Vecteurs, translations et repérage dans le plan

vecteur — Un vecteur $\vec{u}$ est défini par trois données : une direction — celle d'une droite —, un sens — l'un des deux parcours possibles sur cette droite — et une norme $\Vert \vec{u}\Vert$, sa longueur. Deux vecteurs sont égaux s'ils ont ces trois caractéristiques en commun, quelle que soit leur position dans le plan. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ désigne le déplacement qui mène de $A$ à $B$.

$ABDC$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$. C'est la traduction vectorielle d'une figure du collège, et c'est souvent la façon la plus rapide de démontrer qu'un quadrilatère en est un : une égalité de vecteurs remplace deux démonstrations de parallélisme.

Relation de Chasles — pour trois points quelconques $A$, $B$ et $C$, aller de $A$ à $C$ revient à passer par $B$. La relation est vraie même si $B$ n'est pas entre les deux, et même si les trois points sont alignés.

Dans un repère, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées la différence des coordonnées de $B$ et de $A$, dans cet ordre : arrivée moins départ. Sa norme se calcule alors par le théorème de Pythagore, et le milieu d'un segment par la moyenne des coordonnées.

Avec $A(1;2)$ et $B(4;6)$ : coordonnées de $\overrightarrow{AB}$, sa norme, et le milieu de $[AB]$.

1. Les coordonnées : arrivée moins départ.$4-1=3$
2. Puis l'ordonnée.$6-2=4$$\overrightarrow{AB}(3;4)$.
3. La norme, par Pythagore.$3^2+4^2=25$
4. On prend la racine.$\sqrt{25}=5$$\Vert \overrightarrow{AB}\Vert =5$.
5. Le milieu, par la moyenne des coordonnées.$\frac{1+4}{2}=2,5$
6. Puis l'ordonnée du milieu.$\frac{2+6}{2}=4$le milieu est $M(2,5;4)$.

$\overrightarrow{AB}(3;4)$, de norme 5, et $M(2,5;4)$

vecteurs colinéaires — Deux vecteurs sont colinéaires s'ils ont la même direction — autrement dit si l'un est un multiple de l'autre. Le critère de calcul est le déterminant : $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x^{\prime };y^{\prime })$ sont colinéaires si et seulement si $x{y}^{\prime }-x^{\prime }y=0$. Le vecteur nul est colinéaire à tous les autres.