Fiche à trous · Seconde · Mathématiques

Vecteurs, translations et repérage dans le plan

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Un vecteur n'est pas une flèche : c'est un déplacement. La flèche n'en est qu'un dessin parmi une infinité — le même vecteur peut être représenté n'importe où dans le plan, pourvu qu'on conserve la direction, le sens et la longueur. Comprendre cela règle d'avance la moitié des difficultés du chapitre, à commencer par l'égalité de deux vecteurs qui ne se touchent pas.

Trois caractéristiques

Définition — vecteur :

Direction et sens ne sont pas synonymes, et l'usage courant les confond. Deux vecteurs horizontaux ont la même direction ; l'un peut aller vers la droite et l'autre vers la gauche, ils ont alors des sens opposés. C'est exactement la relation entre $A B$ et $B A$ , qui vérifient $B A = - A B$ .

Propriété

Additionner des déplacements

Propriété

Chasles se lit dans les deux sens, et le second usage est le plus utile : on peut introduire un point pour couper un vecteur en deux. Ainsi $A C$ devient $A O + O C$ si le point $O$ arrange le calcul. C'est la manœuvre standard des démonstrations vectorielles.

Coordonnées

Règle

Exemple

Avec $A (1; 2)$ et $B (4; 6)$ : coordonnées de $A B$ , sa norme, et le milieu de $[A B]$ .

Résultat :

Piège

Calculer $A B$ en faisant départ moins arrivée.

se dire la formule à voix basse : « arrivée moins départ ». Et contrôler sur le dessin : si le vecteur va vers la droite, sa première coordonnée est positive.

Colinéarité

Définition — vecteurs colinéaires :

La colinéarité est l'outil qui traduit deux propriétés géométriques en un seul calcul. Trois points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés si $A B$ et $A C$ sont colinéaires. Deux droites $(A B)$ et $(C D)$ sont parallèles si $A B$ et $C D$ le sont. Dans les deux cas, un déterminant remplace une démonstration.

Coordonnées d'un vecteur : arrivée moins départ, dans cet ordre.
Ai-je distingué direction et sens dans ma rédaction ?
Chasles : puis-je introduire un point pour simplifier ?
Norme : ai-je élevé au carré avant d'additionner ?
Alignement ou parallélisme : ai-je conclu par un déterminant nul ?
Ma conclusion est-elle une phrase, avec les points nommés ?

Corrigé · à détacher

Vecteurs, translations et repérage dans le plan

1. Un vecteur $u$ est défini par trois données : une direction — celle d'une droite —, un sens — l'un des deux parcours possibles sur cette droite — et une norme $∥ u ∥$ , sa longueur. Deux vecteurs sont égaux s'ils ont ces trois caractéristiques en commun, quelle que soit leur position dans le plan. Le vecteur $A B$ désigne le déplacement qui mène de $A$ à $B$ .
2. $A B D C$ est un parallélogramme si et seulement si $A B = C D$ . C'est la traduction vectorielle d'une figure du collège, et c'est souvent la façon la plus rapide de démontrer qu'un quadrilatère en est un : une égalité de vecteurs remplace deux démonstrations de parallélisme.
3. Relation de Chasles — pour trois points quelconques $A$ , $B$ et $C$ , aller de $A$ à $C$ revient à passer par $B$ . La relation est vraie même si $B$ n'est pas entre les deux, et même si les trois points sont alignés.
4. $A B + B C = A C$
5. Le point intermédiaire disparaît : c'est tout l'intérêt.
6. Dans un repère, le vecteur $A B$ a pour coordonnées la différence des coordonnées de $B$ et de $A$ , dans cet ordre : arrivée moins départ. Sa norme se calcule alors par le théorème de Pythagore, et le milieu d'un segment par la moyenne des coordonnées.
7. $A B (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}) ∥ A B ∥ = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$
8. Les coordonnées : arrivée moins départ.
9. Puis l'ordonnée.
10. La norme, par Pythagore.
11. On prend la racine.
12. Le milieu, par la moyenne des coordonnées.
13. Puis l'ordonnée du milieu.
14. $A B (3; 4)$ , de norme 5, et $M (2, 5; 4)$
15. Deux vecteurs sont colinéaires s'ils ont la même direction — autrement dit si l'un est un multiple de l'autre. Le critère de calcul est le déterminant : $u (x; y)$ et $v (x^{'}; y^{'})$ sont colinéaires si et seulement si $x y^{'} - x^{'} y = 0$ . Le vecteur nul est colinéaire à tous les autres.
16. $det (u, v) = x y^{'} - x^{'} y$