Fonctions linéaires et affines

fonction linéaire et fonction affine — Une fonction linéaire s'écrit $f(x)=ax$ : elle traduit une proportionnalité. Une fonction affine s'écrit $f(x)=ax+b$ : elle ajoute une constante de départ. Toute fonction linéaire est affine, avec $b=0$ ; l'inverse est faux.

Reconnaître en dix secondes

1. Le signal. Deux grandeurs qui varient ensemble — un tableau, une droite, ou une phrase « en fonction de ». Les mots « tarif », « abonnement », « par mois », « prix au kilo », « au bout de $x$ jours » annoncent presque toujours une fonction affine.
2. La première question à se poser : y a-t-il une part fixe, quelque chose à payer même pour zéro unité ? Si oui, la fonction est affine et cette part fixe est $b$. Sinon elle est linéaire, et c'est une proportionnalité.
3. Le contre-signal. La représentation n'est pas une droite → ni linéaire ni affine, c'est une autre fonction. Dans un tableau, les quotients $y/x$ ne sont pas constants → ce n'est pas linéaire ; regardez alors si l'écart des $y$ est constant quand l'écart des $x$ l'est, c'est la signature de l'affine.
4. Le réflexe qui économise l'exercice. Écrire $f(x)=ax+b$ avant de chercher quoi que ce soit, puis remplir les deux cases séparément : $a$ est un taux, ce qu'on gagne par unité ; $b$ est une valeur de départ, celle en $x=0$. Deux inconnues, deux questions, jamais mélangées.

Dans les deux sens

1. Image — on connaît $x$, on cherche $f(x)$ : on remplace, on calcule. Avec $f(x)=2x+5$ :$f(3)=2\times 3+5=6+5=11$
2. Antécédent — on connaît $f(x)$, on cherche $x$ : on résout une équation. Pour $f(x)=17$, on écrit $2x+5=17$.
3. On isole l'inconnue : $2x=12$, donc $x=6$.
4. On vérifie en calculant l'image de 6.$2\times 6+5=12+5=17$l'antécédent de 17 est bien 6

Pour $f(x)=ax+b$ : $a$ est le coefficient directeur — la hauteur gagnée quand on avance de 1 — et $b$ l'ordonnée à l'origine, la valeur en $x=0$. Si $a>0$ la fonction croît, si $a<0$ elle décroît, si $a=0$ elle est constante.

Une droite passe par les points $(0;5)$ et $(3;11)$. On retrouve son expression sans dessin.

1. L'ordonnée à l'origine se lit directement : $b=5$, puisque le premier point a pour abscisse 0.
2. Le coefficient directeur est le rapport de la hauteur gagnée sur la distance parcourue.$a=\frac{11-5}{3-0}=\frac{6}{3}=2$
3. On vérifie sur le second point.$2\times 3+5=11$

f(x) = 2x + 5

Retrouver une fonction affine à partir de deux points

1. Le coefficient directeur se calcule comme un rapport d'accroissements : la différence des ordonnées divisée par la différence des abscisses, dans le même ordre.$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
2. L'ordonnée à l'origine s'obtient en remplaçant $x$ et $y$ par les coordonnées de l'un des deux points, puis en isolant $b$.
3. Vérifier sur l'autre point — celui qui n'a pas servi. S'il ne tombe pas juste, l'erreur est dans le calcul, pas dans l'énoncé.c'est le seul contrôle gratuit du chapitre ; il attrape presque toutes les erreurs de signe.

Une droite passe par $A(2;7)$ et $B(5;16)$. Quelle est l'expression de la fonction affine correspondante ?

1. Le coefficient directeur.$a=\frac{16-7}{5-2}=\frac{9}{3}=3$
2. On remplace dans $y=3x+b$ avec le point $A$ : $7=3\times 2+b$.$b=7-6=1$
3. Vérification sur $B$, resté inutilisé.$3\times 5+1=16$l'ordonnée trouvée est bien celle de $B$.

$f(x)=3x+1$

Une évolution en pourcentage est une fonction linéaire. Augmenter de $t$ % revient à multiplier par $1+\frac{t}{100}$ ; diminuer de $t$ % revient à multiplier par $1-\frac{t}{100}$.

Deux coefficients à savoir retrouver instantanément.

1. Une hausse de 15 %$1+0,15=1,15$
2. Une baisse de 20 %$1-0,2=0,8$
3. Une hausse de 15 % suivie d'une baisse de 20 % ne ramène pas au départ.$1,15\times 0,8=0,92$il reste une baisse de 8 %

les pourcentages se multiplient, ils ne s'additionnent pas

Deux formules pour la même salle : A coûte 12 € par mois plus 0,80 € la séance, B coûte 2 € la séance sans abonnement. La comparaison se lit d'un coup sur le graphique.

1. On cherche le nombre de séances où les deux formules coûtent la même chose : $0,8n+12=2n$, soit $12=1,2n$ et $n=10$.
2. Formule A pour 10 séances$0,8\times 10+12=8+12=20$
3. Formule B pour 10 séances$2\times 10=20$

avant 10 séances B est moins chère, après c'est A