Fiche à trous · 3ème · Mathématiques

Calcul littéral — Développement et factorisation

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Développer et factoriser sont deux chemins opposés entre les mêmes expressions. On développe pour calculer, on factorise pour résoudre : une équation ne se résout qu'une fois l'expression écrite en produit. C'est l'outil qui prépare le second degré, et il tombe presque à chaque brevet.

Reconnaître en dix secondes

Développer : de la forme produit à la forme somme

Règle

Exemple

Développer $(x + 3) (x + 5)$ .

Résultat :

Piège

Écrire $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ .

tester avec des nombres avant de conclure. Avec $a = 3$ et $b = 4$ : $(3 + 4)^{2} = 49$ , tandis que $9 + 16 = 25$ . Un contre-exemple suffit à trancher.

Les trois identités remarquables

Règle

12.

Exemple

Elles servent aussi au calcul mental. Pour $10 1^{2}$ , on écrit $101 = 100 + 1$ .

Résultat :

Factoriser : de la forme somme à la forme produit

Deux chemins, dans cet ordre

20.

Le facteur commun se cherche toujours en premier : il simplifie souvent l'expression au point de rendre l'identité évidente ensuite.

À quoi ça sert : la résolution d'équations

Règle

Exemple

Résoudre $x^{2} - 16 = 0$ .

Résultat :

Sans factorisation, on n'a aucun moyen de résoudre : c'est la forme produit qui donne les solutions, jamais la forme somme.

Les pièges qui coûtent des points

Piège

Écrire $5 - (2 x - 3) = 5 - 2 x - 3$ .

réécrire la soustraction comme une multiplication par $- 1$ avant de distribuer. Un moins devant une parenthèse est une distribution, pas une recopie.

Piège

Écrire $3 x + 5 = 8 x$ .

souligner les termes en $x$ d'une couleur, les constantes d'une autre, et n'additionner qu'à l'intérieur d'une même couleur.

Piège

Écrire $(a - b)^{2} = a^{2} - b^{2}$ .

compter les termes. Un carré développé en donne trois ; une différence de carrés factorisée donne deux facteurs différents. Le nombre de morceaux suffit à repérer l'erreur.

Piège

Factoriser $(x + 2) (x - 3) + (x + 2)$ en $(x + 2) (x - 3)$ .

quand le facteur commun apparaît seul, l'écrire d'abord $(x + 2) \times 1$ . Le 1 reste alors visible, et il finit dans la parenthèse.

Piège

Simplifier $x^{2} = 5 x$ en $x = 5$ .

tout ramener d'un côté, puis factoriser : $x^{2} - 5 x = 0$ donne $x (x - 5) = 0$ , donc $x = 0$ ou $x = 5$ . On ne divise jamais par une expression qui contient l'inconnue.

La consigne dit-elle développer, factoriser ou résoudre ? La forme attendue en dépend entièrement.
Un moins devant une parenthèse : ai-je changé le signe de tous ses termes ?
Un carré développé donne trois termes : ai-je écrit le double produit ?
N'ai-je additionné que des termes semblables — les $x$ avec les $x$ , les constantes avec les constantes ?
Pour factoriser : facteur commun d'abord, identité remarquable ensuite.
Le facteur commun apparaît seul quelque part ? Alors il reste un 1 dans la parenthèse.
Ai-je résolu sans jamais diviser par l'inconnue, donc sans perdre la solution 0 ?
Test final : la forme de départ et la forme d'arrivée donnent-elles le même nombre pour $x = 1$ ?

Corrigé · à détacher

Calcul littéral — Développement et factorisation

1. Le signal. Un seul mot commande tout le travail : développer, factoriser, ou résoudre. Il est dans la consigne, jamais dans l'expression. Le lire avant de regarder les calculs évite de prendre le chemin inverse du bon.
2. La première question à se poser : quelle forme est attendue à l'arrivée ? Une somme de termes, et c'est développer. Un produit de facteurs, et c'est factoriser. Une équation ne se résout par le produit nul que sous forme factorisée : si elle ne l'est pas, la première étape est de la factoriser.
3. Le contre-signal. « Montrer que les deux expressions sont égales » : on développe les deux et on compare, on ne passe pas de l'une à l'autre. « Calculer astucieusement $101 \times 99$ » : c'est une identité remarquable déguisée, $(100 + 1) (100 - 1) = 10000 - 1 = 9999$ , et le calcul posé n'est pas la réponse attendue.
4. Le réflexe qui économise l'exercice. Pour factoriser, deux regards dans cet ordre : un facteur commun ? sinon, une identité remarquable ? Et pour finir, un test : remplacer $x$ par 1 dans la forme de départ et dans la forme d'arrivée. Deux nombres différents, et la factorisation est fausse, sans avoir à la relire.
5. Double distributivité — chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde :
6. $(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d$
7. Je multiplie chaque terme du premier facteur par chaque terme du second.
8. Je réduis les termes semblables : $5 x$ et $3 x$ s'additionnent.
9. x² + 8x + 15
10. Ce sont trois développements si fréquents qu'on les reconnaît au lieu de les refaire :
11. $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2} (a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2} (a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$
12. $(a + b)^{2}$ : deux carrés et deux rectangles $ab$ — d'où le double produit.
13. On applique la première identité.
14. Pour un produit de la forme $(a - b) (a + b)$ , la troisième identité évite toute multiplication posée.
15. les identités sont d'abord des outils de calcul
16. Je cherche d'abord un facteur commun. Dans $6 x^{2} + 9 x$ , les deux termes contiennent $3 x$ : l'expression devient $3 x (2 x + 3)$ .
17. Sinon, je cherche une identité remarquable. Trois termes évoquent un carré, deux termes séparés par un moins évoquent une différence de carrés.
18. Une différence de carrés se reconnaît à deux carrés parfaits séparés par un signe moins.
19. Et la forme factorisée donne le même résultat, sans passer par les carrés.
20. $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ : deux écritures de la même aire.
21. Équation-produit — un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. C'est la seule raison pour laquelle on factorise avant de résoudre.
22. On reconnaît une différence de carrés, puisque $16 = 4^{2}$ .
23. L'équation devient $(x - 4) (x + 4) = 0$ .
24. Un produit nul annule l'un de ses facteurs : $x = 4$ ou $x = - 4$ .
25. deux solutions : 4 et −4