Fiche à trous · 3ème · Mathématiques

Théorème de Thalès et sa réciproque

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Pythagore mesure ce qu'on ne peut pas atteindre dans un triangle rectangle. Thalès va plus loin : il mesure sans aucun angle droit, en comparant des rapports. C'est l'outil de l'arpenteur — la hauteur d'un arbre par son ombre, la largeur d'une rivière depuis la berge — et celui de tout agrandissement à l'échelle.

Reconnaître la configuration

Définition — configuration de Thalès :

L'ordre des lettres n'est pas décoratif : il dit quel segment correspond à quel autre. Écrire les rapports en désordre est la première cause d'erreur du chapitre.

Le théorème

Propriété

Calculer une longueur manquante

Piège

Écrire $A M / A B = A N / C N$ au lieu de $A N / A C$ .

écrire les trois rapports au brouillon avant de chercher l'inconnue, en partant chaque fois du sommet commun $A$ .

La réciproque : démontrer un parallélisme

Règle

Exemple

Avec $A M = 6$ , $A B = 8$ , $A N = 9$ et $A C = 12$ , on calcule les deux rapports séparément.

Résultat :

Exemple

Avec $A M = 4$ , $A B = 6$ , $A N = 5$ et $A C = 8$ , le même travail conclut l'inverse.

Résultat :

Comme pour Pythagore, les deux rapports se calculent séparément puis se comparent. Poser l'égalité d'emblée reviendrait à supposer vrai ce qu'on veut démontrer.

Agrandissement et réduction

Règle

Exemple

Une figure de 15 cm de côté et 40 cm² d'aire est réduite au coefficient 0,6.

Résultat :

Corrigé · à détacher

Théorème de Thalès et sa réciproque

1. Deux droites sécantes en $A$ sont coupées par deux droites parallèles. Le théorème ne dit rien sans ces deux conditions : sécantes, et parallèles. Un dessin qui « ressemble » à la configuration ne suffit pas — le parallélisme doit être donné ou démontré.
2. $(M N)$ parallèle à $(B C)$ : les points se correspondent dans l'ordre A, M, B et A, N, C.
3. Même théorème, deux dessins : le sommet commun peut être à l'extérieur ou entre les parallèles.
4. Si $(M N)$ est parallèle à $(B C)$ , alors les trois rapports sont égaux :
5. $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}$
6. J'écris les trois rapports dans l'ordre des sommets : $A M / A B$ , $A N / A C$ , $M N / B C$ .
7. Je ne garde que les deux rapports où figure l'inconnue et où tout le reste est connu. Avec $A M = 6$ , $A B = 8$ et $A C = 12$ :
8. Je passe au produit en croix.
9. Même travail pour le troisième segment, avec $B C = 10$ .
10. Si les points $A$ , $M$ , $B$ et $A$ , $N$ , $C$ sont alignés dans le même ordre et si $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}$ , alors $(M N)$ est parallèle à $(B C)$ .
11. Premier rapport
12. Second rapport
13. les rapports sont égaux : (MN) est parallèle à (BC)
14. Premier rapport
15. Second rapport
16. On compare
17. les droites ne sont pas parallèles
18. Un agrandissement ou une réduction de coefficient $k$ multiplie toutes les longueurs par $k$ , les aires par $k^{2}$ et les volumes par $k^{3}$ .
19. La longueur
20. L'aire, multipliée par le carré du coefficient
21. 9 cm de côté et 14,4 cm² d'aire