y(1;10)$, en valeur exacte.

1. Même marche à suivre :$T{Y}^2=(1-(-2){)}^2+(10-4{)}^2=3^2+6^2=9+36=45$
2. $45$ n'est pas un carré parfait. On simplifie la racine plutôt que d'arrondir :$TY=\sqrt{45}=\sqrt{9\times 5}=3\sqrt{5}$
3. Une valeur approchée ne se donne que si l'énoncé la demande.$3\sqrt{5}$ est exact ; $6,7$ ne l'est pas.

TY = 3√5

Montrer qu’un triangle est rectangle, isocèle, ou les deux

1. Calculer les carrés des trois longueurs. On s'arrête au carré : c'est tout ce dont les deux critères ont besoin.
2. Isocèle : deux carrés égaux. Nommer le sommet — « isocèle en $B$ » signifie $BA=BC$.
3. Rectangle : la réciproque de Pythagore. Le plus grand carré doit valoir la somme des deux autres :$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$
4. L'angle droit est au sommet opposé au plus grand côté.le plus grand côté est l'hypoténuse ; l'angle droit ne peut pas s'y trouver.
5. Conclure par une phrase qui nomme les points, pas par un nombre seul.

Soit $A(3;6)$, $B(1;2)$ et $C(5;0)$. Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?

1. Les trois carrés, l'un après l'autre :$A{B}^2=(1-3{)}^2+(2-6{)}^2=4+16=20$
2. Deuxième côté.$B{C}^2=(5-1{)}^2+(0-2{)}^2=16+4=20$
3. Troisième côté, le plus long.$A{C}^2=(5-3{)}^2+(0-6{)}^2=4+36=40$
4. $A{B}^2=B{C}^2$, donc $AB=BC$ : le triangle est isocèle en $B$.
5. Le plus grand carré est $A{C}^2$. On teste la réciproque de Pythagore :$A{B}^2+B{C}^2=20+20=40=A{C}^2$
6. L'égalité est vérifiée, donc le triangle est rectangle en $B$ — le sommet opposé à $[AC]$.

ABC est rectangle et isocèle en B

Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme. Dans un repère, cela se démontre en un calcul : les deux diagonales ont le même milieu.

On garde $A(3;6)$, $B(1;2)$, $C(5;0)$. Soit $D$ le milieu de $[AC]$ et $E$ le point tel que $D$ soit le milieu de $[BE]$. Quelle est la nature de $ABCE$, et quelle est son aire ?

1. Le milieu de $[AC]$ :$x_D=\frac{3+5}{2}=4$
2. Son ordonnée :$y_D=\frac{6+0}{2}=3$
3. Le point $E$, par la méthode du symétrique :$x_E=2\times 4-1=7$
4. Son ordonnée :$y_E=2\times 3-2=4$
5. Les diagonales de $ABCE$ sont $[AC]$ et $[BE]$. Elles ont le même milieu $D$ par construction : $ABCE$ est un parallélogramme.
6. Ce parallélogramme a un angle droit en $B$ et deux côtés consécutifs égaux ($AB=BC$) : c'est un carré.
7. Son aire est le produit de deux côtés consécutifs — inutile de connaître la longueur du côté sous forme décimale :$\mathcal{A}=\sqrt{20}\times \sqrt{20}=20$

ABCE est un carré d’aire 20 unités d’aire

Équation réduite — Toute droite non verticale admet une équation de la forme $y=ax+b$. Le nombre $a$ est le coefficient directeur — ce qu'on monte quand on avance de $1$ —, et $b$ l'ordonnée à l'origine — l'ordonnée du point d'abscisse $0$. Une droite verticale, elle, a une équation de la forme $x=k$.

Trouver l’équation d’une droite passant par deux points

1. Calculer le coefficient directeur, ordonnées au numérateur :$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
2. Remplacer $x$ et $y$ par les coordonnées de l'un des deux points pour trouver $b$.
3. Vérifier avec l'autre point — celui qui n'a pas servi.c'est la seule étape qui attrape une erreur de signe, et elle ne coûte qu'une ligne.

Équation de la droite passant par $P(1;2)$ et $Q(3;8)$.

1. Le coefficient directeur :$a=\frac{8-2}{3-1}=\frac{6}{2}=3$
2. On remplace dans $y=3x+b$ avec le point $P$ :$2=3\times 1+b$
3. Donc :$b=2-3=-1$
4. Vérification avec $Q$, qui n'a pas servi :$3\times 3-1=9-1=8$

y = 3x − 1

Deux droites non verticales d'équations $y=ax+b$ et $y=a^{\prime }x+b^{\prime }$ sont parallèles si et seulement si $a=a^{\prime }$, et perpendiculaires — dans un repère orthonormé — si et seulement si :