Fiche à trous · 3ème · Mathématiques

Systèmes d'équations linéaires à deux inconnues

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Une équation à deux inconnues a une infinité de solutions : $x + y = 9$ est vérifiée par une foule de couples. Il faut une seconde information pour n'en garder qu'un. C'est exactement ce que fait un système — et c'est ce qui permet de retrouver deux prix à partir de deux tickets de caisse.

Reconnaître en dix secondes

Ce qu'est une solution

Définition — solution d'un système :

Exemple

Le couple $(4; 5)$ est-il solution du système formé de $2 x + 3 y = 23$ et $x + y = 9$ ?

Résultat :

Vérifier un couple donné est toujours plus rapide que résoudre. Quand l'énoncé propose une réponse, on la teste — c'est un point gagné en trois lignes.

Méthode 1 — la substitution

Quand une inconnue est déjà isolée, ou presque

Piège

Répondre « $y = 5$ » et s'arrêter là.

écrire la réponse sous la forme $(x; y) = (\dots; \dots)$ , puis vérifier ce couple dans les deux équations de départ.

Méthode 2 — la combinaison

Quand les coefficients s'y prêtent

Si aucun coefficient ne s'oppose, on multiplie l'une des équations — ou les deux — pour les rendre opposés. C'est toujours possible, et c'est ce qui rend la combinaison plus systématique que la substitution.

Ce que le graphique montre

Règle

19.

20.

La lecture graphique donne une solution approchée et un contrôle immédiat. Elle ne remplace pas le calcul, qui seul donne la valeur exacte. Reste le geste qui précède tout : la mise en équation. Nommer les deux inconnues, puis traduire chaque phrase de l'énoncé en une égalité — deux phrases, deux équations. C'est là que se perdent les points, jamais dans le calcul qui suit.

Les pièges qui coûtent des points

Piège

Écrire $4 x - (12 - x) = 4 x - 12 - x$ .

mettre la valeur substituée entre parenthèses avant de développer, systématiquement, même quand elle tient en deux caractères.

Piège

Additionner deux équations dont les coefficients de $x$ sont égaux.

regarder les deux signes avant de choisir. $+ 2 x$ et $+ 2 x$ : on soustrait. $+ 2 x$ et $- 2 x$ : on additionne.

Piège

Multiplier une équation en oubliant son second membre.

réécrire la ligne multipliée en entier, second membre compris, sur une ligne à elle, avant de combiner quoi que ce soit.

Piège

Poser $3 x + 2 y = 7, 60$ sans dire ce que sont $x$ et $y$ .

une phrase, toujours la même forme : « Soit $c$ le prix d'un croissant et $p$ celui d'un pain au chocolat. » Dix secondes d'écriture.

Piège

Vérifier le couple trouvé dans l'équation qui a servi à le calculer.

vérifier dans l'équation restée de côté. Un couple qui passe les deux est juste, et il n'y a plus rien à discuter.

Ai-je nommé les inconnues par une phrase avant d'écrire la première équation ?
Deux inconnues réclament deux équations : en ai-je deux, et vraiment différentes ?
Substitution : la valeur remplacée est-elle entre parenthèses avant que je développe ?
Combinaison : coefficients égaux → je soustrais ; opposés → j'additionne.
Quand je multiplie une équation, ai-je multiplié ses deux membres ?
Ai-je calculé la seconde inconnue, et pas seulement la première ?
Ma réponse est-elle écrite comme un couple $(x; y)$ ?
Ai-je vérifié ce couple dans l'équation qui n'a pas servi à le trouver ?

Corrigé · à détacher

Systèmes d'équations linéaires à deux inconnues

1. Le signal. Deux inconnues et deux informations. Un problème qui donne deux totaux — deux paniers, deux familles, deux journées de vente — est un système, même quand le mot n'apparaît nulle part dans l'énoncé.
2. La première question à se poser : une inconnue est-elle déjà isolée, ou le devient-elle en une ligne ? Si oui, substitution. Sinon, combinaison : on ramène les coefficients d'une même inconnue à des nombres égaux ou opposés, ce qui est toujours possible.
3. Le contre-signal. Une seule information pour deux inconnues → il y a une infinité de couples, et l'énoncé attend autre chose qu'une solution. Deux équations proportionnelles l'une à l'autre → les deux droites sont confondues, et là encore la solution n'est pas unique.
4. Le réflexe qui économise l'exercice. Nommer les inconnues par écrit avant la première équation, et conserver les deux équations de départ jusqu'au bout : c'est dans celle qui n'a pas servi à conclure qu'on vérifie le couple trouvé.
5. Une solution est un couple $(x; y)$ qui vérifie les deux équations en même temps. Vérifier une seule des deux ne prouve rien : c'est la simultanéité qui fait la solution.
6. Première équation
7. Seconde équation
8. les deux sont vérifiées : (4 ; 5) est bien solution
9. Je repère l'équation où une inconnue s'isole sans fraction. Dans $x + y = 9$ , j'écris $x = 9 - y$ .
10. Je remplace $x$ par $9 - y$ dans l'autre équation : $2 (9 - y) + 3 y = 23$ .
11. Je développe et je réduis : $18 - 2 y + 3 y = 23$ , donc $18 + y = 23$ , donc $y = 5$ .
12. Je reviens à l'expression isolée pour trouver l'autre inconnue.
13. Je regarde les coefficients d'une même inconnue. Dans $3 x + 2 y = 18$ et $5 x - 2 y = 14$ , ceux de $y$ sont opposés.
14. J'additionne les deux équations membre à membre : les termes en $y$ disparaissent et il reste $8 x = 32$ .
15. Je résous.
16. Je remplace dans l'une des équations de départ : $12 + 2 y = 18$ , donc $y = 3$ .
17. Je vérifie dans l'autre.
18. Chaque équation représente une droite. Le couple solution est le point d'intersection. Deux droites sécantes se coupent en un point : une seule solution. Deux droites parallèles ne se coupent pas : aucune solution. Deux droites confondues : une infinité.
19. Deux tickets de caisse suffisent à retrouver deux prix.
20. Trois positions relatives, trois réponses : un couple, aucune solution, une infinité.