Statistiques descriptives et probabilités

Reconnaître en dix secondes

1. Le signal. Une liste de nombres, un tableau d'effectifs, un diagramme déjà rempli → statistiques : on décrit ce qui est arrivé. Un dé, une urne, une roue, les mots « au hasard » → probabilités : on pèse ce qui n'est pas encore arrivé.
2. La première question à se poser. Côté statistiques : l'énoncé demande-t-il une position (moyenne, médiane, quartile) ou une dispersion (étendue, écart interquartile) ? Côté probabilités : les issues sont-elles équiprobables ? C'est la seule condition qui autorise le quotient des cas favorables par les cas possibles.
3. Le contre-signal. Le mot « fréquence » appartient aux deux mondes. Constatée après l'expérience, c'est une statistique ; avancée pour prévoir, c'est une probabilité estimée. Un énoncé qui donne des résultats observés et demande une prévision réclame les deux, dans cet ordre.
4. Le réflexe qui économise l'exercice. Ranger la série avant d'écrire la première ligne ; et, en probabilités, écrire le nombre total d'issues avant le premier quotient. Presque toutes les erreurs de ce chapitre sont commises avant le premier calcul.

moyenne et médiane — La moyenne est le total partagé équitablement : elle tient compte de toutes les valeurs, donc des extrêmes. La médiane est la valeur qui coupe la série ordonnée en deux moitiés de même effectif : elle ignore les extrêmes. Les deux résument, mais pas la même chose.

Série ordonnée de neuf valeurs : 4, 6, 7, 9, 10, 12, 15, 18, 20.

1. La médiane est la 5^e valeur, puisque quatre valeurs la précèdent et quatre la suivent : c'est 10.
2. La moyenne demande le total, puis le partage.$\frac{101}{9}\approx 11,2$
3. Elles diffèrent parce que les grandes valeurs tirent la moyenne vers le haut.

médiane 10 · moyenne ≈ 11,2

quartiles — Le premier quartile $Q_1$ est la plus petite valeur telle qu'au moins un quart de la série lui soit inférieur ou égal ; le troisième quartile $Q_3$, telle qu'au moins trois quarts le soient. L'écart interquartile $Q_3-Q_1$ mesure l'étalement de la moitié centrale, sans se laisser déformer par les extrêmes.

Sur la même série de neuf valeurs, les rangs cherchés sont le 3^e et le 7^e.

1. Un quart de 9 vaut 2,25 : on prend le rang 3, donc $Q_1=7$.
2. Trois quarts de 9 valent 6,75 : on prend le rang 7, donc $Q_3=15$.
3. L'écart interquartile$15-7=8$

la moitié centrale de la série s'étale sur 8 unités

Comparer deux séries

1. Comparer les positions d'abord : deux médianes, ou deux moyennes — mais jamais une médiane avec une moyenne. Deux résumés de nature différente ne se comparent pas.
2. Comparer les dispersions ensuite : étendue, et surtout écart interquartile $Q_3-Q_1$, qui ignore les valeurs extrêmes.une série régulière et une série très irrégulière peuvent avoir exactement la même moyenne.
3. Conclure en une phrase qui dit les deux : « la série B est en moyenne plus haute, mais beaucoup plus dispersée ». Une seule des deux informations ne répond pas à la question.

probabilité — La probabilité d'un événement est un nombre compris entre 0 et 1 : 0 pour l'impossible, 1 pour le certain. Dans une situation d'équiprobabilité, elle vaut le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles.

Une urne contient 5 boules rouges et 3 bleues, indiscernables au toucher.

1. Cas favorables sur cas possibles$P(\text{rouge})=\frac{5}{8}=0,625$
2. L'événement contraire se déduit sans recompter.$P(\text{bleue})=1-0,625=0,375$

la somme des probabilités d'un événement et de son contraire vaut toujours 1

fréquence relative — La fréquence relative d'une valeur est son effectif divisé par l'effectif total : un nombre entre 0 et 1, qu'on exprime souvent en pourcentage. Elle se lit après coup, sur des résultats observés — c'est ce qui la distingue d'une probabilité, qui se prononce avant.

Loi des grands nombres — quand on répète une expérience un grand nombre de fois, la fréquence observée d'un événement se rapproche de sa probabilité. C'est ce qui relie l'expérience au calcul.

Une punaise lancée en l'air retombe soit pointe en haut, soit sur le côté. Rien ne permet de dire que les deux cas sont équiprobables. Sur 500 lancers, elle retombe 310 fois pointe en haut. Que peut-on annoncer ?

1. Le dénombrement est impossible : les deux issues existent, mais rien ne dit qu'elles ont la même chance. L'approche classique ne s'applique pas.
2. On calcule la fréquence relative observée.$f=\frac{310}{500}=0,62$
3. La loi des grands nombres autorise à s'en servir comme estimation de la probabilité — et 500 lancers suffisent pour un ordre de grandeur, pas pour la troisième décimale.annoncer 0,62 est honnête ; annoncer 0,620 ne l'est pas.

on estime la probabilité à environ 0,62 — une estimation fréquentiste, à distinguer d'un calcul exact