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Statistiques à une variable — Dispersion

Programme en vigueur — arrêté du 26 février 2026, applicable en Seconde depuis la rentrée 2026. Voir le texte

Moyenne, médiane, quartiles. Variance et écart-type σ. Box-plot. Comparaison de séries.

La règle d'or

L'écart-type s'exprime dans l'unité des données quand la variance s'exprime dans son carré : une conclusion se donne donc sur l'écart-type.

L'erreur que tout le monde fait

Comparer une variance à une moyenne, ou l'annoncer avec l'unité des données.

La variance est une moyenne de carrés : si les données sont des centimètres, elle s'exprime en centimètres carrés. La comparer à la moyenne revient à comparer une aire à une longueur, et le nombre obtenu ne veut rien dire.

Conclure sur l'écart-type, qui partage l'unité des données et se compare donc directement à la moyenne.

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Notions à maîtriser

moyenne
médiane
quartile
écart-type
variance
dispersion

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Fiche de révision

Statistiques : Mesurer la dispersion des données

Statistiques à une variable — Dispersion 1. Introduction En statistiques, la dispersion mesure l’étalement des valeurs d’une série autour de sa moyenne. Contrairement à la tenda

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Deux classes peuvent avoir exactement la même moyenne et n'avoir rien en commun : dans l'une, tout le monde est à 10 ; dans l'autre, la moitié est à 4 et l'autre à 16. Résumer une série par une seule valeur, c'est donc toujours mentir un peu. Le programme de seconde ajoute pour cette raison une seconde dimension — la dispersion — et deux outils pour la mesurer.

1Résumer par une position

Définition

moyenne et médiane — La moyenne $\overset{x}{ˉ}$ est la somme des valeurs divisée par leur nombre : elle répartit équitablement. La médiane partage la série ordonnée en deux effectifs égaux : autant de valeurs au-dessous qu'au-dessus. La moyenne se laisse tirer par une valeur extrême ; la médiane, non. C'est pourquoi on parle du salaire médian et non du salaire moyen.

Définition

quartiles — Les quartiles partagent la série ordonnée en quatre parts d'effectifs égaux. $Q_{1}$ est la plus petite valeur telle qu'au moins 25 % des données lui soient inférieures ou égales ; $Q_{3}$ joue le même rôle pour 75 %. La différence $Q_{3} - Q_{1}$ est l'écart interquartile : c'est l'étendue de la moitié centrale, débarrassée des valeurs extrêmes.

Cinq nombres, un diagramme, et toute la répartition d'un coup d'œil.

2Mesurer la dispersion

Définition

variance et écart-type — La variance $V$ est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. On élève au carré pour deux raisons : empêcher les écarts positifs et négatifs de s'annuler, et donner plus de poids aux valeurs éloignées. L'écart-type $σ$ est la racine carrée de la variance ; il a l'avantage décisif de s'exprimer dans la même unité que les données.

V = \frac{1}{n} \sum (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2} σ = V

Exemple

Calculer la moyenne, la variance et l'écart-type de la série : 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9.

La somme des huit valeurs. $2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40$
La moyenne. $\frac{40}{8} = 5$
Les écarts à la moyenne sont $- 3$ , $- 1$ , $- 1$ , $- 1$ , 0, 0, 2, 4. On en prend les carrés et on les additionne. $9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32$
La variance est la moyenne de ces carrés. $\frac{32}{8} = 4$
L'écart-type en est la racine. $4 = 2$ les valeurs s'écartent en moyenne de 2 unités autour de 5.

$\overset{x}{ˉ} = 5$ , $V = 4$ , $σ = 2$

Piège

Comparer une variance à une moyenne, ou l'annoncer avec l'unité des données.

Pourquoi — la variance est une moyenne de carrés : si les données sont des centimètres, elle s'exprime en centimètres carrés. La comparer à la moyenne revient à comparer une aire à une longueur.

Le réflexe — toujours conclure sur l'écart-type, qui partage l'unité des données et se compare donc à la moyenne.

Écart-type et écart interquartile mesurent tous deux la dispersion, mais pas de la même façon. L'écart-type prend en compte toutes les valeurs, y compris les plus extrêmes, qu'il amplifie par le carré. L'écart interquartile les ignore délibérément. Sur une série contenant une valeur aberrante — une erreur de saisie, un cas exceptionnel — le second est bien plus fiable.

3Comparer deux séries

Une comparaison en deux temps, jamais un seul

La position d'abord : comparer deux moyennes, ou deux médianes — mais jamais une moyenne avec une médiane, qui ne mesurent pas la même chose.
La dispersion ensuite : comparer deux écarts-types, ou deux écarts interquartiles.
Conclure en une phrase qui dit les deux : « la série B est en moyenne plus élevée, mais nettement plus dispersée ».une seule des deux informations ne répond jamais à la question posée.
Interpréter dans le contexte : une dispersion faible est un avantage pour une machine de production, un défaut pour un groupe d'élèves qu'on voudrait voir progresser.

▢Ai-je ordonné la série avant de chercher médiane et quartiles ?
▢La variance se calcule sur les carrés des écarts : ai-je élevé au carré avant d'additionner ?
▢Ai-je conclu sur l'écart-type, dans l'unité des données ?
▢Comparaison : ai-je donné la position et la dispersion ?
▢Ai-je comparé des indicateurs de même nature entre eux ?
▢Une valeur aberrante est-elle présente ? Alors l'écart interquartile est plus sûr.

L'essentiel en 7 points

·Moyenne : répartit. Médiane : partage l'effectif en deux. La seconde résiste aux extrêmes.
· $Q_{1}$ et $Q_{3}$ découpent la série en quatre parts d'effectifs égaux.
·Écart interquartile $Q_{3} - Q_{1}$ : la dispersion de la moitié centrale.
·Variance = moyenne des carrés des écarts · écart-type $σ = V$ .
·L'écart-type est dans l'unité des données ; la variance ne l'est pas.
·Comparer deux séries = comparer une position ET une dispersion.
·Valeur aberrante : l'écart interquartile est plus fiable que l'écart-type.

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Trois documents à imprimer, 6 pages en tout : le cours, les exercices avec la place pour écrire, et le corrigé détaillé avec son barème.

Au sommaire du cours

1. Résumer par une position
2. Mesurer la dispersion
3. Comparer deux séries

Conforme au programme officiel · version 2026.1.

Exercices corrigés

Moyenne, médiane, quartiles

Calculer

a.Série : 3, 5, 6, 8, 8, 9, 12, 15, 18. Calculer la moyenne.
b.Déterminer la médiane.
c.Déterminer $Q_{1}$ et $Q_{3}$ , puis l'écart interquartile.

›Voir le corrigé

a. La somme des neuf valeurs. $3 + 5 + 6 + 8 + 8 + 9 + 12 + 15 + 18 = 84$
La moyenne. $\frac{84}{9} \approx 9, 33$
b. L'effectif est impair : la médiane est la 5^e valeur, soit 8.
c. $Q_{1}$ est la valeur de rang $\frac{9}{4} = 2, 25$ , arrondi au rang supérieur : le 3^e, soit 6.
$Q_{3}$ est la valeur de rang $\frac{3 \times 9}{4} = 6, 75$ , arrondi au 7^e, soit 12.
L'écart interquartile. $12 - 6 = 6$ la moitié centrale des valeurs s'étale sur 6 unités.

Variance et écart-type

Calculer

a.Série : 10, 12, 14, 16, 18. Calculer la moyenne.
b.Calculer la variance.
c.En déduire l'écart-type, arrondi au dixième.

›Voir le corrigé

a. La somme. $10 + 12 + 14 + 16 + 18 = 70$
La moyenne. $\frac{70}{5} = 14$
b. Les écarts sont $- 4$ , $- 2$ , 0, 2, 4. La somme de leurs carrés. $16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40$
La variance. $\frac{40}{5} = 8$
c. L'écart-type. $8 \approx 2, 83$
Contrôle de vraisemblance : les valeurs s'écartent de 0 à 4 de la moyenne, et 2,83 se situe bien dans cet intervalle.

L'effet d'une valeur extrême

Raisonner

a.Série A : 4, 5, 5, 6, 5. Calculer moyenne et médiane.
b.Série B : 4, 5, 5, 6, 105. Calculer moyenne et médiane.
c.Que conclure ?

›Voir le corrigé

a. La somme vaut 25. $\frac{25}{5} = 5$
Série ordonnée : 4, 5, 5, 5, 6. La médiane est la 3^e valeur, soit 5.
b. La somme vaut 125. $\frac{125}{5} = 25$
Série ordonnée : 4, 5, 5, 6, 105. La médiane est encore 5.
c. Une seule valeur a multiplié la moyenne par cinq sans déplacer la médiane d'un centième.
La médiane est donc robuste : elle résiste aux valeurs extrêmes, là où la moyenne les subit.
C'est exactement la raison pour laquelle les statistiques sur les revenus emploient la médiane.

Comparer deux séries

Raisonner

a.Classe A : moyenne 11, écart-type 1,5. Classe B : moyenne 11, écart-type 4,2. Que peut-on dire ?
b.Dans laquelle un élève à 15 est-il le plus remarquable ?
c.Laquelle est la plus facile à faire progresser d'un point de moyenne ? Discuter.

›Voir le corrigé

a. Même position, dispersions très différentes. La classe A est homogène ; la classe B est éclatée entre des élèves très faibles et très forts.
b. Dans la classe A. À 1,5 point d'écart-type, un élève à 15 est à plus de deux écarts-types de la moyenne — un cas rare.
Dans la classe B, 15 est à moins d'un écart-type : plusieurs élèves sont probablement dans ce cas.
c. La question n'a pas de réponse unique, et c'est ce qu'il faut dire.
Dans la classe A, une action collective touche tout le monde de la même façon : elle est efficace mais uniforme.
Dans la classe B, un travail ciblé sur le groupe le plus faible ferait bouger la moyenne beaucoup plus vite — mais il demande de distinguer les élèves.
Une réponse complète nomme le critère avant de trancher : c'est le raisonnement attendu, plus que la conclusion elle-même.

Lire un diagramme en boîte

Analyser

a.Un diagramme donne : minimum 2, $Q_{1} = 7$ , médiane 9, $Q_{3} = 12$ , maximum 20. Quelle proportion des valeurs est comprise entre 7 et 12 ?
b.Quelle proportion dépasse 9 ?
c.La série est-elle symétrique ?

›Voir le corrigé

a. La moitié : entre $Q_{1}$ et $Q_{3}$ se trouve, par définition, 50 % de l'effectif.
b. La moitié également : la médiane partage l'effectif en deux parts égales.
c. Non. La moustache de gauche va de 2 à 7, soit 5 unités ; celle de droite de 12 à 20, soit 8.
La boîte est elle-même dissymétrique : de 7 à 9 il y a 2 unités, de 9 à 12 il y en a 3.
La série est donc étirée vers le haut : quelques valeurs élevées tirent la partie droite.
Conséquence prévisible : la moyenne sera supérieure à la médiane. Le diagramme le dit avant tout calcul.

Écart-type ou écart interquartile ?

Raisonner

a.Sur une série de 200 temps de trajet, une valeur vaut 480 minutes à la suite d'une panne. Quel indicateur de dispersion privilégier ?
b.Sur les diamètres de 200 pièces usinées, où toute valeur compte, lequel privilégier ?
c.Formuler le critère de choix.

›Voir le corrigé

a. L'écart interquartile. La valeur aberrante, élevée au carré, gonflerait l'écart-type hors de toute proportion.
Un seul trajet exceptionnel ferait croire que tous les trajets sont irréguliers, ce qui est faux.
b. L'écart-type. Sur une chaîne de production, une pièce hors norme n'est pas une anomalie à écarter : c'est précisément ce qu'on cherche à détecter.
c. Le critère est la place accordée aux valeurs extrêmes.
Si elles sont des accidents dont on veut se protéger : écart interquartile. Si elles font partie de ce qu'on mesure : écart-type.
Le choix d'un indicateur est donc une décision, jamais une convention — et un devoir doit la justifier.

Ce qui rapporte des points, ce qui en coûte

Ordonner la série avant médiane et quartiles2 ptsPerdu si : Une médiane lue sur une série non triée
Calculer une variance sur les carrés des écarts4 ptsPerdu si : Additionner les écarts, qui s'annulent
Conclure sur l'écart-type, dans l'unité des données3 ptsPerdu si : Annoncer une variance en centimètres
Comparer position ET dispersion4 ptsPerdu si : Comparer deux moyennes et s'arrêter là
Justifier le choix d'un indicateur2 ptsPerdu si : Employer l'écart-type malgré une valeur aberrante

La méthode

Comparer deux séries à une variable

1
Ordonner chaque série, puis calculer sa moyenne et sa médiane.
2
Calculer l'écart interquartile, qui décrit l'étalement de la moitié centrale.
3
Calculer l'écart-type en prenant la racine carrée de la variance.
4
Confronter la position et la dispersion dans la conclusion, jamais la seule moyenne.
En présence d'une valeur aberrante, l'écart interquartile décrit mieux la série que l'écart-type.

Se tester

Touches 1 à 4

MathématiquesSeconde

Question 1

Dans un box-plot, la boîte représente :

Aucun compte requis — réponds, la correction s'affiche aussitôt.

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1 contrôle sur ce chapitre, chacun avec sa durée, son barème sur vingt et un corrigé qui explique chaque réponse.

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Questions fréquentes

Statistiques à une variable — Dispersion : c'est en quelle classe ?

Ce chapitre est au programme de Mathématiques au lycée, en classe de Seconde. Il est défini par le Bulletin Officiel de l'Éducation nationale, le texte de référence qui fixe ce qui doit être enseigné dans chaque matière.

Que faut-il savoir sur Statistiques à une variable — Dispersion ?

Moyenne, médiane, quartiles. Variance et écart-type σ. Box-plot. Comparaison de séries. Les notions à maîtriser sont : moyenne, médiane, quartile, écart-type, variance, dispersion.

Où télécharger la fiche PDF de Statistiques à une variable — Dispersion ?

Sur cette page, dans le bloc « Imprimer » : 3 documents à télécharger — le cours, les exercices et le corrigé — soit 6 pages au format A4, prêtes à imprimer. Le téléchargement est gratuit, immédiat, et ne demande ni compte ni adresse e-mail.

Le corrigé de Statistiques à une variable — Dispersion est-il fourni ?

Oui, et c'est un document à part : chaque exercice y est repris étape par étape, avec le barème détaillé en fin de fiche — ce qui est attendu, combien de points, et ce qui fait perdre le point. Un parent qui ne se souvient plus du programme peut corriger une copie avec.

Comment réviser Statistiques à une variable — Dispersion efficacement ?

Commence par lire la fiche de révision pour remettre la règle en place, puis enchaîne immédiatement sur le quiz de cette page. Répondre juste après avoir lu ne suffit pas : reviens sur le chapitre deux ou trois jours plus tard. C'est l'espacement des révisions, plus que leur durée, qui fait tenir une notion en mémoire. Une session de quinze minutes répétée vaut mieux qu'une heure unique.

Faut-il un compte pour s'entraîner sur Statistiques à une variable — Dispersion ?

Non. Les quiz, les corrections détaillées et les fiches de révision sont accessibles sans créer de compte et sans donner d'adresse e-mail. Le compte gratuit sert uniquement à conserver la progression d'un appareil à l'autre.

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