Fiche à trous · 3ème · Mathématiques

Théorème de Thalès et sa réciproque

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Pythagore mesure ce qu'on ne peut pas atteindre dans un triangle rectangle. Thalès va plus loin : il mesure sans aucun angle droit, en comparant des rapports. C'est l'outil de l'arpenteur — la hauteur d'un arbre par son ombre, la largeur d'une rivière depuis la berge — et celui de tout agrandissement à l'échelle.

Reconnaître la configuration

Définition — configuration de Thalès :

L'ordre des lettres n'est pas décoratif : il dit quel segment correspond à quel autre. Écrire les rapports en désordre est la première cause d'erreur du chapitre.

Reconnaître en dix secondes

Le théorème

Propriété

Règle

Écrivez les trois rapports en entier avant de remplacer par des nombres, même si vous n'en utiliserez que deux. Cela coûte dix secondes et cela évite de chercher $M N$ dans la mauvaise colonne. Et le troisième rapport n'est pas une conséquence des deux premiers : il fait partie du théorème, c'est celui qu'on oublie et souvent celui dont on a besoin.

Calculer une longueur manquante

Exemple

Configuration papillon : $(M B)$ et $(N C)$ se coupent en $A$ , et $(M N)$ est parallèle à $(B C)$ . On donne $A M = 4$ cm, $A N = 5$ cm, $A B = 6$ cm et $M N = 3, 5$ cm. Calculer $A C$ et $B C$ .

Résultat :

La réciproque : démontrer un parallélisme

Règle

Exemple

Avec $A M = 6$ , $A B = 8$ , $A N = 9$ et $A C = 12$ , on calcule les deux rapports séparément.

Résultat :

Exemple

Avec $A M = 4$ , $A B = 6$ , $A N = 5$ et $A C = 8$ , le même travail conclut l'inverse. Ici $\frac{4}{6}$ n'est pas décimal : on compare par le produit en croix, sans arrondir. Deux rapports sont égaux si et seulement si leurs produits en croix le sont.

Résultat :

Comme pour Pythagore, les deux rapports se calculent séparément puis se comparent. Poser l'égalité d'emblée reviendrait à supposer vrai ce qu'on veut démontrer. Et le choix de la comparaison suit le rapport : décimal, on compare les décimaux ; pas décimal, on compare les produits en croix — jamais des arrondis, pour la raison qu'en dit le dernier piège.

Agrandissement et réduction

Règle

Exemple

Une figure de 15 cm de côté et 40 cm² d'aire est réduite au coefficient 0,6.

Résultat :

Les six pièges

Piège

Écrire $A M / A B = A N / C N$ au lieu de $A N / A C$ .

écrire les trois rapports au brouillon avant de chercher l'inconnue, en partant chaque fois du sommet commun $A$ .

Piège

Écrire $\frac{A M}{A B} = \frac{A C}{A N}$ .

$A M$ et $A N$ sont les deux petits : ils doivent être tous les deux au-dessus des barres. Si l'un est passé en dessous, c'est faux.

Piège

« Les rapports sont égaux, donc les droites sont parallèles. »

votre démonstration doit contenir le mot alignés avant le mot « donc ». S'il n'y est pas, il manque une condition.

Piège

Appliquer le théorème parce que la figure ressemble à un triangle coupé.

le parallélisme doit être écrit dans l'énoncé, codé sur la figure, ou démontré avant. « Ça se voit sur le dessin » n'existe pas en géométrie.

Piège

Écrire $\frac{M N}{B C} = \frac{A M}{M B}$ .

sous $M N$ il y a $B C$ , et à côté $\frac{A M}{A B}$ . $M B$ n'apparaît nulle part dans le théorème de Thalès.

Piège

$\frac{4}{6} \approx 0, 67$ , puis $A C = 5 \div 0, 67 \approx 7, 46$ .

si le rapport n'est pas décimal, gardez la fraction. $5 \times \frac{3}{2} = 7, 5$ exactement. On n'arrondit que la réponse finale, et seulement si l'énoncé le demande.

Avant de rendre

Ai-je écrit « d'après le théorème de Thalès » — ou « d'après la réciproque » ?
Mes deux petits segments sont-ils tous les deux au-dessus des barres de fraction ?
Ai-je écrit les trois rapports avant de remplacer par des nombres ?
Pour une réciproque : le mot alignés apparaît-il avant le mot « donc » ?
Ai-je comparé les deux rapports par une phrase, et pas seulement calculé ?
Chaque longueur trouvée porte-t-elle son unité ?
Si un rapport n'était pas décimal, ai-je gardé la fraction jusqu'à la fin ?

Corrigé · à détacher

Théorème de Thalès et sa réciproque

1. Deux droites sécantes en $A$ sont coupées par deux droites parallèles. Le théorème ne dit rien sans ces deux conditions : sécantes, et parallèles. Un dessin qui « ressemble » à la configuration ne suffit pas — le parallélisme doit être donné ou démontré.
2. Les deux configurations, et il n'y en a que deux. À gauche le sommet commun $A$ est en dehors des parallèles, à droite il est entre elles. Le théorème est le même et s'écrit exactement de la même façon : $A$ avec $A$ , $M$ avec $B$ , $N$ avec $C$ . Le papillon n'est pas un cas particulier, c'est la même configuration vue autrement.
3. Le signal. Deux droites qui se croisent en un point, et deux traits parallèles qui les coupent tous les deux. Dès que le parallélisme est codé — le même chevron sur deux segments, ou « $(M N)$ parallèle à $(B C)$ » dans l'énoncé — c'est Thalès.
4. Le contre-signal. Un angle droit et pas de parallèles : c'est Pythagore. Un angle donné en degrés et une longueur demandée : c'est la trigonométrie. Thalès ne calcule jamais avec un angle.
5. Le réflexe qui économise l'exercice. Repassez au crayon les deux triangles, le petit et le grand. Ils ont le même sommet et leurs bases sont parallèles. Les trois longueurs du petit sont séparées des trois du grand, et l'ordre des rapports devient évident.
6. Si $(M N)$ est parallèle à $(B C)$ , alors les trois rapports sont égaux :
7. $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}$
8. Chaque fraction porte le petit segment en haut et le grand en bas, et les deux viennent du même côté de la figure. Les trois longueurs du petit triangle sont $A M$ , $A N$ , $M N$ ; celles du grand sont $A B$ , $A C$ , $B C$ , dans le même ordre. Chaque colonne fait une fraction, et on ne mélange jamais deux colonnes : $A M / A C$ ne veut rien dire.
9. J'écris les trois rapports dans l'ordre des sommets : $A M / A B$ , $A N / A C$ , $M N / B C$ .
10. Je ne garde que les deux rapports où figure l'inconnue et où tout le reste est connu. Avec $A M = 6$ , $A B = 8$ et $A C = 12$ :
11. Je passe au produit en croix.
12. Même travail pour le troisième segment, avec $B C = 10$ .
13. Les droites sont sécantes en $A$ et $(M N)$ est parallèle à $(B C)$ : les hypothèses sont vérifiées. Que $A$ soit entre les deux parallèles ne change rien.
14. Le rapport connu n'est pas décimal : je le garde en fraction.
15. Le petit vaut $\frac{2}{3}$ du grand, donc le grand vaut $\frac{3}{2}$ du petit.
16. Même travail pour le troisième segment.
17. AC = 7,5 cm et BC = 5,25 cm
18. Si les points $A$ , $M$ , $B$ et $A$ , $N$ , $C$ sont alignés dans le même ordre et si $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}$ , alors $(M N)$ est parallèle à $(B C)$ .
19. Premier rapport
20. Second rapport
21. les rapports sont égaux : (MN) est parallèle à (BC)
22. Numérateur du premier par dénominateur du second
23. Dénominateur du premier par numérateur du second
24. Les deux produits diffèrent, donc les rapports aussi.
25. les droites ne sont pas parallèles
26. Un agrandissement ou une réduction de coefficient $k$ multiplie toutes les longueurs par $k$ , les aires par $k^{2}$ et les volumes par $k^{3}$ .
27. La longueur
28. L'aire, multipliée par le carré du coefficient
29. 9 cm de côté et 14,4 cm² d'aire