Théorème de Thalès et sa réciproque

configuration de Thalès — Deux droites sécantes en $A$ sont coupées par deux droites parallèles. Le théorème ne dit rien sans ces deux conditions : sécantes, et parallèles. Un dessin qui « ressemble » à la configuration ne suffit pas — le parallélisme doit être donné ou démontré.

Reconnaître en dix secondes

1. Le signal. Deux droites qui se croisent en un point, et deux traits parallèles qui les coupent tous les deux. Dès que le parallélisme est codé — le même chevron sur deux segments, ou « $(MN)$ parallèle à $(BC)$ » dans l'énoncé — c'est Thalès.
2. Le contre-signal. Un angle droit et pas de parallèles : c'est Pythagore. Un angle donné en degrés et une longueur demandée : c'est la trigonométrie. Thalès ne calcule jamais avec un angle.
3. Le réflexe qui économise l'exercice. Repassez au crayon les deux triangles, le petit et le grand. Ils ont le même sommet et leurs bases sont parallèles. Les trois longueurs du petit sont séparées des trois du grand, et l'ordre des rapports devient évident.

Si $(MN)$ est parallèle à $(BC)$, alors les trois rapports sont égaux :

Chaque fraction porte le petit segment en haut et le grand en bas, et les deux viennent du même côté de la figure. Les trois longueurs du petit triangle sont $AM$, $AN$, $MN$ ; celles du grand sont $AB$, $AC$, $BC$, dans le même ordre. Chaque colonne fait une fraction, et on ne mélange jamais deux colonnes : $AM/AC$ ne veut rien dire.

Calculer une longueur manquante

1. J'écris les trois rapports dans l'ordre des sommets : $AM/AB$, $AN/AC$, $MN/BC$.
2. Je ne garde que les deux rapports où figure l'inconnue et où tout le reste est connu. Avec $AM=6$, $AB=8$ et $AC=12$ :
3. Je passe au produit en croix.$AN=\frac{12\times 6}{8}=9$donc AN = 9 cm
4. Même travail pour le troisième segment, avec $BC=10$.$MN=\frac{10\times 6}{8}=7,5$donc MN = 7,5 cm

Configuration papillon : $(MB)$ et $(NC)$ se coupent en $A$, et $(MN)$ est parallèle à $(BC)$. On donne $AM=4$ cm, $AN=5$ cm, $AB=6$ cm et $MN=3,5$ cm. Calculer $AC$ et $BC$.

1. Les droites sont sécantes en $A$ et $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ : les hypothèses sont vérifiées. Que $A$ soit entre les deux parallèles ne change rien.
2. Le rapport connu n'est pas décimal : je le garde en fraction.$\frac{AM}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
3. Le petit vaut $\frac{2}{3}$ du grand, donc le grand vaut $\frac{3}{2}$ du petit.$AC=5\times \frac{3}{2}=7,5$donc AC = 7,5 cm
4. Même travail pour le troisième segment.$BC=3,5\times \frac{3}{2}=5,25$donc BC = 5,25 cm

AC = 7,5 cm et BC = 5,25 cm

Si les points $A$, $M$, $B$ et $A$, $N$, $C$ sont alignés dans le même ordre et si $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$, alors $(MN)$ est parallèle à $(BC)$.

Avec $AM=6$, $AB=8$, $AN=9$ et $AC=12$, on calcule les deux rapports séparément.

1. Premier rapport$\frac{6}{8}=0,75$
2. Second rapport$\frac{9}{12}=0,75$

les rapports sont égaux : (MN) est parallèle à (BC)

Avec $AM=4$, $AB=6$, $AN=5$ et $AC=8$, le même travail conclut l'inverse. Ici $\frac{4}{6}$ n'est pas décimal : on compare par le produit en croix, sans arrondir. Deux rapports sont égaux si et seulement si leurs produits en croix le sont.

1. Numérateur du premier par dénominateur du second$4\times 8=32$
2. Dénominateur du premier par numérateur du second$6\times 5=30$
3. Les deux produits diffèrent, donc les rapports aussi.$32\ne 30$

les droites ne sont pas parallèles

Un agrandissement ou une réduction de coefficient $k$ multiplie toutes les longueurs par $k$, les aires par $k^2$ et les volumes par $k^3$.

Une figure de 15 cm de côté et 40 cm² d'aire est réduite au coefficient 0,6.

1. La longueur$15\times 0,6=9$
2. L'aire, multipliée par le carré du coefficient$40\times 0,6^2=40\times 0,36=14,4$

9 cm de côté et 14,4 cm² d'aire