Trigonométrie dans le triangle rectangle

adjacent et opposé — Dans un triangle rectangle, on se place sur un angle aigu $\alpha$. L'hypoténuse ne change jamais : c'est le côté opposé à l'angle droit. Les deux autres se nomment par rapport à $\alpha$ : le côté adjacent touche l'angle, le côté opposé lui fait face.

Pour un angle aigu $\alpha$ d'un triangle rectangle :

Reconnaître en dix secondes

1. Le signal. Un triangle rectangle, et un angle qui apparaît quelque part — donné dans l'énoncé, ou demandé par la question. Les mots « angle d'élévation », « inclinaison », « pente », « rampe », « pente du toit », « au degré près » le trahissent presque toujours.
2. La première question à se poser : l'hypoténuse est-elle en jeu ? Si les deux côtés qui m'intéressent sont les deux côtés de l'angle droit, c'est la tangente, et la question est réglée. Sinon, le côté connu ou cherché est-il collé à l'angle (cosinus) ou en face de lui (sinus) ?
3. Le contre-signal. Aucun angle nulle part, seulement trois longueurs → ce n'est pas la trigonométrie, c'est Pythagore. Pas d'angle droit sur la figure → au collège, ni l'un ni l'autre : il manque une étape, cherchez le triangle rectangle caché.
4. Le réflexe qui économise l'exercice. Vérifier le mode de la calculatrice une fois, au début, et plus jamais ensuite : cos(60°) doit afficher 0,5. Puis entourer sur la figure les deux côtés en jeu — le rapport se lit sur le dessin, pas dans la mémoire.

Utilisation de la calculatrice, sans se tromper

1. Vérifier le mode avant tout : DEG (ou D) à l'écran. En mode RAD, $\sin (30°)$ ne donne plus 0,5 mais −0,988 — et rien n'avertit.
2. De l'angle vers la longueur : touches `sin`, `cos`, `tan`. On tape l'angle, on lit un rapport compris entre 0 et 1 pour le sinus et le cosinus.un sinus supérieur à 1 est impossible : c'est le signe d'une erreur de saisie ou de mode.
3. De la longueur vers l'angle : touches `sin⁻¹`, `cos⁻¹`, `tan⁻¹` (souvent en seconde fonction, notées `asin`, `arcsin`). On tape le rapport, on lit un angle.
4. Arrondir en dernier, jamais avant : on garde la valeur affichée par la machine dans tous les calculs intermédiaires.

Triangle rectangle en $A$, avec $AB=8$, $AC=6$ et l'angle $\alpha$ en $B$. On calcule d'abord l'hypoténuse par Pythagore, puis les trois rapports.

1. L'hypoténuse$B{C}^2=6^2+8^2=36+64=100$BC = 10
2. Vu de $B$, l'adjacent est $AB=8$ et l'opposé est $AC=6$.$\cos (\alpha )=\frac{8}{10}=0,8$
3. Le sinus$\sin (\alpha )=\frac{6}{10}=0,6$
4. La tangente$\tan (\alpha )=\frac{6}{8}=0,75$

cos α = 0,8 · sin α = 0,6 · tan α = 0,75

De l'angle vers la longueur

1. Je repère l'angle donné et les deux côtés en jeu : ici l'hypoténuse $BC=12$ est connue, et je cherche le côté opposé à un angle de 30°.
2. Hypoténuse et opposé : c'est le sinus. J'écris $\sin (30°)=\frac{AC}{12}$.
3. La calculatrice, en mode degrés, donne $\sin (30°)=0,5$.
4. J'isole l'inconnue.$AC=12\times 0,5=6$donc AC = 6

Des longueurs vers l'angle

1. Je calcule le rapport avec les deux côtés connus : ici l'opposé vaut 4 et l'adjacent 3.$\tan (\alpha )=\frac{4}{3}\approx 1,333$
2. J'utilise la touche inverse de la calculatrice, ${\tan }^{-1}$ — souvent au-dessus de la touche tan.
3. J'obtiens $\alpha \approx 53,1°$, que j'arrondis au degré : $\alpha \approx 53°$.
4. Contrôle de bon sens : l'opposé est plus grand que l'adjacent, donc l'angle dépasse 45°. C'est cohérent.

Une échelle de 5 m a son pied à 1,4 m du mur. Quel angle fait-elle avec le sol ?

1. L'échelle est l'hypoténuse, la distance au mur est le côté adjacent à l'angle cherché : hypoténuse et adjacent, c'est le cosinus.$\cos (\alpha )=\frac{1,4}{5}=0,28$
2. La touche ${\cos }^{-1}$ donne $\alpha \approx 73,7°$, soit 74° au degré près.
3. Contrôle de bon sens : une échelle bien posée est proche de la verticale, donc d'un angle nettement supérieur à 45°. C'est cohérent.

l'échelle fait environ 74° avec le sol

angle d'élévation — L'angle d'élévation est l'angle entre l'horizontale et la direction du regard, lorsqu'on lève les yeux vers un point situé plus haut. Si l'on baisse les yeux, on parle d'angle de dépression. C'est ainsi qu'on mesure la hauteur d'un arbre, d'un immeuble ou d'une falaise sans y monter — et c'est le montage classique des situations concrètes du brevet.

À 30 m du pied d'un arbre, un promeneur vise le sommet sous un angle d'élévation de 38°. Ses yeux sont à 1,60 m du sol. Quelle est la hauteur de l'arbre, au décimètre près ?

1. Le triangle rectangle utile n'a pas le sol pour base, mais l'horizontale du regard. Son côté adjacent à l'angle mesure 30 m, et le côté opposé est la hauteur $h$ au-dessus des yeux.
2. Adjacent et opposé : c'est la tangente. J'écris $\tan (38°)=\frac{h}{30}$, et la calculatrice en mode degrés donne $\tan (38°)\approx 0,7813$.
3. J'isole l'inconnue.$h=30\times 0,7813\approx 23,4$
4. Il reste à rendre au sol ce qui lui appartient : la hauteur des yeux.$23,4+1,6=25$oublier ce dernier terme est l'erreur la plus fréquente de l'exercice.

l'arbre mesure environ 25,0 m