Fiche à trous · 3ème · Mathématiques

Calcul littéral — Développement et factorisation

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Développer et factoriser sont deux chemins opposés entre les mêmes expressions. On développe pour calculer, on factorise pour résoudre : une équation ne se résout qu'une fois l'expression écrite en produit. C'est l'outil qui prépare le second degré, et il tombe presque à chaque brevet.

Développer : de la forme produit à la forme somme

Règle

Exemple

Développer $(x + 3) (x + 5)$ .

Résultat :

Piège

Écrire $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ .

tester avec des nombres avant de conclure. Avec $a = 3$ et $b = 4$ : $(3 + 4)^{2} = 49$ , tandis que $9 + 16 = 25$ . Un contre-exemple suffit à trancher.

Les trois identités remarquables

Règle

Exemple

Elles servent aussi au calcul mental. Pour $10 1^{2}$ , on écrit $101 = 100 + 1$ .

Résultat :

Factoriser : de la forme somme à la forme produit

Deux chemins, dans cet ordre

16.

Le facteur commun se cherche toujours en premier : il simplifie souvent l'expression au point de rendre l'identité évidente ensuite.

À quoi ça sert : la résolution d'équations

Règle

Exemple

Résoudre $x^{2} - 16 = 0$ .

Résultat :

Sans factorisation, on n'a aucun moyen de résoudre : c'est la forme produit qui donne les solutions, jamais la forme somme.

Corrigé · à détacher

Calcul littéral — Développement et factorisation

1. Double distributivité — chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde :
2. $(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d$
3. Je multiplie chaque terme du premier facteur par chaque terme du second.
4. Je réduis les termes semblables : $5 x$ et $3 x$ s'additionnent.
5. x² + 8x + 15
6. Ce sont trois développements si fréquents qu'on les reconnaît au lieu de les refaire :
7. $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2} (a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2} (a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$
8. $(a + b)^{2}$ : deux carrés et deux rectangles $ab$ — d'où le double produit.
9. On applique la première identité.
10. Pour un produit de la forme $(a - b) (a + b)$ , la troisième identité évite toute multiplication posée.
11. les identités sont d'abord des outils de calcul
12. Je cherche d'abord un facteur commun. Dans $6 x^{2} + 9 x$ , les deux termes contiennent $3 x$ : l'expression devient $3 x (2 x + 3)$ .
13. Sinon, je cherche une identité remarquable. Trois termes évoquent un carré, deux termes séparés par un moins évoquent une différence de carrés.
14. Une différence de carrés se reconnaît à deux carrés parfaits séparés par un signe moins.
15. Et la forme factorisée donne le même résultat, sans passer par les carrés.
16. $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ : deux écritures de la même aire.
17. Équation-produit — un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. C'est la seule raison pour laquelle on factorise avant de résoudre.
18. On reconnaît une différence de carrés, puisque $16 = 4^{2}$ .
19. L'équation devient $(x - 4) (x + 4) = 0$ .
20. Un produit nul annule l'un de ses facteurs : $x = 4$ ou $x = - 4$ .
21. deux solutions : 4 et −4