Fiche à trous · 3ème · Mathématiques

Fonctions linéaires et affines

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Une fonction est une machine à un seul bouton : on entre un nombre, il en sort un autre, toujours le même pour la même entrée. Les fonctions linéaires et affines sont les plus simples de toutes — ce sont celles dont le graphique est une droite — et elles décrivent l'essentiel de la vie courante : un prix au kilo, un abonnement, une remise, une vitesse constante.

Deux familles, une différence

Définition — fonction linéaire et fonction affine :

Tout se joue sur $b$ : une fonction linéaire passe par l'origine, une affine part d'ailleurs. C'est visible d'un coup d'œil sur un graphique, et cela suffit à répondre à « y a-t-il proportionnalité ? ».

Reconnaître en dix secondes

Calculer une image, un antécédent

Dans les deux sens

Piège

Confondre image et antécédent.

repérer de quel côté est l'inconnue. Si elle est dans la parenthèse, c'est un antécédent et il faudra résoudre.

Lire la droite

Règle

12.

Exemple

Une droite passe par les points $(0; 5)$ et $(3; 11)$ . On retrouve son expression sans dessin.

Résultat :

Retrouver une fonction affine à partir de deux points

Exemple

Une droite passe par $A (2; 7)$ et $B (5; 16)$ . Quelle est l'expression de la fonction affine correspondante ?

Résultat :

Piège

Calculer le coefficient directeur en divisant la différence des abscisses par celle des ordonnées.

se dire la formule en français — « de combien monte-t-on quand on avance de 1 » : la montée est au numérateur, l'avance au dénominateur.

Pourcentages : le cas le plus utile

Règle

Exemple

Deux coefficients à savoir retrouver instantanément.

Résultat :

C'est la raison pour laquelle « +10 % puis −10 % » ne rend pas le prix initial : $1, 1 \times 0, 9 = 0, 99$ . Il manque 1 %.

Exemple

Deux formules pour la même salle : A coûte 12 € par mois plus 0,80 € la séance, B coûte 2 € la séance sans abonnement. La comparaison se lit d'un coup sur le graphique.

Résultat :

33.

Une même question admet deux traitements, et il faut savoir lequel l'énoncé demande. La résolution graphique lit la réponse sur le dessin : pour résoudre $f (x) = 7$ , on repère 7 sur l'axe vertical, on rejoint la droite, on descend sur l'axe horizontal. Elle est rapide, et approchée. La résolution algébrique pose l'équation $a x + b = 7$ et la résout par le calcul : elle est exacte. Les deux se complètent — le graphique donne l'ordre de grandeur et contrôle le calcul, le calcul donne la valeur qu'on écrit.

Une fonction linéaire n'est rien d'autre qu'une situation de proportionnalité écrite autrement : $f (x) = a x$ , et $a$ est le coefficient de proportionnalité. Tout ce qui a été appris au collège sur les tableaux, les échelles et les pourcentages se retrouve donc ici, avec un vocabulaire de fonction et une représentation graphique. Une fonction affine, elle, ajoute un terme constant : elle décrit ce qui commence à une valeur non nulle — un abonnement, un frais fixe, une température de départ.

Les pièges qui coûtent des points

Piège

Lire l'ordonnée à l'origine au bord gauche du graphique.

$b$ se lit à l'abscisse 0, et nulle part ailleurs. Si 0 n'apparaît pas sur le dessin, on ne lit pas $b$ : on le calcule, avec un point et le coefficient directeur.

Piège

Écrire $f (x) = 0, 1 x$ pour une hausse de 10 %.

avant d'écrire, dire à voix basse ce qu'on calcule : l'augmentation, ou le montant final ? Le coefficient multiplicateur est toujours proche de 1.

Piège

Lire le coefficient multiplicateur comme un pourcentage : annoncer « une baisse de 92 % » devant 0,92.

toujours revenir à 1. Ce qui manque à 1, ou ce qui le dépasse, voilà le taux — et il se lit en pourcentage après multiplication par 100.

Piège

Rendre une valeur lue sur le graphique quand l'énoncé demande une valeur exacte.

lire les mots de la consigne. « Graphiquement » autorise la lecture et l'exige même ; « déterminer », « calculer », « résoudre » réclament l'algèbre.

Ai-je vérifié si $b = 0$ ? C'est ce qui distingue une fonction linéaire d'une fonction affine.
Pour un coefficient directeur : la différence des ordonnées au numérateur.
Ai-je contrôlé mon expression sur un point qui n'a pas servi à la trouver ?
Image ou antécédent : l'énoncé donne-t-il $x$ ou $f (x)$ ?
Ai-je lu $b$ à l'abscisse 0, et non au bord du graphique ?
Une hausse de 10 %, c'est le coefficient 1,1 ; $0, 1 x$ est l'augmentation, pas le prix.
Un coefficient de 0,92 : la baisse est de 8 %, ce qui manque à 1 — pas de 92 %.
L'énoncé dit-il « graphiquement » ? Sinon la lecture ne suffit pas : il faut résoudre.

Corrigé · à détacher

Fonctions linéaires et affines

1. Une fonction linéaire s'écrit $f (x) = a x$ : elle traduit une proportionnalité. Une fonction affine s'écrit $f (x) = a x + b$ : elle ajoute une constante de départ. Toute fonction linéaire est affine, avec $b = 0$ ; l'inverse est faux.
2. La linéaire passe par l'origine, l'affine part de $b$ .
3. Le signal. Deux grandeurs qui varient ensemble — un tableau, une droite, ou une phrase « en fonction de ». Les mots « tarif », « abonnement », « par mois », « prix au kilo », « au bout de $x$ jours » annoncent presque toujours une fonction affine.
4. La première question à se poser : y a-t-il une part fixe, quelque chose à payer même pour zéro unité ? Si oui, la fonction est affine et cette part fixe est $b$ . Sinon elle est linéaire, et c'est une proportionnalité.
5. Le contre-signal. La représentation n'est pas une droite → ni linéaire ni affine, c'est une autre fonction. Dans un tableau, les quotients $y / x$ ne sont pas constants → ce n'est pas linéaire ; regardez alors si l'écart des $y$ est constant quand l'écart des $x$ l'est, c'est la signature de l'affine.
6. Le réflexe qui économise l'exercice. Écrire $f (x) = a x + b$ avant de chercher quoi que ce soit, puis remplir les deux cases séparément : $a$ est un taux, ce qu'on gagne par unité ; $b$ est une valeur de départ, celle en $x = 0$ . Deux inconnues, deux questions, jamais mélangées.
7. Image — on connaît $x$ , on cherche $f (x)$ : on remplace, on calcule. Avec $f (x) = 2 x + 5$ :
8. Antécédent — on connaît $f (x)$ , on cherche $x$ : on résout une équation. Pour $f (x) = 17$ , on écrit $2 x + 5 = 17$ .
9. On isole l'inconnue : $2 x = 12$ , donc $x = 6$ .
10. On vérifie en calculant l'image de 6.
11. Pour $f (x) = a x + b$ : $a$ est le coefficient directeur — la hauteur gagnée quand on avance de 1 — et $b$ l'ordonnée à l'origine, la valeur en $x = 0$ . Si $a > 0$ la fonction croît, si $a < 0$ elle décroît, si $a = 0$ elle est constante.
12. $b$ se lit sur l'axe, $a$ est la hauteur gagnée quand on avance de 1.
13. L'ordonnée à l'origine se lit directement : $b = 5$ , puisque le premier point a pour abscisse 0.
14. Le coefficient directeur est le rapport de la hauteur gagnée sur la distance parcourue.
15. On vérifie sur le second point.
16. f(x) = 2x + 5
17. Le coefficient directeur se calcule comme un rapport d'accroissements : la différence des ordonnées divisée par la différence des abscisses, dans le même ordre.
18. L'ordonnée à l'origine s'obtient en remplaçant $x$ et $y$ par les coordonnées de l'un des deux points, puis en isolant $b$ .
19. Vérifier sur l'autre point — celui qui n'a pas servi. S'il ne tombe pas juste, l'erreur est dans le calcul, pas dans l'énoncé.
20. Le coefficient directeur.
21. On remplace dans $y = 3 x + b$ avec le point $A$ : $7 = 3 \times 2 + b$ .
22. Vérification sur $B$ , resté inutilisé.
23. $f (x) = 3 x + 1$
24. Une évolution en pourcentage est une fonction linéaire. Augmenter de $t$ % revient à multiplier par $1 + \frac{t}{100}$ ; diminuer de $t$ % revient à multiplier par $1 - \frac{t}{100}$ .
25. Une hausse de 15 %
26. Une baisse de 20 %
27. Une hausse de 15 % suivie d'une baisse de 20 % ne ramène pas au départ.
28. les pourcentages se multiplient, ils ne s'additionnent pas
29. On cherche le nombre de séances où les deux formules coûtent la même chose : $0, 8 n + 12 = 2 n$ , soit $12 = 1, 2 n$ et $n = 10$ .
30. Formule A pour 10 séances
31. Formule B pour 10 séances
32. avant 10 séances B est moins chère, après c'est A
33. Le point d'intersection est le seuil : avant lui une formule gagne, après c'est l'autre.