Développe l'expression T = 3(x + 1)(x - 4).

3(x² - 3x - 4) puis 3x² - 9x - 12

📐 Mathématiques3e3èmeSans inscription

Calcul littéral — Développement et factorisation

Programme en vigueur — arrêté du 9 novembre 2015, applicable en 3ème depuis la rentrée 2016. Voir le texte

Mesure annoncée pour 2027, non confirmée réglementairement au 9 septembre 2026. Ce que l'on sait

Double distributivité, identités remarquables (a+b)², (a-b)², (a+b)(a-b). Factorisation. Applications : équations du second degré.

La règle d'or

On factorise pour résoudre : seule la forme produit livre les solutions, parce qu'un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est.

L'erreur que tout le monde fait

Simplifier x² = 3x en divisant les deux membres par x, puis conclure que x vaut 3.

Diviser par x suppose que x n'est pas nul, ce que rien ne garantit. La solution x = 0 disparaît alors sans laisser de trace : l'équation en avait deux, la réponse n'en donne plus qu'une. Diviser par une inconnue, c'est parier sur sa valeur.

Tout ramener à zéro puis factoriser. x² - 3x = 0 s'écrit x(x - 3) = 0, dont les solutions sont 0 et 3.

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Notions à maîtriser

développer
factoriser
identité remarquable
facteur commun

Réviser

Fiche de révision

Développer et factoriser des expressions

Accroche Tu sais que x² + 3x = 2x(x + 1,5) te semble aussi clair qu'une recette de cuisine en grec ancien ? Concept Le calcul littéral (avec des lettres), c’est comme un Lego :

Lire la fiche

Développer et factoriser sont deux chemins opposés entre les mêmes expressions. On développe pour calculer, on factorise pour résoudre : une équation ne se résout qu'une fois l'expression écrite en produit. C'est l'outil qui prépare le second degré, et il tombe presque à chaque brevet.

Reconnaître en dix secondes

Le signal. Un seul mot commande tout le travail : développer, factoriser, ou résoudre. Il est dans la consigne, jamais dans l'expression. Le lire avant de regarder les calculs évite de prendre le chemin inverse du bon.
La première question à se poser : quelle forme est attendue à l'arrivée ? Une somme de termes, et c'est développer. Un produit de facteurs, et c'est factoriser. Une équation ne se résout par le produit nul que sous forme factorisée : si elle ne l'est pas, la première étape est de la factoriser.
Le contre-signal. « Montrer que les deux expressions sont égales » : on développe les deux et on compare, on ne passe pas de l'une à l'autre. « Calculer astucieusement $101 \times 99$ » : c'est une identité remarquable déguisée, $(100 + 1) (100 - 1) = 10000 - 1 = 9999$ , et le calcul posé n'est pas la réponse attendue.
Le réflexe qui économise l'exercice. Pour factoriser, deux regards dans cet ordre : un facteur commun ? sinon, une identité remarquable ? Et pour finir, un test : remplacer $x$ par 1 dans la forme de départ et dans la forme d'arrivée. Deux nombres différents, et la factorisation est fausse, sans avoir à la relire.

1Développer : de la forme produit à la forme somme

Règle

Double distributivité — chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde :

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

Exemple

Développer $(x + 3) (x + 5)$ .

Je multiplie chaque terme du premier facteur par chaque terme du second. $x \times x + x \times 5 + 3 \times x + 3 \times 5$
Je réduis les termes semblables : $5 x$ et $3 x$ s'additionnent.

x² + 8x + 15

Piège

Écrire $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ .

Pourquoi — il manque le double produit. Sur un carré de côté $a + b$ , le découpage montre quatre morceaux et non deux : deux carrés, et deux rectangles identiques.

Ce que ça coûte — la question, et comme l'identité figure au barème, l'erreur est repérée à la ligne exacte où elle est écrite.

Le réflexe — tester avec des nombres avant de conclure. Avec $a = 3$ et $b = 4$ : $(3 + 4)^{2} = 49$ , tandis que $9 + 16 = 25$ . Un contre-exemple suffit à trancher.

2Les trois identités remarquables

Règle

Ce sont trois développements si fréquents qu'on les reconnaît au lieu de les refaire :

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2} (a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2} (a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

$(a+b)^2$ : deux carrés et deux rectangles $ab$ — d'où le double produit.

Exemple

Elles servent aussi au calcul mental. Pour $10 1^{2}$ , on écrit $101 = 100 + 1$ .

On applique la première identité. $10 1^{2} = (100 + 1)^{2} = 10000 + 200 + 1 = 10201$
Pour un produit de la forme $(a - b) (a + b)$ , la troisième identité évite toute multiplication posée. $98 \times 102 = (100 - 2) \times (100 + 2) = 10000 - 4 = 9996$

les identités sont d'abord des outils de calcul

3Factoriser : de la forme somme à la forme produit

Deux chemins, dans cet ordre

Je cherche d'abord un facteur commun. Dans $6 x^{2} + 9 x$ , les deux termes contiennent $3 x$ : l'expression devient $3 x (2 x + 3)$ .
Sinon, je cherche une identité remarquable. Trois termes évoquent un carré, deux termes séparés par un moins évoquent une différence de carrés.
Une différence de carrés se reconnaît à deux carrés parfaits séparés par un signe moins. $7^{2} - 5^{2} = 49 - 25 = 24$
Et la forme factorisée donne le même résultat, sans passer par les carrés. $(7 - 5) \times (7 + 5) = 2 \times 12 = 24$

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ : deux écritures de la même aire.

Le facteur commun se cherche toujours en premier : il simplifie souvent l'expression au point de rendre l'identité évidente ensuite.

4À quoi ça sert : la résolution d'équations

Règle

Équation-produit — un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. C'est la seule raison pour laquelle on factorise avant de résoudre.

Exemple

Résoudre $x^{2} - 16 = 0$ .

On reconnaît une différence de carrés, puisque $16 = 4^{2}$ .
L'équation devient $(x - 4) (x + 4) = 0$ .
Un produit nul annule l'un de ses facteurs : $x = 4$ ou $x = - 4$ .

deux solutions : 4 et −4

Sans factorisation, on n'a aucun moyen de résoudre : c'est la forme produit qui donne les solutions, jamais la forme somme.

5Les pièges qui coûtent des points

Piège

Écrire $5 - (2 x - 3) = 5 - 2 x - 3$ .

Pourquoi — le signe moins porte sur toute la parenthèse, donc sur chacun de ses termes. La bonne écriture est $5 - 2 x + 3$ , c'est-à-dire $8 - 2 x$ : le terme constant change du tout au tout.

Ce que ça coûte — la ligne où l'erreur est commise et toutes celles qui en descendent — le reste du calcul peut être impeccable.

Le réflexe — réécrire la soustraction comme une multiplication par $- 1$ avant de distribuer. Un moins devant une parenthèse est une distribution, pas une recopie.

Piège

Écrire $3 x + 5 = 8 x$ .

Pourquoi — on n'additionne que des termes ayant exactement la même partie littérale. Avec $x = 2$ , l'expression de départ vaut $3 \times 2 + 5 = 11$ et celle d'arrivée $8 \times 2 = 16$ . $x^{2}$ et $x$ ne sont pas semblables non plus.

Ce que ça coûte — le point de réduction, et une forme finale que le correcteur ne peut pas valider même si le développement était juste.

Le réflexe — souligner les termes en $x$ d'une couleur, les constantes d'une autre, et n'additionner qu'à l'intérieur d'une même couleur.

Piège

Écrire $(a - b)^{2} = a^{2} - b^{2}$ .

Pourquoi — ce sont deux identités différentes. $a^{2} - b^{2}$ est la différence de deux carrés, qui se factorise en $(a + b) (a - b)$ ; $(a - b)^{2}$ vaut $a^{2} - 2 ab + b^{2}$ . Avec $a = 5$ et $b = 3$ : $(5 - 3)^{2} = 4$ , alors que $25 - 9 = 16$ .

Ce que ça coûte — la question, et l'identité figurant au barème, l'erreur est vue sans avoir à chercher.

Le réflexe — compter les termes. Un carré développé en donne trois ; une différence de carrés factorisée donne deux facteurs différents. Le nombre de morceaux suffit à repérer l'erreur.

Piège

Factoriser $(x + 2) (x - 3) + (x + 2)$ en $(x + 2) (x - 3)$ .

Pourquoi — le second terme n'a pas disparu : il vaut $(x + 2) \times 1$ . En le rayant on supprime un terme au lieu de le mettre en facteur. La bonne écriture est $(x + 2) (x - 3 + 1)$ , c'est-à-dire $(x + 2) (x - 2)$ .

Ce que ça coûte — la factorisation entière, donc la résolution d'équation qui devait s'appuyer dessus.

Le réflexe — quand le facteur commun apparaît seul, l'écrire d'abord $(x + 2) \times 1$ . Le 1 reste alors visible, et il finit dans la parenthèse.

Piège

Simplifier $x^{2} = 5 x$ en $x = 5$ .

Pourquoi — diviser les deux membres par $x$ suppose $x \neq = 0$ — et 0 est précisément une solution. L'équation en a deux, 0 et 5 ; la division en efface une sans laisser de trace.

Ce que ça coûte — la moitié des solutions, donc la moitié des points de la question — et c'est une perte qui se voit d'un coup d'œil sur la copie.

Le réflexe — tout ramener d'un côté, puis factoriser : $x^{2} - 5 x = 0$ donne $x (x - 5) = 0$ , donc $x = 0$ ou $x = 5$ . On ne divise jamais par une expression qui contient l'inconnue.

▢La consigne dit-elle développer, factoriser ou résoudre ? La forme attendue en dépend entièrement.
▢Un moins devant une parenthèse : ai-je changé le signe de tous ses termes ?
▢Un carré développé donne trois termes : ai-je écrit le double produit ?
▢N'ai-je additionné que des termes semblables — les $x$ avec les $x$ , les constantes avec les constantes ?
▢Pour factoriser : facteur commun d'abord, identité remarquable ensuite.
▢Le facteur commun apparaît seul quelque part ? Alors il reste un 1 dans la parenthèse.
▢Ai-je résolu sans jamais diviser par l'inconnue, donc sans perdre la solution 0 ?
▢Test final : la forme de départ et la forme d'arrivée donnent-elles le même nombre pour $x = 1$ ?

L'essentiel en 6 points

·Développer : du produit vers la somme. Factoriser : de la somme vers le produit.
· $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ — le double produit est ce qu'on oublie.
· $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ : deux carrés séparés par un moins.
·Pour factoriser, chercher le facteur commun d'abord, l'identité ensuite.
·Un produit nul annule l'un de ses facteurs : c'est la seule raison de factoriser.
·On ne divise jamais par une inconnue — on perdrait une solution.

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Au sommaire du cours

1. Développer : de la forme produit à la forme somme
2. Les trois identités remarquables
3. Factoriser : de la forme somme à la forme produit
4. À quoi ça sert : la résolution d'équations
5. Les pièges qui coûtent des points

Conforme au programme officiel · version 2026.2.

Exercices corrigés

Développer ou factoriser ?

Communiquer

a.Passer de $(x + 2) (x + 7)$ à $x^{2} + 9 x + 14$
b.Passer de $4 x^{2} - 9$ à $(2 x - 3) (2 x + 3)$
c.Laquelle des deux formes permet de résoudre une équation ?

›Voir le corrigé

a. Développer : on passe d'un produit à une somme.produit vers somme : le mot « développer » nomme le sens du passage, pas le calcul.
b. Factoriser : on passe d'une somme à un produit.somme vers produit — l'autre sens, et le plus difficile des deux.
c. La forme produit, grâce à la règle du produit nul. C'est la seule raison de factoriser.un produit nul annule l'un de ses facteurs ; une somme nulle n'annule rien du tout.

Développer et réduire

Calculer

a. $(x + 4) (x + 6)$
b. $(2 x - 3) (x + 5)$
c. $(x + 5)^{2}$
d. $(3 x - 2) (3 x + 2)$

›Voir le corrigé

a. Double distributivité, puis réduction : $x^{2} + 6 x + 4 x + 24$ , soit $x^{2} + 10 x + 24$ .quatre produits à écrire avant de réduire : l'oubli du quatrième est l'erreur la plus fréquente.
b. $2 x^{2} + 10 x - 3 x - 15$ , soit $2 x^{2} + 7 x - 15$ .le signe du $- 3$ se distribue lui aussi : $- 3 \times 5 = - 15$ .
c. Première identité remarquable : $x^{2} + 10 x + 25$ . Le double produit vaut $2 \times x \times 5$ .le double produit vaut $2 \times x \times 5 = 10 x$ ; sans lui il ne resterait que deux termes.
d. Troisième identité : $9 x^{2} - 4$ . Aucun terme en $x$ ne subsiste.les termes du milieu s'annulent, $+ 6 x$ et $- 6 x$ : c'est la signature de cette identité.
Contrôle rapide : on remplace $x$ par 1 des deux côtés. Au a., le produit vaut 35 et la somme aussi. $5 \times 7 = 35 = 1 + 10 + 24$

Factoriser

Calculer

a. $8 x^{2} + 12 x$
b. $x^{2} - 49$
c. $x^{2} + 6 x + 9$
d. $25 x^{2} - 16$

›Voir le corrigé

On cherche toujours le facteur commun en premier ; les identités viennent ensuite.sortir le facteur commun simplifie souvent l'identité qui suit ; l'inverse n'est jamais vrai.
a. Facteur commun $4 x$ : $4 x (2 x + 3)$ . $4 x$ est le plus grand facteur commun de $8 x^{2}$ et $12 x$ ; n'en sortir que $x$ laisserait du travail.
b. Différence de carrés, avec $49 = 7^{2}$ : $(x - 7) (x + 7)$ .il faut d'abord voir que $49 = 7^{2}$ : sans le carré, la différence de carrés reste invisible.
c. Trois termes, dont deux carrés : $(x + 3)^{2}$ . On vérifie que $6 x$ est bien le double produit $2 \times x \times 3$ . $2 \times x \times 3 = 6 x$ : cette vérification sépare une identité d'une simple ressemblance.
d. Deux carrés séparés par un moins : $(5 x - 4) (5 x + 4)$ .
Au c., si le double produit ne correspond pas, ce n'est pas une identité remarquable et la factorisation est fausse.un trinôme dont le double produit ne colle pas ne se factorise pas au collège : c'est un signal d'arrêt, pas un obstacle.

Calcul mental par les identités

Calculer

a.Calcule $10 2^{2}$ sans poser d'opération.
b.Calcule $97 \times 103$ .
c.Calcule $4 9^{2}$ .

›Voir le corrigé

a. On écrit 102 = 100 + 2. $10 2^{2} = (100 + 2)^{2} = 10000 + 400 + 4 = 10404$ le double produit vaut $2 \times 100 \times 2 = 400$ — encore lui.
b. Forme $(a - b) (a + b)$ autour de 100. $97 \times 103 = (100 - 3) \times (100 + 3) = 10000 - 9 = 9991$ $10 0^{2} - 3^{2}$ , aucun terme du milieu : c'est ce qui rend ce produit calculable de tête.
c. On écrit 49 = 50 − 1. $4 9^{2} = (50 - 1)^{2} = 2500 - 100 + 1 = 2401$ $2 \times 50 \times 1 = 100$ , et ce double produit se retranche parce que le signe est un moins.
L'intérêt n'est pas la performance : c'est de comprendre que ces identités sont des égalités entre nombres avant d'être des règles sur des lettres.elles sont vraies pour tous les nombres — les lettres ne font que les écrire une fois pour toutes.

Résoudre par factorisation

Raisonner

a. $x^{2} - 25 = 0$
b. $3 x^{2} + 12 x = 0$
c. $(x - 2) (x + 7) = 0$

›Voir le corrigé

On factorise d'abord, puis on applique la règle du produit nul.aucune des trois équations ne se résout sous sa forme de départ.
a. $(x - 5) (x + 5) = 0$ , donc $x = 5$ ou $x = - 5$ .deux facteurs, donc deux solutions : le produit est nul dès que l'un des deux l'est.
b. Facteur commun $3 x$ : $3 x (x + 4) = 0$ , donc $x = 0$ ou $x = - 4$ .
c. Déjà factorisé : $x = 2$ ou $x = - 7$ .l'équation était déjà sous forme produit ; la développer aurait éloigné de la réponse.
Au b., l'erreur classique est de diviser par $x$ : on perd alors la solution $x = 0$ . On ne divise jamais par une inconnue.diviser par $x$ , c'est supposer $x \neq = 0$ sans le dire : une hypothèse, pas une simplification.

Le jardin agrandi

Modéliser

a.Un jardin carré de côté $x$ mètres est agrandi de 3 m sur chaque dimension. Exprime la nouvelle aire en fonction de $x$ , sous forme développée.
b.De combien l'aire a-t-elle augmenté ?
c.Pour $x = 12$ , calcule cette augmentation.

›Voir le corrigé

a. Le nouveau côté vaut $x + 3$ , donc la nouvelle aire est $(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9$ .le côté gagne 3, l'aire ne gagne pas 3 : elle suit le carré du côté.
b. L'augmentation est la différence : $x^{2} + 6 x + 9 - x^{2} = 6 x + 9$ .les $x^{2}$ se simplifient — l'augmentation dépend encore de $x$ , elle n'est pas constante.
c. On remplace $x$ par 12. $6 \times 12 + 9 = 72 + 9 = 81$ 81 m² de plus
Vérification directe : l'ancienne aire vaut 144, la nouvelle 225. $1 5^{2} - 1 2^{2} = 225 - 144 = 81$ le calcul direct sert de contrôle ; c'est la forme littérale qui répond pour n'importe quel $x$ .
Les deux chemins donnent 81 : c'est ce que signifie « les deux formes sont égales ».une égalité entre expressions se contrôle sur un nombre et se démontre sur la lettre.

Ce qui rapporte des points, ce qui en coûte

Développer sans oublier de terme1 ptPerdu si : Écrire (a+b)² = a² + b² : le double produit manque
Réduire les termes semblables1 ptPerdu si : Additionner un terme en x avec une constante
Chercher le facteur commun avant l'identité remarquable1 ptPerdu si : Se lancer dans une identité alors qu'un facteur commun simplifiait tout
Utiliser la forme factorisée pour résoudre1 ptPerdu si : Diviser par l'inconnue, ce qui fait perdre la solution x = 0

La méthode

Factoriser une expression, dans le bon ordre

1
Chercher d'abord un facteur commun, qui peut être une parenthèse entière et pas seulement un nombre.
2
Mettre ce facteur en évidence et écrire entre parenthèses ce qui reste.
3
Reconnaître ensuite une identité remarquable, si aucun facteur commun n'apparaît.
Une différence de deux carrés se factorise ; une somme de deux carrés, jamais.
4
Contrôler la factorisation en la redéveloppant.

Se tester

Touches 1 à 4

Mathématiques3ème

Question 1

On donne l'expression

Q = 2(x + 1)^2 + 3(x + 1)

. Factorise

Q

Aucun compte requis — réponds, la correction s'affiche aussitôt.

Signaler une erreur

Se tester en conditions de contrôle

4 contrôles sur ce chapitre, chacun avec sa durée, son barème sur vingt et un corrigé qui explique chaque réponse. Trois niveaux — Essentiel, Standard, Approfondi — se complètent sans reposer une question : on commence par celui qui correspond, et la note dit lequel faire ensuite.

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Questions fréquentes

Calcul littéral — Développement et factorisation : c'est en quelle classe ?

Ce chapitre est au programme de Mathématiques au collège, en classe de 3ème, année du Brevet. Il est défini par le Bulletin Officiel de l'Éducation nationale, le texte de référence qui fixe ce qui doit être enseigné dans chaque matière.

Que faut-il savoir sur Calcul littéral — Développement et factorisation ?

Double distributivité, identités remarquables (a+b)², (a-b)², (a+b)(a-b). Factorisation. Applications : équations du second degré. Les notions à maîtriser sont : développer, factoriser, identité remarquable, facteur commun.

Où télécharger la fiche PDF de Calcul littéral — Développement et factorisation ?

Sur cette page, dans le bloc « Imprimer » : 3 documents à télécharger — le cours, les exercices et le corrigé — soit 7 pages au format A4, prêtes à imprimer. Le téléchargement est gratuit, immédiat, et ne demande ni compte ni adresse e-mail.

Le corrigé de Calcul littéral — Développement et factorisation est-il fourni ?

Oui, et c'est un document à part : chaque exercice y est repris étape par étape, avec le barème détaillé en fin de fiche — ce qui est attendu, combien de points, et ce qui fait perdre le point. Un parent qui ne se souvient plus du programme peut corriger une copie avec.

Calcul littéral — Développement et factorisation peut-il tomber au Brevet ?

Ce chapitre fait partie du programme officiel de 3ème, il entre donc dans le périmètre du Brevet. Le sujet exact varie chaque année et aucun chapitre n'est garanti, mais l'ensemble du programme de l'année est susceptible d'être évalué : mieux vaut ne pas parier sur des impasses.

Comment réviser Calcul littéral — Développement et factorisation efficacement ?

Commence par lire la fiche de révision pour remettre la règle en place, puis enchaîne immédiatement sur le quiz de cette page. Répondre juste après avoir lu ne suffit pas : reviens sur le chapitre deux ou trois jours plus tard. C'est l'espacement des révisions, plus que leur durée, qui fait tenir une notion en mémoire. Une session de quinze minutes répétée vaut mieux qu'une heure unique.

Faut-il un compte pour s'entraîner sur Calcul littéral — Développement et factorisation ?

Non. Les quiz, les corrections détaillées et les fiches de révision sont accessibles sans créer de compte et sans donner d'adresse e-mail. Le compte gratuit sert uniquement à conserver la progression d'un appareil à l'autre.

Cahier de vacances

Ce chapitre se révise aussi pendant les vacances, dans un livret à imprimer avec son corrigé.

vacances de la Toussaint

Cahier de vacances de la Toussaint — maths 3e

Séances 3 et 4 · livret et corrigé en PDF

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