Fiche à trous · 3ème · Mathématiques

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Pythagore relie trois longueurs. La trigonométrie fait entrer un angle dans le calcul : elle permet de trouver une longueur à partir d'un angle, ou un angle à partir de deux longueurs. C'est ce qui manquait pour calculer la pente d'une route, la hauteur d'un immeuble depuis le trottoir, ou l'inclinaison d'un toit.

Tout dépend de l'angle choisi

Définition — adjacent et opposé :

C'est le point à comprendre avant toute formule : adjacent et opposé ne sont pas attachés aux côtés, mais à l'angle choisi. Changer d'angle les échange.

Les trois rapports

Règle

Le moyen de retenir l'ordre : CAH — SOH — TOA. Cosinus Adjacent Hypoténuse, Sinus Opposé Hypoténuse, Tangente Opposé Adjacent.

Reconnaître en dix secondes

Utilisation de la calculatrice, sans se tromper

Exemple

Triangle rectangle en $A$ , avec $A B = 8$ , $A C = 6$ et l'angle $α$ en $B$ . On calcule d'abord l'hypoténuse par Pythagore, puis les trois rapports.

Résultat :

Piège

Prendre le cosinus quand l'énoncé donne le côté opposé.

entourer sur la figure les deux côtés concernés, puis lire lequel des trois rapports les relie. La formule vient après, jamais avant.

Calculer une longueur

De l'angle vers la longueur

Calculer un angle

Des longueurs vers l'angle

Exemple

Une échelle de 5 m a son pied à 1,4 m du mur. Quel angle fait-elle avec le sol ?

Résultat :

Mesurer ce qu'on ne peut pas atteindre

Définition — angle d'élévation :

32.

Exemple

À 30 m du pied d'un arbre, un promeneur vise le sommet sous un angle d'élévation de 38°. Ses yeux sont à 1,60 m du sol. Quelle est la hauteur de l'arbre, au décimètre près ?

Résultat :

Les pièges qui coûtent des points

Piège

Laisser la calculatrice en radians ou en grades.

au début de l'épreuve, taper cos(60°). Si l'écran n'affiche pas 0,5, le mode est mauvais. Le test coûte trois secondes.

Piège

Écrire l'égalité dans le mauvais sens : multiplier là où il fallait diviser.

l'hypoténuse est le plus grand côté. Un résultat plus petit que le côté connu, quand on cherche l'hypoténuse, est faux avant d'être vérifié.

Piège

Arrondir le rapport en cours de route, puis continuer le calcul avec l'arrondi.

garder le rapport en mémoire dans la calculatrice, n'arrondir qu'à la toute dernière ligne, et seulement au format demandé par l'énoncé.

Piège

Confondre la touche cos⁻¹ avec l'inverse 1 / cos.

quand la réponse attendue est un angle en degrés, la touche est en seconde fonction, souvent notée `acos` ou `arccos`. Si l'écran rend un nombre supérieur à 90, ce n'est pas un angle de triangle rectangle.

Piège

Appliquer cosinus, sinus ou tangente dans un triangle qui n'a pas d'angle droit.

coder l'angle droit sur la figure avant d'écrire la première ligne. Pas de codage possible → le triangle rectangle est à construire, par une hauteur ou par une décomposition.

Ai-je choisi l'angle avant de nommer adjacent et opposé ?
L'angle droit est-il codé sur ma figure ? Sans lui, aucun des trois rapports n'existe.
Le rapport correspond-il aux deux côtés en jeu, et non à mon habitude ?
Ma calculatrice est-elle en degrés ? cos(60°) doit afficher 0,5.
Le côté cherché est-il du bon côté de la barre de fraction — ai-je divisé quand il fallait diviser ?
Ai-je gardé les décimales jusqu'à la fin, et arrondi une seule fois, au format demandé ?
Un cosinus ou un sinus supérieur à 1 dans mes calculs ? C'est une erreur, pas un résultat.
Dans une situation concrète, ai-je ajouté la hauteur de l'observateur si l'énoncé la donne, et répondu à la grandeur réellement demandée ?

Corrigé · à détacher

Trigonométrie dans le triangle rectangle

1. Dans un triangle rectangle, on se place sur un angle aigu $α$ . L'hypoténuse ne change jamais : c'est le côté opposé à l'angle droit. Les deux autres se nomment par rapport à $α$ : le côté adjacent touche l'angle, le côté opposé lui fait face.
2. Les noms changent si l'on se place sur l'autre angle aigu.
3. Le même dessin, deux lectures : c'est l'angle choisi qui nomme les côtés.
4. Pour un angle aigu $α$ d'un triangle rectangle :
5. $cos (α) = \frac{adjacent}{hypot e ˊ nuse} sin (α) = \frac{oppos e ˊ}{hypot e ˊ nuse} tan (α) = \frac{oppos e ˊ}{adjacent}$
6. Le signal. Un triangle rectangle, et un angle qui apparaît quelque part — donné dans l'énoncé, ou demandé par la question. Les mots « angle d'élévation », « inclinaison », « pente », « rampe », « pente du toit », « au degré près » le trahissent presque toujours.
7. La première question à se poser : l'hypoténuse est-elle en jeu ? Si les deux côtés qui m'intéressent sont les deux côtés de l'angle droit, c'est la tangente, et la question est réglée. Sinon, le côté connu ou cherché est-il collé à l'angle (cosinus) ou en face de lui (sinus) ?
8. Le contre-signal. Aucun angle nulle part, seulement trois longueurs → ce n'est pas la trigonométrie, c'est Pythagore. Pas d'angle droit sur la figure → au collège, ni l'un ni l'autre : il manque une étape, cherchez le triangle rectangle caché.
9. Le réflexe qui économise l'exercice. Vérifier le mode de la calculatrice une fois, au début, et plus jamais ensuite : cos(60°) doit afficher 0,5. Puis entourer sur la figure les deux côtés en jeu — le rapport se lit sur le dessin, pas dans la mémoire.
10. Vérifier le mode avant tout : DEG (ou D) à l'écran. En mode RAD, $sin (30°)$ ne donne plus 0,5 mais −0,988 — et rien n'avertit.
11. De l'angle vers la longueur : touches `sin`, `cos`, `tan`. On tape l'angle, on lit un rapport compris entre 0 et 1 pour le sinus et le cosinus.
12. De la longueur vers l'angle : touches `sin⁻¹`, `cos⁻¹`, `tan⁻¹` (souvent en seconde fonction, notées `asin`, `arcsin`). On tape le rapport, on lit un angle.
13. Arrondir en dernier, jamais avant : on garde la valeur affichée par la machine dans tous les calculs intermédiaires.
14. L'hypoténuse
15. Vu de $B$ , l'adjacent est $A B = 8$ et l'opposé est $A C = 6$ .
16. Le sinus
17. La tangente
18. cos α = 0,8 · sin α = 0,6 · tan α = 0,75
19. Je repère l'angle donné et les deux côtés en jeu : ici l'hypoténuse $B C = 12$ est connue, et je cherche le côté opposé à un angle de 30°.
20. Hypoténuse et opposé : c'est le sinus. J'écris $sin (30°) = \frac{A C}{12}$ .
21. La calculatrice, en mode degrés, donne $sin (30°) = 0, 5$ .
22. J'isole l'inconnue.
23. Je calcule le rapport avec les deux côtés connus : ici l'opposé vaut 4 et l'adjacent 3.
24. J'utilise la touche inverse de la calculatrice, $tan^{- 1}$ — souvent au-dessus de la touche tan.
25. J'obtiens $α \approx 53, 1°$ , que j'arrondis au degré : $α \approx 53°$ .
26. Contrôle de bon sens : l'opposé est plus grand que l'adjacent, donc l'angle dépasse 45°. C'est cohérent.
27. L'échelle est l'hypoténuse, la distance au mur est le côté adjacent à l'angle cherché : hypoténuse et adjacent, c'est le cosinus.
28. La touche $cos^{- 1}$ donne $α \approx 73, 7°$ , soit 74° au degré près.
29. Contrôle de bon sens : une échelle bien posée est proche de la verticale, donc d'un angle nettement supérieur à 45°. C'est cohérent.
30. l'échelle fait environ 74° avec le sol
31. L'angle d'élévation est l'angle entre l'horizontale et la direction du regard, lorsqu'on lève les yeux vers un point situé plus haut. Si l'on baisse les yeux, on parle d'angle de dépression. C'est ainsi qu'on mesure la hauteur d'un arbre, d'un immeuble ou d'une falaise sans y monter — et c'est le montage classique des situations concrètes du brevet.
32. L'horizontale, la visée, et l'angle entre les deux.
33. Le triangle rectangle utile n'a pas le sol pour base, mais l'horizontale du regard. Son côté adjacent à l'angle mesure 30 m, et le côté opposé est la hauteur $h$ au-dessus des yeux.
34. Adjacent et opposé : c'est la tangente. J'écris $tan (38°) = \frac{h}{30}$ , et la calculatrice en mode degrés donne $tan (38°) \approx 0, 7813$ .
35. J'isole l'inconnue.
36. Il reste à rendre au sol ce qui lui appartient : la hauteur des yeux.
37. l'arbre mesure environ 25,0 m