Fiche à trous · Seconde · Mathématiques

Statistiques à une variable — dispersion

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Deux classes peuvent avoir exactement la même moyenne et n'avoir rien en commun : dans l'une, tout le monde est à 10 ; dans l'autre, la moitié est à 4 et l'autre à 16. Résumer une série par une seule valeur, c'est donc toujours mentir un peu. Le programme de seconde ajoute pour cette raison une seconde dimension — la dispersion — et deux outils pour la mesurer.

Résumer par une position

Définition — moyenne et médiane :

Définition — quartiles :

Mesurer la dispersion

Définition — variance et écart-type :

Exemple

Calculer la moyenne, la variance et l'écart-type de la série : 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9.

Résultat :

Piège

Comparer une variance à une moyenne, ou l'annoncer avec l'unité des données.

toujours conclure sur l'écart-type, qui partage l'unité des données et se compare donc à la moyenne.

Écart-type et écart interquartile mesurent tous deux la dispersion, mais pas de la même façon. L'écart-type prend en compte toutes les valeurs, y compris les plus extrêmes, qu'il amplifie par le carré. L'écart interquartile les ignore délibérément. Sur une série contenant une valeur aberrante — une erreur de saisie, un cas exceptionnel — le second est bien plus fiable.

Comparer deux séries

Une comparaison en deux temps, jamais un seul

Ai-je ordonné la série avant de chercher médiane et quartiles ?
La variance se calcule sur les carrés des écarts : ai-je élevé au carré avant d'additionner ?
Ai-je conclu sur l'écart-type, dans l'unité des données ?
Comparaison : ai-je donné la position et la dispersion ?
Ai-je comparé des indicateurs de même nature entre eux ?
Une valeur aberrante est-elle présente ? Alors l'écart interquartile est plus sûr.

Corrigé · à détacher

Statistiques à une variable — dispersion

1. La moyenne $\overset{x}{ˉ}$ est la somme des valeurs divisée par leur nombre : elle répartit équitablement. La médiane partage la série ordonnée en deux effectifs égaux : autant de valeurs au-dessous qu'au-dessus. La moyenne se laisse tirer par une valeur extrême ; la médiane, non. C'est pourquoi on parle du salaire médian et non du salaire moyen.
2. Les quartiles partagent la série ordonnée en quatre parts d'effectifs égaux. $Q_{1}$ est la plus petite valeur telle qu'au moins 25 % des données lui soient inférieures ou égales ; $Q_{3}$ joue le même rôle pour 75 %. La différence $Q_{3} - Q_{1}$ est l'écart interquartile : c'est l'étendue de la moitié centrale, débarrassée des valeurs extrêmes.
3. Cinq nombres, un diagramme, et toute la répartition d'un coup d'œil.
4. La variance $V$ est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. On élève au carré pour deux raisons : empêcher les écarts positifs et négatifs de s'annuler, et donner plus de poids aux valeurs éloignées. L'écart-type $σ$ est la racine carrée de la variance ; il a l'avantage décisif de s'exprimer dans la même unité que les données.
5. $V = \frac{1}{n} \sum (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2} σ = V$
6. La somme des huit valeurs.
7. La moyenne.
8. Les écarts à la moyenne sont $- 3$ , $- 1$ , $- 1$ , $- 1$ , 0, 0, 2, 4. On en prend les carrés et on les additionne.
9. La variance est la moyenne de ces carrés.
10. L'écart-type en est la racine.
11. $\overset{x}{ˉ} = 5$ , $V = 4$ , $σ = 2$
12. La position d'abord : comparer deux moyennes, ou deux médianes — mais jamais une moyenne avec une médiane, qui ne mesurent pas la même chose.
13. La dispersion ensuite : comparer deux écarts-types, ou deux écarts interquartiles.
14. Conclure en une phrase qui dit les deux : « la série B est en moyenne plus élevée, mais nettement plus dispersée ».
15. Interpréter dans le contexte : une dispersion faible est un avantage pour une machine de production, un défaut pour un groupe d'élèves qu'on voudrait voir progresser.