Fiche à trous · 3ème · Mathématiques

Théorème de Pythagore et sa réciproque

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Le théorème a été vu en 4^e dans le plan. En 3^e il change de terrain : il sert dans l'espace, il se combine à la trigonométrie, et sa réciproque devient un outil de démonstration à part entière. C'est l'un des chapitres les plus régulièrement mobilisés au brevet, rarement pour lui-même — presque toujours comme première étape d'un problème plus long.

Ce qu'il faut avoir en tête sans hésiter

Propriété

Règle

Chercher l'hypoténuse → additionner. Chercher un côté de l'angle droit → soustraire. Les triplets (3 ; 4 ; 5), (5 ; 12 ; 13), (8 ; 15 ; 17) et leurs multiples évitent souvent tout calcul.

Quelques égalités reviennent si souvent qu'il vaut mieux les reconnaître que les recalculer : (3 ; 4 ; 5), (5 ; 12 ; 13), (8 ; 15 ; 17), (7 ; 24 ; 25). On les appelle des triplets pythagoriciens. Tout multiple de l'un d'eux en est un aussi — (6 ; 8 ; 10), (9 ; 12 ; 15) — puisque multiplier les trois côtés par $k$ multiplie les trois carrés par $k^{2}$ .

Reconnaître en dix secondes

Dans l'espace : deux triangles au lieu d'un

La grande diagonale d'un pavé droit

12.

Piège

Additionner directement les trois dimensions au carré sans passer par la diagonale de la base.

Nommer les deux triangles rectangles et dire où se trouve chaque angle droit avant d'écrire la moindre égalité.

Dans une pyramide

Exemple

Pyramide à base carrée de côté 12, de hauteur 8, dont le sommet est à la verticale du centre de la base.

Résultat :

18.

Avec la trigonométrie

Dès qu'un angle figure dans les données ou dans la question, Pythagore ne suffit plus : c'est le cosinus, le sinus ou la tangente qu'il faut. À l'inverse, un problème où n'apparaissent que des longueurs relève de Pythagore. Beaucoup d'exercices de brevet enchaînent les deux — Pythagore pour une longueur manquante, puis la trigonométrie pour l'angle.

Exemple

Un exercice de brevet enchaîne presque toujours les deux outils. Dans un triangle rectangle en $A$ avec $A B = 12$ et $A C = 5$ , on demande $B C$ puis l'angle en $B$ .

Résultat :

Les pièges qui coûtent des points

Piège

Additionner alors qu'on cherche un côté de l'angle droit : écrire $A B^{2} = B C^{2} + A C^{2}$ .

L'hypoténuse est seule de son côté du signe égal. Si elle est connue, elle reste seule et on soustrait.

Piège

Appliquer la réciproque sans vérifier que le côté choisi est le plus grand.

Ranger les trois longueurs par ordre croissant avant de comparer. Le plus grand côté est le seul candidat à l'hypoténuse.

Piège

Confondre l'apothème et l'arête d'une pyramide.

L'apothème vise le milieu d'un côté, l'arête vise un sommet. Deux cibles, deux triangles, deux calculs.

Piège

Arrondir la première diagonale avant de s'en servir pour la seconde.

Garder la valeur exacte — ou la mémoire de la calculatrice — jusqu'à la dernière ligne. On n'arrondit que la réponse.

Piège

Conclure qu'un angle est droit parce qu'il en a l'air sur la figure.

Un dessin ne prouve rien. Soit l'angle droit est codé ou écrit dans l'énoncé, soit il se démontre par la réciproque.

Ai-je nommé le triangle rectangle et dit où se trouve l'angle droit ?
Est-ce l'hypoténuse que je cherche ? Si oui j'additionne, sinon je soustrais.
L'hypoténuse est-elle bien seule de son côté du signe égal ?
Pour une réciproque : ai-je pris le plus grand côté, et l'ai-je dit ?
Dans l'espace, ai-je traité deux triangles successifs, et nommé les deux ?
Apothème ou arête : ai-je visé le milieu d'un côté ou un sommet ?
Ai-je gardé les valeurs exactes jusqu'à la dernière ligne ?
Ma réponse a-t-elle une unité, et est-elle plus petite que la plus grande dimension ?

Corrigé · à détacher

Théorème de Pythagore et sa réciproque

1. Si le triangle $A B C$ est rectangle en $A$ , alors :
2. $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$
3. Réciproque — si $[B C]$ est le plus grand côté et si $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ , alors le triangle est rectangle en $A$ . C'est le seul moyen de démontrer qu'un angle est droit : un dessin ne prouve rien.
4. Le signal. Un triangle rectangle — ou une figure qui en contient un —, trois longueurs dont une manquante, et aucun angle dans l'énoncé. Les mots « hauteur », « distance », « diagonale », « échelle contre un mur » le trahissent aussi.
5. La première question à se poser : ce que je cherche est-il l'hypoténuse ? Si oui j'additionne, sinon je soustrais. C'est la seule décision du calcul, et c'est celle qu'on rate.
6. Le contre-signal. Un angle figure dans les données ou dans la question → ce n'est pas Pythagore, c'est le cosinus, le sinus ou la tangente. Une question qui demande « démontrer que l'angle est droit » → ce n'est pas le théorème, c'est sa réciproque.
7. Le réflexe qui économise l'exercice. Avant tout calcul, repérez le plus grand côté : c'est l'hypoténuse, et il est seul de son côté du signe égal. Dans l'espace, comptez les triangles — il y en a deux, jamais un.
8. La difficulté n'est pas le calcul mais le repérage : la grande diagonale n'appartient à aucune face. On l'atteint en deux temps, avec deux triangles rectangles successifs.
9. Premier triangle, dans la base : la diagonale de la face du bas, pour un pavé de 8 sur 6.
10. Second triangle, vertical : cette diagonale devient un côté de l'angle droit, la hauteur 10 est l'autre.
11. On conclut.
12. En pointillé la diagonale de la base, en violet la grande diagonale.
13. L'apothème — la hauteur d'une face — s'obtient avec la hauteur et la moitié du côté.
14. L'arête latérale demande d'abord la demi-diagonale de la base.
15. Puis un second triangle rectangle, avec la hauteur.
16. On conclut.
17. apothème 10 · arête latérale ≈ 11,7
18. L'apothème vise le milieu d'un côté, l'arête un sommet.
19. Que des longueurs : c'est Pythagore.
20. On prend la racine.
21. Un angle est maintenant demandé : on change d'outil. Vu de $B$ , l'opposé vaut 5 et l'adjacent 12, sans l'hypoténuse — donc la tangente.
22. La touche inverse de la calculatrice donne l'angle : environ 22,6°, soit 23° au degré près.
23. BC = 13 et l'angle en B mesure environ 23°