Fiche à trous · 3ème · Mathématiques

Statistiques descriptives et probabilités

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Une moyenne peut mentir : dix salaires modestes et un très élevé donnent une moyenne que personne ne touche. Les statistiques de 3^e ajoutent les outils qui résistent à ce défaut — médiane, quartiles, dispersion — et les probabilités permettent de raisonner sur ce qui n'est pas encore arrivé.

Reconnaître en dix secondes

Résumer une série : deux points de vue

Définition — moyenne et médiane :

Exemple

Série ordonnée de neuf valeurs : 4, 6, 7, 9, 10, 12, 15, 18, 20.

Résultat :

Avec un effectif pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs centrales. Et dans tous les cas, la série doit être ordonnée avant tout calcul — c'est l'oubli le plus fréquent.

10.

Mesurer la dispersion

Définition — quartiles :

Exemple

Sur la même série de neuf valeurs, les rangs cherchés sont le 3^e et le 7^e.

Résultat :

16.

Ce diagramme porte deux noms : boîte à moustaches en français, box-plot dans les manuels et les tableurs. Sa force est de comparer d'un coup d'œil deux séries d'effectifs différents : deux boîtes superposées disent, sans un seul calcul, laquelle est la plus resserrée et laquelle est la plus haute.

L'étendue, elle, est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : ici $20 - 4 = 16$ . Elle est facile à calculer mais fragile — une seule valeur aberrante la double.

Comparer deux séries

Piège

Comparer les effectifs de deux séries pour dire laquelle est la plus favorable.

passer aux fréquences relatives dès que les deux totaux diffèrent : 0,75 contre 0,50, et la comparaison redevient possible.

Probabilités : ce qui n'est pas encore arrivé

Définition — probabilité :

Exemple

Une urne contient 5 boules rouges et 3 bleues, indiscernables au toucher.

Résultat :

Piège

Annoncer une probabilité de 1,5, ou de −0,2.

vérifier l'encadrement avant d'écrire la réponse, et se souvenir que la somme de toutes les probabilités d'une expérience vaut 1.

Fréquence et probabilité

Définition — fréquence relative :

Règle

Sur 400 lancers d'une pièce donnant 210 « pile », la fréquence vaut $\frac{210}{400} = 0, 525$ : proche de 0,5 sans l'atteindre. Un écart de cet ordre est normal ; c'est un écart persistant sur des milliers de lancers qui ferait douter de l'équilibre de la pièce.

Deux façons d'obtenir une probabilité, et il faut savoir laquelle on emploie. L'approche classique la calcule avant toute expérience, en dénombrant des cas équiprobables : un dé équilibré donne $\frac{1}{6}$ , sans qu'on l'ait lancé. L'approche fréquentiste l'estime après, à partir des fréquences relatives observées sur un grand nombre de répétitions — c'est la seule possible quand l'équiprobabilité n'est pas garantie : une punaise qui retombe, un dé pipé, un événement météorologique.

Exemple

Une punaise lancée en l'air retombe soit pointe en haut, soit sur le côté. Rien ne permet de dire que les deux cas sont équiprobables. Sur 500 lancers, elle retombe 310 fois pointe en haut. Que peut-on annoncer ?

Résultat :

Les pièges qui coûtent des points

Piège

Prendre pour médiane la valeur du milieu de la liste telle qu'elle est donnée.

ranger d'abord, compter ensuite. Avec un effectif impair de $n$ valeurs, la médiane est le terme de rang $\frac{n + 1}{2}$ .

Piège

Annoncer que « pile » est plus probable au prochain lancer parce que « face » vient de sortir cinq fois.

pour une expérience répétée à l'identique, la probabilité du prochain tirage est celle du premier — ici $\frac{1}{2}$ , quoi qu'il se soit passé avant.

Piège

Compter les catégories au lieu des objets.

dénombrer ce qu'on tire, jamais ce qu'on lit. Si deux issues n'ont pas la même chance de sortir, la formule ne s'applique pas telle quelle.

Piège

Déduire d'une boîte plus large qu'elle contient davantage de valeurs.

entre $Q_{1}$ et $Q_{3}$ il y a la moitié de l'effectif, toujours, quelle que soit la largeur de la boîte.

Ai-je ordonné la série avant de chercher médiane et quartiles ?
Ma médiane partage-t-elle bien l'effectif en deux moitiés — et non l'intervalle des valeurs ?
Dans une boîte à moustaches, chaque zone porte un quart de l'effectif : sa largeur dit l'étalement, pas le nombre.
Chaque probabilité annoncée est-elle comprise entre 0 et 1 ?
Ai-je dénombré des objets équiprobables, et non des catégories ?
Le hasard n'a pas de mémoire : le tirage précédent ne change rien au suivant.
Ai-je dit sur quoi je m'appuie : un dénombrement de cas équiprobables, ou des fréquences observées ?
Une fréquence proche d'une probabilité sans l'atteindre n'est pas une erreur : c'est le comportement attendu.

Corrigé · à détacher

Statistiques descriptives et probabilités

1. Le signal. Une liste de nombres, un tableau d'effectifs, un diagramme déjà rempli → statistiques : on décrit ce qui est arrivé. Un dé, une urne, une roue, les mots « au hasard » → probabilités : on pèse ce qui n'est pas encore arrivé.
2. La première question à se poser. Côté statistiques : l'énoncé demande-t-il une position (moyenne, médiane, quartile) ou une dispersion (étendue, écart interquartile) ? Côté probabilités : les issues sont-elles équiprobables ? C'est la seule condition qui autorise le quotient des cas favorables par les cas possibles.
3. Le contre-signal. Le mot « fréquence » appartient aux deux mondes. Constatée après l'expérience, c'est une statistique ; avancée pour prévoir, c'est une probabilité estimée. Un énoncé qui donne des résultats observés et demande une prévision réclame les deux, dans cet ordre.
4. Le réflexe qui économise l'exercice. Ranger la série avant d'écrire la première ligne ; et, en probabilités, écrire le nombre total d'issues avant le premier quotient. Presque toutes les erreurs de ce chapitre sont commises avant le premier calcul.
5. La moyenne est le total partagé équitablement : elle tient compte de toutes les valeurs, donc des extrêmes. La médiane est la valeur qui coupe la série ordonnée en deux moitiés de même effectif : elle ignore les extrêmes. Les deux résument, mais pas la même chose.
6. La médiane est la 5^e valeur, puisque quatre valeurs la précèdent et quatre la suivent : c'est 10.
7. La moyenne demande le total, puis le partage.
8. Elles diffèrent parce que les grandes valeurs tirent la moyenne vers le haut.
9. médiane 10 · moyenne ≈ 11,2
10. La valeur extrême tire la moyenne hors du groupe ; la médiane, elle, reste sur le 6^e salaire.
11. Le premier quartile $Q_{1}$ est la plus petite valeur telle qu'au moins un quart de la série lui soit inférieur ou égal ; le troisième quartile $Q_{3}$ , telle qu'au moins trois quarts le soient. L'écart interquartile $Q_{3} - Q_{1}$ mesure l'étalement de la moitié centrale, sans se laisser déformer par les extrêmes.
12. Un quart de 9 vaut 2,25 : on prend le rang 3, donc $Q_{1} = 7$ .
13. Trois quarts de 9 valent 6,75 : on prend le rang 7, donc $Q_{3} = 15$ .
14. L'écart interquartile
15. la moitié centrale de la série s'étale sur 8 unités
16. La boîte contient la moitié centrale ; les moustaches vont aux extrêmes.
17. Comparer les positions d'abord : deux médianes, ou deux moyennes — mais jamais une médiane avec une moyenne. Deux résumés de nature différente ne se comparent pas.
18. Comparer les dispersions ensuite : étendue, et surtout écart interquartile $Q_{3} - Q_{1}$ , qui ignore les valeurs extrêmes.
19. Conclure en une phrase qui dit les deux : « la série B est en moyenne plus haute, mais beaucoup plus dispersée ». Une seule des deux informations ne répond pas à la question.
20. La probabilité d'un événement est un nombre compris entre 0 et 1 : 0 pour l'impossible, 1 pour le certain. Dans une situation d'équiprobabilité, elle vaut le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles.
21. Cas favorables sur cas possibles
22. L'événement contraire se déduit sans recompter.
23. la somme des probabilités d'un événement et de son contraire vaut toujours 1
24. La fréquence relative d'une valeur est son effectif divisé par l'effectif total : un nombre entre 0 et 1, qu'on exprime souvent en pourcentage. Elle se lit après coup, sur des résultats observés — c'est ce qui la distingue d'une probabilité, qui se prononce avant.
25. $f = \frac{effectif}{effectif total}$
26. Loi des grands nombres — quand on répète une expérience un grand nombre de fois, la fréquence observée d'un événement se rapproche de sa probabilité. C'est ce qui relie l'expérience au calcul.
27. Le dénombrement est impossible : les deux issues existent, mais rien ne dit qu'elles ont la même chance. L'approche classique ne s'applique pas.
28. On calcule la fréquence relative observée.
29. La loi des grands nombres autorise à s'en servir comme estimation de la probabilité — et 500 lancers suffisent pour un ordre de grandeur, pas pour la troisième décimale.
30. on estime la probabilité à environ 0,62 — une estimation fréquentiste, à distinguer d'un calcul exact