Fiche à trous · Seconde · Mathématiques

Probabilités — modèles et calculs

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Une probabilité ne prédit rien. Elle ne dit pas ce qui arrivera au prochain lancer : elle décrit ce qui arrive à la longue, sur un très grand nombre de répétitions. Toute la difficulté du chapitre tient dans cet écart entre une valeur théorique, calculée avant toute expérience, et une fréquence observée qui s'en approche sans jamais l'atteindre exactement.

Le vocabulaire, qui décide de tout

Définition — univers, issue, événement :

Règle

Propriété

Réunion et intersection

Règle

Exemple

On lance un dé équilibré. $A$ : « obtenir un nombre pair ». $B$ : « obtenir un multiple de 3 ». Calculer $P (A \cup B)$ .

Résultat :

Piège

Écrire $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ sans vérifier l'intersection.

avant d'additionner, écrire l'intersection en extension. Si elle est vide, l'addition est licite ; sinon, il faut retrancher.

Les arbres et les expériences à deux étapes

14.

Construire et lire un arbre

Lorsque l'expérience se fait avec remise, les deux étapes sont indépendantes : les probabilités du second niveau sont les mêmes sur toutes les branches. Sans remise, elles changent selon ce qui s'est produit avant — et l'arbre devient le seul outil praticable. Les probabilités portées au second niveau sont alors des probabilités conditionnelles, notées $P_{A} (B)$ : la probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé.

De la théorie à l'expérience

Règle

Piège

Croire qu'après cinq « pile » d'affilée, « face » devient plus probable.

se demander si l'objet peut se souvenir. Un dé, une pièce, une roulette : non. Un tirage sans remise : oui, et c'est alors une tout autre situation.

Exemple

Dans un lycée, 60 % des élèves sont externes. Parmi les externes, 40 % font du sport en club ; parmi les internes, 70 %. Quelle est la probabilité qu'un élève pris au hasard fasse du sport en club ?

Résultat :

L'énoncé garantit-il l'équiprobabilité avant que j'applique la formule de comptage ?
Ai-je écrit l'univers en extension quand il est petit ?
Avant d'additionner deux probabilités : l'intersection est-elle vide ?
« Au moins un » : ai-je pensé à l'événement contraire ?
Sur un arbre : la somme des branches d'un nœud vaut-elle 1 ?
Chaque probabilité annoncée est-elle comprise entre 0 et 1 ?

Corrigé · à détacher

Probabilités — modèles et calculs

1. L'univers $Ω$ est l'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire : pour un dé, $Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}$ . Un événement est un sous-ensemble de l'univers : « obtenir un nombre pair » est l'événement ${2; 4; 6}$ . Sa probabilité est la somme des probabilités des issues qui le composent.
2. Lorsque toutes les issues ont la même probabilité — on dit qu'il y a équiprobabilité —, la probabilité d'un événement se calcule en comptant. C'est le seul cas où cette formule s'applique, et l'énoncé doit toujours le garantir : dé équilibré, pièce non truquée, boules indiscernables au toucher.
3. $P (A) = \frac{nombre d’issues favorables}{nombre d’issues totales}$
4. Trois règles gouvernent tous les calculs. Toute probabilité est comprise entre 0 et 1. La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1. Enfin, l'événement contraire $\overset{ˉ}{A}$ complète à 1 : $P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$ . Cette dernière propriété est la plus rentable — dès qu'un énoncé contient « au moins un », c'est le contraire qu'il faut calculer.
5. $P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$
6. L'événement $A \cup B$ (« $A$ ou $B$ ») est réalisé si l'un au moins des deux l'est. L'événement $A \cap B$ (« $A$ et $B$ ») l'est si les deux le sont ensemble. Leur relation est une formule d'addition corrigée : on additionne, puis on retire ce qu'on a compté deux fois.
7. $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
8. $A = {2; 4; 6}$ , donc trois issues favorables sur six.
9. $B = {3; 6}$ , donc deux issues.
10. $A \cap B = {6}$ : le 6 est à la fois pair et multiple de 3.
11. On applique la formule.
12. Contrôle par le dénombrement direct : $A \cup B = {2; 3; 4; 6}$ , soit quatre issues sur six.
13. $P (A \cup B) = \frac{2}{3} \approx 0, 67$
14. Deux niveaux, quatre chemins, et une somme qui doit valoir 1.
15. Un niveau par étape de l'expérience. Les branches issues d'un même nœud portent toutes les issues possibles à cette étape.
16. Écrire une probabilité sur chaque branche. À chaque nœud, leur somme vaut 1 : c'est le premier contrôle, et il attrape la plupart des erreurs.
17. Multiplier le long d'un chemin pour obtenir la probabilité d'une issue composée — les deux conditions doivent être remplies ensemble.
18. Additionner entre les chemins qui conviennent, et vérifier que la somme de tous les chemins vaut 1.
19. Loi des grands nombres — lorsqu'on répète une expérience un très grand nombre de fois, la fréquence observée d'un événement se rapproche de sa probabilité. C'est le pont entre le calcul et le réel : il justifie qu'on estime une probabilité inconnue par une fréquence, et qu'on teste un modèle en comparant ses prévisions à des relevés.
20. L'énoncé décrit une expérience à deux étapes : le statut, puis la pratique. C'est un arbre à deux niveaux.
21. Premier chemin : externe et sportif.
22. Second chemin : interne et sportif, sachant que 40 % des élèves sont internes.
23. Deux chemins mènent au sport : on les additionne.
24. Contrôle : les quatre chemins de l'arbre doivent totaliser 1. Les deux autres valent $0, 6 \times 0, 6 = 0, 36$ et $0, 4 \times 0, 3 = 0, 12$ .
25. environ 52 % des élèves font du sport en club