On considère deux événements A et B tels que P(A) = 0,7, P(B) = 0,5 et P(A ∩ B) = 0,3. Les événements A et B sont-ils incompatibles ?

Non, car P(A ∩ B) = 0,3 ≠ 0.

Oui, car P(A ∩ B) = 0,3 ≠ 0.

Oui, car P(A) + P(B) = 1,2 > 1.

Non, car P(A ∩ B) = 0,3 est inférieur à P(A) et P(B).

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Probabilités — Modèles et calculs

Programme en vigueur — arrêté du 26 février 2026, applicable en Seconde depuis la rentrée 2026. Voir le texte

Événements, probabilité contraire, addition P(A∪B). Probabilité conditionnelle P(A|B). Arbre.

La règle d'or

Additionner deux probabilités suppose une intersection vide : sinon il faut retirer ce qui a été compté deux fois, et rien ne signale l'oubli.

L'erreur que tout le monde fait

Compter les cas favorables sur les cas possibles sans que l'énoncé garantisse l'équiprobabilité.

Le dénombrement ne vaut que si toutes les issues ont la même probabilité. Sur une punaise qui retombe, un dé pipé ou des boules qui se distinguent au toucher, il donne un nombre qui ne mesure rien : la probabilité doit alors être estimée par des fréquences observées.

Chercher dans l'énoncé les mots qui garantissent l'équiprobabilité : dé équilibré, pièce non truquée, boules indiscernables au toucher.

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Notions à maîtriser

univers
probabilité conditionnelle
arbre
indépendance
loi des grands nombres

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Fiche de révision

Probabilités : modèles et calculs expliqués

Probabilités — Modèles et calculs 1. Définitions clés - Expérience aléatoire : Une expérience dont le résultat n’est pas prévisible à l’avance (ex : lancer un dé). - Issue (ou

Lire la fiche

Une probabilité ne prédit rien. Elle ne dit pas ce qui arrivera au prochain lancer : elle décrit ce qui arrive à la longue, sur un très grand nombre de répétitions. Toute la difficulté du chapitre tient dans cet écart entre une valeur théorique, calculée avant toute expérience, et une fréquence observée qui s'en approche sans jamais l'atteindre exactement.

1Le vocabulaire, qui décide de tout

Définition

univers, issue, événement — L'univers $Ω$ est l'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire : pour un dé, $Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}$ . Un événement est un sous-ensemble de l'univers : « obtenir un nombre pair » est l'événement ${2; 4; 6}$ . Sa probabilité est la somme des probabilités des issues qui le composent.

Règle

Lorsque toutes les issues ont la même probabilité — on dit qu'il y a équiprobabilité —, la probabilité d'un événement se calcule en comptant. C'est le seul cas où cette formule s'applique, et l'énoncé doit toujours le garantir : dé équilibré, pièce non truquée, boules indiscernables au toucher.

P (A) = \frac{nombre d’issues favorables}{nombre d’issues totales}

Propriété

Trois règles gouvernent tous les calculs. Toute probabilité est comprise entre 0 et 1. La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1. Enfin, l'événement contraire $\overset{ˉ}{A}$ complète à 1 : $P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$ . Cette dernière propriété est la plus rentable — dès qu'un énoncé contient « au moins un », c'est le contraire qu'il faut calculer.

P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)

2Réunion et intersection

Règle

L'événement $A \cup B$ (« $A$ ou $B$ ») est réalisé si l'un au moins des deux l'est. L'événement $A \cap B$ (« $A$ et $B$ ») l'est si les deux le sont ensemble. Leur relation est une formule d'addition corrigée : on additionne, puis on retire ce qu'on a compté deux fois.

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

Exemple

On lance un dé équilibré. $A$ : « obtenir un nombre pair ». $B$ : « obtenir un multiple de 3 ». Calculer $P (A \cup B)$ .

$A = {2; 4; 6}$ , donc trois issues favorables sur six. $P (A) = \frac{3}{6} = 0, 5$
$B = {3; 6}$ , donc deux issues. $P (B) = \frac{2}{6} \approx 0, 33$
$A \cap B = {6}$ : le 6 est à la fois pair et multiple de 3. $P (A \cap B) = \frac{1}{6} \approx 0, 17$
On applique la formule. $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6}$
Contrôle par le dénombrement direct : $A \cup B = {2; 3; 4; 6}$ , soit quatre issues sur six.les deux méthodes concordent, ce qui valide le calcul.

$P (A \cup B) = \frac{2}{3} \approx 0, 67$

Piège

Écrire $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ sans vérifier l'intersection.

Pourquoi — l'addition simple ne vaut que pour des événements incompatibles, c'est-à-dire d'intersection vide. Ici elle donnerait $\frac{5}{6}$ au lieu de $\frac{4}{6}$ : le 6, compté deux fois, explique exactement l'écart d'un sixième.

Le réflexe — avant d'additionner, écrire l'intersection en extension. Si elle est vide, l'addition est licite ; sinon, il faut retrancher.

3Les arbres et les expériences à deux étapes

Deux niveaux, quatre chemins, et une somme qui doit valoir 1.

Construire et lire un arbre

Un niveau par étape de l'expérience. Les branches issues d'un même nœud portent toutes les issues possibles à cette étape.
Écrire une probabilité sur chaque branche. À chaque nœud, leur somme vaut 1 : c'est le premier contrôle, et il attrape la plupart des erreurs.
Multiplier le long d'un chemin pour obtenir la probabilité d'une issue composée — les deux conditions doivent être remplies ensemble.
Additionner entre les chemins qui conviennent, et vérifier que la somme de tous les chemins vaut 1.un arbre dont les chemins ne totalisent pas 1 contient nécessairement une erreur.

Lorsque l'expérience se fait avec remise, les deux étapes sont indépendantes : les probabilités du second niveau sont les mêmes sur toutes les branches. Sans remise, elles changent selon ce qui s'est produit avant — et l'arbre devient le seul outil praticable. Les probabilités portées au second niveau sont alors des probabilités conditionnelles, notées $P_{A} (B)$ : la probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé.

4De la théorie à l'expérience

Règle

Loi des grands nombres — lorsqu'on répète une expérience un très grand nombre de fois, la fréquence observée d'un événement se rapproche de sa probabilité. C'est le pont entre le calcul et le réel : il justifie qu'on estime une probabilité inconnue par une fréquence, et qu'on teste un modèle en comparant ses prévisions à des relevés.

Piège

Croire qu'après cinq « pile » d'affilée, « face » devient plus probable.

Pourquoi — la pièce n'a pas de mémoire. La probabilité du prochain lancer reste $\frac{1}{2}$ , quels que soient les résultats précédents. La loi des grands nombres ne compense pas le passé : elle le noie dans un très grand nombre de lancers ultérieurs.

Le réflexe — se demander si l'objet peut se souvenir. Un dé, une pièce, une roulette : non. Un tirage sans remise : oui, et c'est alors une tout autre situation.

Exemple

Dans un lycée, 60 % des élèves sont externes. Parmi les externes, 40 % font du sport en club ; parmi les internes, 70 %. Quelle est la probabilité qu'un élève pris au hasard fasse du sport en club ?

L'énoncé décrit une expérience à deux étapes : le statut, puis la pratique. C'est un arbre à deux niveaux.
Premier chemin : externe et sportif. $0, 6 \times 0, 4 = 0, 24$
Second chemin : interne et sportif, sachant que 40 % des élèves sont internes. $0, 4 \times 0, 7 = 0, 28$
Deux chemins mènent au sport : on les additionne. $0, 24 + 0, 28 = 0, 52$
Contrôle : les quatre chemins de l'arbre doivent totaliser 1. Les deux autres valent $0, 6 \times 0, 6 = 0, 36$ et $0, 4 \times 0, 3 = 0, 12$ . $0, 52 + 0, 36 + 0, 12 = 1$ l'arbre est complet et cohérent.

environ 52 % des élèves font du sport en club

▢L'énoncé garantit-il l'équiprobabilité avant que j'applique la formule de comptage ?
▢Ai-je écrit l'univers en extension quand il est petit ?
▢Avant d'additionner deux probabilités : l'intersection est-elle vide ?
▢« Au moins un » : ai-je pensé à l'événement contraire ?
▢Sur un arbre : la somme des branches d'un nœud vaut-elle 1 ?
▢Chaque probabilité annoncée est-elle comprise entre 0 et 1 ?

L'essentiel en 7 points

·Univers $Ω$ : toutes les issues · événement : un sous-ensemble de $Ω$ .
·Équiprobabilité : $P (A) = \frac{favorables}{total}$ — et l'énoncé doit la garantir.
· $P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$ : le réflexe dès qu'on lit « au moins un ».
· $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ — additionner seul suppose l'intersection vide.
·Sur un arbre : multiplier le long d'un chemin, additionner entre les chemins.
·Avec remise = indépendance. Sans remise = probabilités conditionnelles.
·La pièce n'a pas de mémoire : cinq piles ne rendent pas face plus probable.

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Au sommaire du cours

1. Le vocabulaire, qui décide de tout
2. Réunion et intersection
3. Les arbres et les expériences à deux étapes
4. De la théorie à l'expérience

Conforme au programme officiel · version 2026.1.

Exercices corrigés

Univers et événements

Représenter

a.On tire une carte dans un jeu de 32. Quel est le cardinal de l'univers ?
b.Calculer la probabilité d'obtenir un roi, puis un cœur.
c.Calculer la probabilité de ne pas obtenir de roi.

›Voir le corrigé

a. 32 issues équiprobables, à condition que le jeu soit bien battu — l'énoncé le suppose.
b. Quatre rois. $\frac{4}{32} = 0, 125$
Huit cœurs. $\frac{8}{32} = 0, 25$
c. L'événement contraire. $1 - 0, 125 = 0, 875$
On aurait pu compter les 28 cartes qui ne sont pas des rois : $\frac{28}{32} = 0, 875$ .
Les deux méthodes concordent ; la première est plus rapide dès que l'événement contraire est plus simple à décrire.

Réunion et intersection

Calculer

a.Dans le même jeu de 32 cartes, calculer la probabilité d'obtenir un roi ou un cœur.
b.Pourquoi ne peut-on pas simplement additionner ?
c.Donner un exemple de deux événements incompatibles dans ce jeu.

›Voir le corrigé

a. L'intersection contient une seule carte, le roi de cœur. $\frac{4}{32} + \frac{8}{32} - \frac{1}{32} = \frac{11}{32}$
Soit environ 0,34. $\frac{11}{32} \approx 0, 34$
b. Parce que le roi de cœur appartient aux deux événements : l'additionner deux fois surestimerait le résultat d'un trente-deuxième.
c. « Obtenir un cœur » et « obtenir un pique » : aucune carte n'est les deux à la fois.
Pour ces deux-là, l'addition est licite : $\frac{8}{32} + \frac{8}{32} = \frac{16}{32}$ , soit une chance sur deux.
Le test est toujours le même : écrire l'intersection et regarder si elle est vide.

L'événement contraire

Raisonner

a.On lance trois pièces équilibrées. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un pile ?
b.Comparer avec le dénombrement direct.

›Voir le corrigé

a. L'événement contraire de « au moins un pile » est « aucun pile », c'est-à-dire trois faces.
Un seul chemin sur les huit possibles. $P = \frac{1}{8} = 0, 125$
On complète à 1. $1 - 0, 125 = 0, 875$
b. Le dénombrement direct exigerait de compter les issues à un, deux ou trois piles : $3 + 3 + 1 = 7$ sur 8.
Même résultat, $\frac{7}{8} = 0, 875$ , mais trois dénombrements au lieu d'un.
C'est la règle : dès qu'un énoncé dit « au moins », l'événement contraire divise le travail par trois.

Lire un arbre

Analyser

a.Une urne contient 3 boules rouges et 7 bleues. On tire deux boules avec remise. Probabilité d'obtenir deux rouges ?
b.Probabilité d'obtenir exactement une rouge ?
c.Vérifier que la somme des quatre chemins vaut 1.

›Voir le corrigé

a. Avec remise, les deux tirages sont indépendants : $P (R) = 0, 3$ aux deux niveaux. $0, 3 \times 0, 3 = 0, 09$
b. Deux chemins conviennent : rouge puis bleue, ou bleue puis rouge. $0, 3 \times 0, 7 = 0, 21$
On additionne les deux chemins. $0, 21 + 0, 21 = 0, 42$
c. Le quatrième chemin, deux bleues. $0, 7 \times 0, 7 = 0, 49$
La somme des quatre. $0, 09 + 0, 42 + 0, 49 = 1$
Ce contrôle vaut plus qu'une vérification : il prouve qu'aucun chemin n'a été oublié, ce qu'aucun autre calcul ne garantit.

Avec ou sans remise

Raisonner

a.Même urne, mais tirage sans remise. Probabilité d'obtenir deux rouges ?
b.Comparer au résultat avec remise et expliquer l'écart.
c.Dans quel cas les deux tirages sont-ils indépendants ?

›Voir le corrigé

a. Le premier tirage : $\frac{3}{10}$ . Après une rouge retirée, il reste 2 rouges sur 9 boules.
La probabilité du second tirage devient donc $\frac{2}{9}$ . $\frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{90}$
Soit environ 0,067. $\frac{6}{90} \approx 0, 067$
b. C'est moins que 0,09. Retirer une rouge appauvrit l'urne en rouges, ce qui rend la seconde moins probable.
c. Uniquement avec remise : l'urne retrouve son état initial, et le second tirage ignore le premier.
Sans remise, la probabilité du second niveau dépend du premier : c'est une probabilité conditionnelle.
L'arbre reste identique dans sa forme ; seules les valeurs portées au second niveau changent.

Modèle et expérience

Communiquer

a.Un dé est lancé 600 fois ; le 6 sort 140 fois. Quelle fréquence ? Que prévoyait le modèle du dé équilibré ?
b.Peut-on conclure que le dé est truqué ?
c.Que faudrait-il pour trancher ?

›Voir le corrigé

a. La fréquence observée. $\frac{140}{600} \approx 0, 233$
Le modèle équilibré prévoit $\frac{1}{6} \approx 0, 167$ , soit environ 100 apparitions sur 600.
b. Non, pas avec cette seule série. Un écart existe toujours entre fréquence et probabilité ; la question est de savoir s'il est trop grand pour être dû au hasard.
L'écart est ici substantiel — 140 contre 100 — mais l'affirmer demande un critère, pas une impression.
c. Répéter l'expérience sur d'autres séries de 600 lancers et observer si l'écart persiste dans le même sens.
Un écart qui se reproduit systématiquement dans la même direction est le signal d'un dé truqué ; un écart qui change de sens est du hasard ordinaire.
La loi des grands nombres ne dit pas quand conclure : elle dit seulement que la fréquence s'approche de la probabilité. Le critère de décision s'étudiera au lycée.

Ce qui rapporte des points, ce qui en coûte

Décrire l'univers et vérifier l'équiprobabilité3 ptsPerdu si : Appliquer la formule de comptage sans hypothèse
Retrancher l'intersection dans une réunion4 ptsPerdu si : Additionner deux événements compatibles
Employer l'événement contraire quand il simplifie3 ptsPerdu si : Dénombrer trois cas au lieu d'un
Multiplier le long d'un chemin, additionner entre chemins4 ptsPerdu si : Additionner le long d'un chemin
Contrôler : probabilités entre 0 et 1, somme des chemins à 12 ptsPerdu si : Une probabilité supérieure à 1 non détectée

La méthode

Calculer la probabilité d'une réunion de deux événements

1
Écrire l'univers, puis chacun des deux événements en extension.
2
Déterminer l'intersection des deux événements.
3
Additionner les deux probabilités, puis retrancher celle de l'intersection.
4
Passer par l'événement contraire dès que l'énoncé contient « au moins un ».
5
Vérifier que le résultat est compris entre 0 et 1.

Se tester

Touches 1 à 4

MathématiquesSeconde

Question 1

Un satellite envoie des données vers la Terre. La probabilité que les données soient corrompues est de

0.2

. Si le satellite envoie 4 paquets de données indépendants, quelle est la probabilité que les 4 paquets soient intacts ?

Aucun compte requis — réponds, la correction s'affiche aussitôt.

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1 contrôle sur ce chapitre, chacun avec sa durée, son barème sur vingt et un corrigé qui explique chaque réponse.

Contrôle n°155 min · /20

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Questions fréquentes

Probabilités — Modèles et calculs : c'est en quelle classe ?

Ce chapitre est au programme de Mathématiques au lycée, en classe de Seconde. Il est défini par le Bulletin Officiel de l'Éducation nationale, le texte de référence qui fixe ce qui doit être enseigné dans chaque matière.

Que faut-il savoir sur Probabilités — Modèles et calculs ?

Événements, probabilité contraire, addition P(A∪B). Probabilité conditionnelle P(A|B). Arbre. Les notions à maîtriser sont : univers, probabilité conditionnelle, arbre, indépendance, loi des grands nombres.

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Le corrigé de Probabilités — Modèles et calculs est-il fourni ?

Oui, et c'est un document à part : chaque exercice y est repris étape par étape, avec le barème détaillé en fin de fiche — ce qui est attendu, combien de points, et ce qui fait perdre le point. Un parent qui ne se souvient plus du programme peut corriger une copie avec.

Comment réviser Probabilités — Modèles et calculs efficacement ?

Commence par lire la fiche de révision pour remettre la règle en place, puis enchaîne immédiatement sur le quiz de cette page. Répondre juste après avoir lu ne suffit pas : reviens sur le chapitre deux ou trois jours plus tard. C'est l'espacement des révisions, plus que leur durée, qui fait tenir une notion en mémoire. Une session de quinze minutes répétée vaut mieux qu'une heure unique.

Faut-il un compte pour s'entraîner sur Probabilités — Modèles et calculs ?

Non. Les quiz, les corrections détaillées et les fiches de révision sont accessibles sans créer de compte et sans donner d'adresse e-mail. Le compte gratuit sert uniquement à conserver la progression d'un appareil à l'autre.

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