Fiche à trous · 3ème · Mathématiques

Fonctions linéaires et affines

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Une fonction est une machine à un seul bouton : on entre un nombre, il en sort un autre, toujours le même pour la même entrée. Les fonctions linéaires et affines sont les plus simples de toutes — ce sont celles dont le graphique est une droite — et elles décrivent l'essentiel de la vie courante : un prix au kilo, un abonnement, une remise, une vitesse constante.

Deux familles, une différence

Définition — fonction linéaire et fonction affine :

Tout se joue sur $b$ : une fonction linéaire passe par l'origine, une affine part d'ailleurs. C'est visible d'un coup d'œil sur un graphique, et cela suffit à répondre à « y a-t-il proportionnalité ? ».

Calculer une image, un antécédent

Dans les deux sens

Piège

Confondre image et antécédent.

repérer de quel côté est l'inconnue. Si elle est dans la parenthèse, c'est un antécédent et il faudra résoudre.

Lire la droite

Règle

Exemple

Une droite passe par les points $(0; 5)$ et $(3; 11)$ . On retrouve son expression sans dessin.

Résultat :

Retrouver une fonction affine à partir de deux points

Exemple

Une droite passe par $A (2; 7)$ et $B (5; 16)$ . Quelle est l'expression de la fonction affine correspondante ?

Résultat :

Piège

Calculer le coefficient directeur en divisant la différence des abscisses par celle des ordonnées.

se dire la formule en français — « de combien monte-t-on quand on avance de 1 » : la montée est au numérateur, l'avance au dénominateur.

Pourcentages : le cas le plus utile

Règle

Exemple

Deux coefficients à savoir retrouver instantanément.

Résultat :

C'est la raison pour laquelle « +10 % puis −10 % » ne rend pas le prix initial : $1, 1 \times 0, 9 = 0, 99$ . Il manque 1 %.

Exemple

Deux formules pour la même salle : A coûte 12 € par mois plus 0,80 € la séance, B coûte 2 € la séance sans abonnement. La comparaison se lit d'un coup sur le graphique.

Résultat :

29.

Une même question admet deux traitements, et il faut savoir lequel l'énoncé demande. La résolution graphique lit la réponse sur le dessin : pour résoudre $f (x) = 7$ , on repère 7 sur l'axe vertical, on rejoint la droite, on descend sur l'axe horizontal. Elle est rapide, et approchée. La résolution algébrique pose l'équation $a x + b = 7$ et la résout par le calcul : elle est exacte. Les deux se complètent — le graphique donne l'ordre de grandeur et contrôle le calcul, le calcul donne la valeur qu'on écrit.

Une fonction linéaire n'est rien d'autre qu'une situation de proportionnalité écrite autrement : $f (x) = a x$ , et $a$ est le coefficient de proportionnalité. Tout ce qui a été appris au collège sur les tableaux, les échelles et les pourcentages se retrouve donc ici, avec un vocabulaire de fonction et une représentation graphique. Une fonction affine, elle, ajoute un terme constant : elle décrit ce qui commence à une valeur non nulle — un abonnement, un frais fixe, une température de départ.

Ai-je vérifié si $b = 0$ ? C'est ce qui distingue une fonction linéaire d'une fonction affine.
Pour un coefficient directeur : la différence des ordonnées au numérateur.
Ai-je contrôlé mon expression sur un point qui n'a pas servi à la trouver ?
Image ou antécédent : l'énoncé donne-t-il $x$ ou $f (x)$ ?
Une lecture graphique donne une valeur approchée ; seule l'algèbre donne l'exacte.

Corrigé · à détacher

Fonctions linéaires et affines

1. Une fonction linéaire s'écrit $f (x) = a x$ : elle traduit une proportionnalité. Une fonction affine s'écrit $f (x) = a x + b$ : elle ajoute une constante de départ. Toute fonction linéaire est affine, avec $b = 0$ ; l'inverse est faux.
2. La linéaire passe par l'origine, l'affine part de $b$ .
3. Image — on connaît $x$ , on cherche $f (x)$ : on remplace, on calcule. Avec $f (x) = 2 x + 5$ :
4. Antécédent — on connaît $f (x)$ , on cherche $x$ : on résout une équation. Pour $f (x) = 17$ , on écrit $2 x + 5 = 17$ .
5. On isole l'inconnue : $2 x = 12$ , donc $x = 6$ .
6. On vérifie en calculant l'image de 6.
7. Pour $f (x) = a x + b$ : $a$ est le coefficient directeur — la hauteur gagnée quand on avance de 1 — et $b$ l'ordonnée à l'origine, la valeur en $x = 0$ . Si $a > 0$ la fonction croît, si $a < 0$ elle décroît, si $a = 0$ elle est constante.
8. $b$ se lit sur l'axe, $a$ est la hauteur gagnée quand on avance de 1.
9. L'ordonnée à l'origine se lit directement : $b = 5$ , puisque le premier point a pour abscisse 0.
10. Le coefficient directeur est le rapport de la hauteur gagnée sur la distance parcourue.
11. On vérifie sur le second point.
12. f(x) = 2x + 5
13. Le coefficient directeur se calcule comme un rapport d'accroissements : la différence des ordonnées divisée par la différence des abscisses, dans le même ordre.
14. L'ordonnée à l'origine s'obtient en remplaçant $x$ et $y$ par les coordonnées de l'un des deux points, puis en isolant $b$ .
15. Vérifier sur l'autre point — celui qui n'a pas servi. S'il ne tombe pas juste, l'erreur est dans le calcul, pas dans l'énoncé.
16. Le coefficient directeur.
17. On remplace dans $y = 3 x + b$ avec le point $A$ : $7 = 3 \times 2 + b$ .
18. Vérification sur $B$ , resté inutilisé.
19. $f (x) = 3 x + 1$
20. Une évolution en pourcentage est une fonction linéaire. Augmenter de $t$ % revient à multiplier par $1 + \frac{t}{100}$ ; diminuer de $t$ % revient à multiplier par $1 - \frac{t}{100}$ .
21. Une hausse de 15 %
22. Une baisse de 20 %
23. Une hausse de 15 % suivie d'une baisse de 20 % ne ramène pas au départ.
24. les pourcentages se multiplient, ils ne s'additionnent pas
25. On cherche le nombre de séances où les deux formules coûtent la même chose : $0, 8 n + 12 = 2 n$ , soit $12 = 1, 2 n$ et $n = 10$ .
26. Formule A pour 10 séances
27. Formule B pour 10 séances
28. avant 10 séances B est moins chère, après c'est A
29. Le point d'intersection est le seuil : avant lui une formule gagne, après c'est l'autre.