Fiche à trous · 3ème · Mathématiques

Systèmes d'équations linéaires à deux inconnues

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Une équation à deux inconnues a une infinité de solutions : $x + y = 9$ est vérifiée par une foule de couples. Il faut une seconde information pour n'en garder qu'un. C'est exactement ce que fait un système — et c'est ce qui permet de retrouver deux prix à partir de deux tickets de caisse.

Ce qu'est une solution

Définition — solution d'un système :

Exemple

Le couple $(4; 5)$ est-il solution du système formé de $2 x + 3 y = 23$ et $x + y = 9$ ?

Résultat :

Vérifier un couple donné est toujours plus rapide que résoudre. Quand l'énoncé propose une réponse, on la teste — c'est un point gagné en trois lignes.

Méthode 1 — la substitution

Quand une inconnue est déjà isolée, ou presque

Piège

Répondre « $y = 5$ » et s'arrêter là.

écrire la réponse sous la forme $(x; y) = (\dots; \dots)$ , puis vérifier ce couple dans les deux équations de départ.

Méthode 2 — la combinaison

Quand les coefficients s'y prêtent

Si aucun coefficient ne s'oppose, on multiplie l'une des équations — ou les deux — pour les rendre opposés. C'est toujours possible, et c'est ce qui rend la combinaison plus systématique que la substitution.

Ce que le graphique montre

Règle

15.

16.

La lecture graphique donne une solution approchée et un contrôle immédiat. Elle ne remplace pas le calcul, qui seul donne la valeur exacte. Reste le geste qui précède tout : la mise en équation. Nommer les deux inconnues, puis traduire chaque phrase de l'énoncé en une égalité — deux phrases, deux équations. C'est là que se perdent les points, jamais dans le calcul qui suit.

Corrigé · à détacher

Systèmes d'équations linéaires à deux inconnues

1. Une solution est un couple $(x; y)$ qui vérifie les deux équations en même temps. Vérifier une seule des deux ne prouve rien : c'est la simultanéité qui fait la solution.
2. Première équation
3. Seconde équation
4. les deux sont vérifiées : (4 ; 5) est bien solution
5. Je repère l'équation où une inconnue s'isole sans fraction. Dans $x + y = 9$ , j'écris $x = 9 - y$ .
6. Je remplace $x$ par $9 - y$ dans l'autre équation : $2 (9 - y) + 3 y = 23$ .
7. Je développe et je réduis : $18 - 2 y + 3 y = 23$ , donc $18 + y = 23$ , donc $y = 5$ .
8. Je reviens à l'expression isolée pour trouver l'autre inconnue.
9. Je regarde les coefficients d'une même inconnue. Dans $3 x + 2 y = 18$ et $5 x - 2 y = 14$ , ceux de $y$ sont opposés.
10. J'additionne les deux équations membre à membre : les termes en $y$ disparaissent et il reste $8 x = 32$ .
11. Je résous.
12. Je remplace dans l'une des équations de départ : $12 + 2 y = 18$ , donc $y = 3$ .
13. Je vérifie dans l'autre.
14. Chaque équation représente une droite. Le couple solution est le point d'intersection. Deux droites sécantes se coupent en un point : une seule solution. Deux droites parallèles ne se coupent pas : aucune solution. Deux droites confondues : une infinité.
15. Deux tickets de caisse suffisent à retrouver deux prix.
16. Un seul point appartient aux deux droites : c'est le couple solution.