Fiche à trous · 4ème · Mathématiques

Calcul littéral — Développement et factorisation

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Développer et factoriser sont deux chemins opposés entre les deux écritures d'une même expression. Développer sert à comparer et à calculer ; factoriser sert à résoudre. Toute la difficulté du chapitre tient en une question : de quel côté ai-je besoin d'aller ?

La double distributivité

Règle

Développer sans en oublier

Exemple

Développer $(2 x - 3) (x + 5)$ .

Résultat :

Les trois identités remarquables

Règle

Piège

Écrire $(x + 3)^{2} = x^{2} + 9$ .

vérifier avec un nombre. Pour $x = 1$ : $(1 + 3)^{2} = 16$ , tandis que $1 + 9 = 10$ . L'écart se voit en trois secondes.

La troisième identité est la seule qui fait disparaître le terme en $x$ : les doubles produits s'annulent. C'est ce qui la rend si utile en factorisation, et c'est aussi ce qui permet des calculs mentaux : $101 \times 99 = (100 + 1) (100 - 1) = 10000 - 1 = 9999$ .

Factoriser : reconnaître ce qui se répète

13.

Choisir la bonne voie

Exemple

Factoriser $(x + 2) (x - 4) + (x + 2) (3 x + 1)$ .

Résultat :

Une expression factorisée s'annule facilement : un produit est nul si l'un de ses facteurs l'est. C'est toute la raison d'être de la factorisation, et ce sera l'outil des équations de 3ème.

Résoudre une équation-produit

Exemple

C'est à cela que sert la factorisation : la résolution d'équations que le développement rendrait insolubles. Résoudre $x^{2} - 9 = 0$ .

Résultat :

Piège

Résoudre $(x - 2) (x + 5) = 12$ en écrivant $x - 2 = 12$ ou $x + 5 = 12$ .

avant de scinder, vérifier qu'il y a bien un 0 de l'autre côté. Sinon : développer, tout ramener à zéro, puis factoriser à nouveau.

Exemple

Factoriser $9 x^{2} - 25 + (3 x - 5) (x + 1)$ .

Résultat :

Ai-je écrit les quatre produits avant de calculer ?
Le double produit $2 ab$ est-il présent dans mon carré ?
Ai-je vérifié ma factorisation en la redéveloppant ?
Ai-je testé avec une valeur simple, $x = 1$ ou $x = 2$ ?

Corrigé · à détacher

Calcul littéral — Développement et factorisation

1. Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde. Quatre produits, toujours quatre, même quand deux se ressemblent.
2. $(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d$
3. Le découpage d’un rectangle donne les quatre produits, et rappelle qu’aucun ne se perd.
4. Écrire les quatre produits avant de calculer quoi que ce soit.
5. Traiter les signes ensuite, terme par terme, en gardant les parenthèses des nombres négatifs.
6. Réduire en dernier : regrouper les termes en $x^{2}$ , puis en $x$ , puis les constantes.
7. Les quatre produits :
8. On calcule chacun :
9. On réduit les termes en $x$ :
10. 2x^{2} + 7x - 15
11. Ce sont des développements si fréquents qu'on les reconnaît au lieu de les refaire. Le double produit $2 ab$ est le terme qu'on oublie.
12. $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2} (a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2} (a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$
13. Deux voies seulement en 4ème : un facteur commun, ou une identité remarquable.
14. Compter les termes. Deux termes : chercher un facteur commun, puis une différence de carrés.
15. Trois termes : chercher $a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$ — vérifier que le terme du milieu est bien le double produit.
16. Développer le résultat pour contrôler. Une factorisation se vérifie toujours, et en quinze secondes.
17. Le facteur commun n'est pas un nombre mais une parenthèse entière : $(x + 2)$ .
18. On la met en facteur :
19. On réduit le crochet :
20. (x+2)(4x - 3)
21. Tout ramener à zéro d'un côté du signe égal. Une équation-produit ne se lit que sous la forme « quelque chose $= 0$ ».
22. Factoriser le membre non nul : facteur commun d'abord, identité remarquable ensuite.
23. Scinder : un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. Chaque facteur donne une équation du premier degré.
24. Résoudre chacune, et donner toutes les solutions — il y en a généralement autant que de facteurs.
25. Sous cette forme, aucun moyen d'isoler $x$ : il apparaît au carré. On reconnaît la troisième identité remarquable.
26. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est. L'équation se scinde donc en deux équations du premier degré : $x - 3 = 0$ ou $x + 3 = 0$ .
27. Chacune se résout d'un geste.
28. deux solutions, 3 et −3 — que la forme développée ne laissait pas voir
29. Le premier morceau est une différence de deux carrés : $9 x^{2} = (3 x)^{2}$ et $25 = 5^{2}$ .
30. L'expression devient une somme de deux produits, qui partagent le facteur $(3 x - 5)$ .
31. On met ce facteur commun en évidence.
32. On réduit le crochet.
33. $(3 x - 5) (4 x + 6)$ — une identité d'abord, un facteur commun ensuite