Fiche à trous · 3ème · Mathématiques

Théorème de Pythagore et sa réciproque

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Le théorème a été vu en 4^e dans le plan. En 3^e il change de terrain : il sert dans l'espace, il se combine à la trigonométrie, et sa réciproque devient un outil de démonstration à part entière. C'est l'un des chapitres les plus régulièrement mobilisés au brevet, rarement pour lui-même — presque toujours comme première étape d'un problème plus long.

Ce qu'il faut avoir en tête sans hésiter

Propriété

Règle

Chercher l'hypoténuse → additionner. Chercher un côté de l'angle droit → soustraire. Les triplets (3 ; 4 ; 5), (5 ; 12 ; 13), (8 ; 15 ; 17) et leurs multiples évitent souvent tout calcul.

Quelques égalités reviennent si souvent qu'il vaut mieux les reconnaître que les recalculer : (3 ; 4 ; 5), (5 ; 12 ; 13), (8 ; 15 ; 17), (7 ; 24 ; 25). On les appelle des triplets pythagoriciens. Tout multiple de l'un d'eux en est un aussi — (6 ; 8 ; 10), (9 ; 12 ; 15) — puisque multiplier les trois côtés par $k$ multiplie les trois carrés par $k^{2}$ .

Dans l'espace : deux triangles au lieu d'un

La grande diagonale d'un pavé droit

Piège

Additionner directement les trois dimensions au carré sans passer par la diagonale de la base.

nommer les deux triangles rectangles et dire où se trouve chaque angle droit avant d'écrire la moindre égalité.

Dans une pyramide

Exemple

Pyramide à base carrée de côté 12, de hauteur 8, dont le sommet est à la verticale du centre de la base.

Résultat :

Apothème et arête ne se confondent pas : le premier va au milieu d'un côté de la base, le second à un sommet. Ils ne mobilisent pas le même triangle, et c'est la source d'erreur la plus fréquente du chapitre.

14.

Avec la trigonométrie

Dès qu'un angle figure dans les données ou dans la question, Pythagore ne suffit plus : c'est le cosinus, le sinus ou la tangente qu'il faut. À l'inverse, un problème où n'apparaissent que des longueurs relève de Pythagore. Beaucoup d'exercices de brevet enchaînent les deux — Pythagore pour une longueur manquante, puis la trigonométrie pour l'angle.

Exemple

Un exercice de brevet enchaîne presque toujours les deux outils. Dans un triangle rectangle en $A$ avec $A B = 12$ et $A C = 5$ , on demande $B C$ puis l'angle en $B$ .

Résultat :

Ai-je nommé le triangle rectangle et dit où se trouve l'angle droit ?
L'hypoténuse est-elle bien seule de son côté du signe égal ?
Dans l'espace, ai-je traité deux triangles successifs, et dit lesquels ?
Ai-je gardé les valeurs exactes jusqu'à la dernière ligne ?
Ma réponse a-t-elle une unité, et est-elle vraisemblable ?

Corrigé · à détacher

Théorème de Pythagore et sa réciproque

1. Si le triangle $A B C$ est rectangle en $A$ , alors :
2. $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$
3. Réciproque — si $[B C]$ est le plus grand côté et si $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ , alors le triangle est rectangle en $A$ . C'est le seul moyen de démontrer qu'un angle est droit : un dessin ne prouve rien.
4. La difficulté n'est pas le calcul mais le repérage : la grande diagonale n'appartient à aucune face. On l'atteint en deux temps, avec deux triangles rectangles successifs.
5. Premier triangle, dans la base : la diagonale de la face du bas, pour un pavé de 8 sur 6.
6. Second triangle, vertical : cette diagonale devient un côté de l'angle droit, la hauteur 10 est l'autre.
7. On conclut.
8. En pointillé la diagonale de la base, en violet la grande diagonale.
9. L'apothème — la hauteur d'une face — s'obtient avec la hauteur et la moitié du côté.
10. L'arête latérale demande d'abord la demi-diagonale de la base.
11. Puis un second triangle rectangle, avec la hauteur.
12. On conclut.
13. apothème 10 · arête latérale ≈ 11,7
14. L'apothème vise le milieu d'un côté, l'arête un sommet.
15. Que des longueurs : c'est Pythagore.
16. On prend la racine.
17. Un angle est maintenant demandé : on change d'outil. Vu de $B$ , l'opposé vaut 5 et l'adjacent 12, sans l'hypoténuse — donc la tangente.
18. La touche inverse de la calculatrice donne l'angle : environ 22,6°, soit 23° au degré près.
19. BC = 13 et l'angle en B mesure environ 23°