Pour calculer le périmètre d'un terrain rectangulaire, Paul utilise la formule P = 2(L + l). Il sait que L = x + 3 et l = x - 1. Quel développement doit-il effectuer pour obtenir une expression simplifiée de P ?

2(x + 3)(x - 1) = 2x² + 4x - 6

📐 Mathématiques4e4èmeSans inscription

Calcul littéral — Développement et factorisation

Programme en vigueur — arrêté du 9 novembre 2015, applicable en 4ème depuis la rentrée 2016. Voir le texte

La règle d'or

Le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés : (a + b)² garde un double produit 2ab, et c'est exactement le terme que l'on oublie.

L'erreur que tout le monde fait

Écrire que (x + 3)² vaut x² + 9.

Un carré n'est pas une distribution sur chaque terme. (x + 3)² vaut (x + 3)(x + 3), ce qui donne quatre produits et fait apparaître le double produit 6x. La forme correcte est x² + 6x + 9, et l'écart avec x² + 9 se creuse dès que x grandit.

Vérifier avec un nombre. Pour x = 1, (1 + 3)² vaut 16 tandis que 1 + 9 vaut 10 : l'écart se voit en trois secondes.

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Notions à maîtriser

développer
factoriser
identité remarquable
facteur commun
distributivité

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Fiche de révision

Calcul littéral : Développer & Factoriser

Calcul littéral — Développement et factorisation 1. Définitions Le calcul littéral utilise des lettres (comme x, y) pour représenter des nombres inconnus. On peut développer une

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Développer et factoriser sont deux chemins opposés entre les deux écritures d'une même expression. Développer sert à comparer et à calculer ; factoriser sert à résoudre. Toute la difficulté du chapitre tient en une question : de quel côté ai-je besoin d'aller ?

1La double distributivité

Règle

Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde. Quatre produits, toujours quatre, même quand deux se ressemblent.

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

Le découpage d’un rectangle donne les quatre produits, et rappelle qu’aucun ne se perd.

Développer sans en oublier

Écrire les quatre produits avant de calculer quoi que ce soit.l’erreur naît presque toujours d’un calcul mené en même temps que la distribution.
Traiter les signes ensuite, terme par terme, en gardant les parenthèses des nombres négatifs.
Réduire en dernier : regrouper les termes en $x^{2}$ , puis en $x$ , puis les constantes.

Exemple

Développer $(2 x - 3) (x + 5)$ .

Les quatre produits : $2 x \times x + 2 x \times 5 + (- 3) \times x + (- 3) \times 5$
On calcule chacun : $2 x^{2} + 10 x - 3 x - 15$
On réduit les termes en $x$ : $10 - 3 = 7$

2x^{2} + 7x - 15

2Les trois identités remarquables

Règle

Ce sont des développements si fréquents qu'on les reconnaît au lieu de les refaire. Le double produit $2 ab$ est le terme qu'on oublie.

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2} (a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2} (a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

Piège

Écrire $(x + 3)^{2} = x^{2} + 9$ .

Pourquoi — un carré n'est pas une distribution sur chaque terme. $(x + 3)^{2}$ vaut $(x + 3) (x + 3)$ , ce qui donne quatre produits et fait apparaître le double produit $6 x$ .

Le réflexe — vérifier avec un nombre. Pour $x = 1$ : $(1 + 3)^{2} = 16$ , tandis que $1 + 9 = 10$ . L'écart se voit en trois secondes.

La troisième identité est la seule qui fait disparaître le terme en $x$ : les doubles produits s'annulent. C'est ce qui la rend si utile en factorisation, et c'est aussi ce qui permet des calculs mentaux : $101 \times 99 = (100 + 1) (100 - 1) = 10000 - 1 = 9999$ .

3Factoriser : reconnaître ce qui se répète

Deux voies seulement en 4ème : un facteur commun, ou une identité remarquable.

Choisir la bonne voie

Compter les termes. Deux termes : chercher un facteur commun, puis une différence de carrés.
Trois termes : chercher $a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$ — vérifier que le terme du milieu est bien le double produit.sans cette vérification, on force une identité qui n'existe pas.
Développer le résultat pour contrôler. Une factorisation se vérifie toujours, et en quinze secondes.

Exemple

Factoriser $(x + 2) (x - 4) + (x + 2) (3 x + 1)$ .

Le facteur commun n'est pas un nombre mais une parenthèse entière : $(x + 2)$ .
On la met en facteur : $(x + 2) [(x - 4) + (3 x + 1)]$
On réduit le crochet : $1 + 3 = 4$

(x+2)(4x - 3)

Une expression factorisée s'annule facilement : un produit est nul si l'un de ses facteurs l'est. C'est toute la raison d'être de la factorisation, et ce sera l'outil des équations de 3ème.

Résoudre une équation-produit

Tout ramener à zéro d'un côté du signe égal. Une équation-produit ne se lit que sous la forme « quelque chose $= 0$ ».
Factoriser le membre non nul : facteur commun d'abord, identité remarquable ensuite.
Scinder : un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. Chaque facteur donne une équation du premier degré.c'est la seule propriété qui autorise le passage ; elle n'a pas d'équivalent pour une somme.
Résoudre chacune, et donner toutes les solutions — il y en a généralement autant que de facteurs.

Exemple

C'est à cela que sert la factorisation : la résolution d'équations que le développement rendrait insolubles. Résoudre $x^{2} - 9 = 0$ .

Sous cette forme, aucun moyen d'isoler $x$ : il apparaît au carré. On reconnaît la troisième identité remarquable. $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est. L'équation se scinde donc en deux équations du premier degré : $x - 3 = 0$ ou $x + 3 = 0$ .
Chacune se résout d'un geste. $x = 3$ ou $x = - 3$ .

deux solutions, 3 et −3 — que la forme développée ne laissait pas voir

Piège

Résoudre $(x - 2) (x + 5) = 12$ en écrivant $x - 2 = 12$ ou $x + 5 = 12$ .

Pourquoi — la propriété du produit nul ne vaut que pour zéro. Deux nombres dont le produit vaut 12 peuvent valoir 3 et 4, ou 24 et 0,5 : le produit ne dit rien sur chacun. Avec zéro, au contraire, l'un des deux est nécessairement nul.

Le réflexe — avant de scinder, vérifier qu'il y a bien un 0 de l'autre côté. Sinon : développer, tout ramener à zéro, puis factoriser à nouveau.

Exemple

Factoriser $9 x^{2} - 25 + (3 x - 5) (x + 1)$ .

Le premier morceau est une différence de deux carrés : $9 x^{2} = (3 x)^{2}$ et $25 = 5^{2}$ . $9 x^{2} - 25 = (3 x - 5) (3 x + 5)$
L'expression devient une somme de deux produits, qui partagent le facteur $(3 x - 5)$ .
On met ce facteur commun en évidence. $(3 x - 5) [(3 x + 5) + (x + 1)]$
On réduit le crochet. $(3 x + 5) + (x + 1) = 4 x + 6$ la forme factorisée est $(3 x - 5) (4 x + 6)$ .

$(3 x - 5) (4 x + 6)$ — une identité d'abord, un facteur commun ensuite

▢Ai-je écrit les quatre produits avant de calculer ?
▢Le double produit $2 ab$ est-il présent dans mon carré ?
▢Ai-je vérifié ma factorisation en la redéveloppant ?
▢Ai-je testé avec une valeur simple, $x = 1$ ou $x = 2$ ?

L'essentiel en 6 points

· $(a + b) (c + d)$ donne quatre produits, jamais trois.
· $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ — le double produit est le terme qu'on oublie.
· $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ : c'est la seule identité qui efface le terme en $x$ .
·Une somme de deux carrés ne se factorise pas.
·Un facteur commun peut être une parenthèse entière, pas seulement un nombre.
·Une factorisation se vérifie en la redéveloppant — quinze secondes bien placées.

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Au sommaire du cours

1. La double distributivité
2. Les trois identités remarquables
3. Factoriser : reconnaître ce qui se répète

Conforme au programme officiel · version 2026.1.

Exercices corrigés

Développer et réduire

Calculer

a. $(x + 4) (x + 3)$
b. $(2 x - 1) (x + 5)$
c. $(3 - x) (2 x + 7)$

›Voir le corrigé

a. Quatre produits, puis réduction : $x^{2} + 3 x + 4 x + 12 = x^{2} + 7 x + 12$
b. Attention au signe du troisième produit : $2 x^{2} + 10 x - x - 5 = 2 x^{2} + 9 x - 5$
c. Le premier terme est un nombre, la méthode ne change pas : $6 x + 21 - 2 x^{2} - 7 x = - 2 x^{2} - x + 21$
Au c., on range par puissances décroissantes : c'est la forme attendue.
Contrôle rapide au a. avec $x = 1$ : $5 \times 4 = 20$ et $1 + 7 + 12 = 20$ .

Utiliser une identité remarquable

Calculer

a. $(x + 6)^{2}$
b. $(2 x - 5)^{2}$
c. $(x + 9) (x - 9)$
d. $102 \times 98$ de tête

›Voir le corrigé

a. Le double produit vaut $2 \times x \times 6$ : $x^{2} + 12 x + 36$
b. Le carré de $2 x$ vaut $4 x^{2}$ , et le double produit $2 \times 2 x \times 5 = 20 x$ : $4 x^{2} - 20 x + 25$
c. Les doubles produits s'annulent : $x^{2} - 81$
d. On écrit $102 \times 98 = (100 + 2) (100 - 2)$ : $10 0^{2} - 2^{2} = 10000 - 4 = 9996$
Le b. est le plus manqué : $4 x^{2}$ et non $2 x^{2}$ , car c'est $2 x$ tout entier qu'on élève au carré.

Factoriser par un facteur commun

Calculer

a. $7 x^{2} + 21 x$
b. $(x - 1) (x + 6) + (x - 1) (2 x - 3)$
c. $(3 x + 2)^{2} - (3 x + 2) (x - 4)$

›Voir le corrigé

a. Le facteur commun est $7 x$ : $7 x (x + 3)$
b. Le facteur commun est la parenthèse $(x - 1)$ : $(x - 1) [(x + 6) + (2 x - 3)]$
On réduit le crochet : $6 - 3 = 3$
Donc $(x - 1) (3 x + 3)$ , qu'on peut encore factoriser par 3 : $3 (x - 1) (x + 1)$ .
c. $(3 x + 2)^{2}$ s'écrit $(3 x + 2) (3 x + 2)$ : le facteur commun est $(3 x + 2)$ , et il reste $(3 x + 2) - (x - 4) = 2 x + 6$ .

Factoriser avec une identité

Raisonner

a. $x^{2} - 64$
b. $x^{2} + 10 x + 25$
c. $9 x^{2} - 4$
d. $x^{2} + 16$ — que peut-on dire ?

›Voir le corrigé

a. Différence de deux carrés, avec $64 = 8^{2}$ : $(x + 8) (x - 8)$
b. Trois termes : on vérifie que $10 x$ est bien le double produit $2 \times x \times 5$ , puis : $(x + 5)^{2}$
c. $9 x^{2}$ est le carré de $3 x$ et $4$ celui de $2$ : $(3 x + 2) (3 x - 2)$
d. Une somme de deux carrés ne se factorise pas avec les outils du collège : il n'existe pas d'identité pour $a^{2} + b^{2}$ .
Savoir répondre « ce n'est pas factorisable » fait partie de l'exercice — s'acharner coûte du temps et des points.

Un problème d'aire

Modéliser

a.Un carré de côté $x$ cm est agrandi de 3 cm sur chaque côté. Exprime l'aire du nouveau carré, développée.
b.De combien l'aire augmente-t-elle ?
c.Pour $x = 10$ , calcule cette augmentation.

›Voir le corrigé

a. Le nouveau côté mesure $x + 3$ , donc l'aire vaut $(x + 3)^{2}$ : $x^{2} + 6 x + 9$
b. L'augmentation est la différence des deux aires : $(x^{2} + 6 x + 9) - x^{2} = 6 x + 9$
L'augmentation dépend de $x$ : agrandir de 3 cm ne coûte pas la même chose selon la taille du carré de départ.
c. Pour $x = 10$ : $6 \times 10 + 9 = 69$
Vérification directe : $1 3^{2} - 1 0^{2} = 169 - 100 = 69$ . Les deux chemins concordent.

Vrai ou faux, en justifiant

Raisonner

a. $(x - 5)^{2} = x^{2} - 25$
b. $(x + 1) (x - 1) = x^{2} - 1$
c. $4 x^{2} + 12 x = 4 x (x + 3)$

›Voir le corrigé

a. Faux. Le double produit manque : $(x - 5)^{2} = x^{2} - 10 x + 25$
Contre-exemple pour $x = 1$ : $(1 - 5)^{2} = 16$ alors que $1 - 25 = - 24$ .
b. Vrai. C'est la troisième identité remarquable, et un contrôle pour $x = 3$ donne $4 \times 2 = 8$ des deux côtés.
c. Vrai. En redéveloppant : $4 x \times x + 4 x \times 3 = 4 x^{2} + 12 x$

Ce qui rapporte des points, ce qui en coûte

Écrire les quatre produits d'une double distributivité2 ptsPerdu si : N'en écrire que trois, ou calculer avant d'avoir distribué
Faire apparaître le double produit dans un carré2 ptsPerdu si : Écrire $(x+3)^{2} = x^{2} + 9$
Reconnaître le facteur commun, y compris une parenthèse2 ptsPerdu si : Chercher un facteur numérique et s'arrêter là
Vérifier une factorisation en la redéveloppant1 ptPerdu si : Rendre une factorisation fausse qu'un contrôle aurait attrapée
Dire qu'une expression n'est pas factorisable quand c'est le cas1 ptPerdu si : Inventer une identité pour $a^{2} + b^{2}$

La méthode

Choisir entre développer et factoriser

1
Regarder ce que la question demande : résoudre appelle une factorisation, comparer ou calculer appelle un développement.
2
Chercher un facteur commun, qui peut être une parenthèse entière et pas seulement un nombre.
3
Reconnaître une identité remarquable si aucun facteur commun n'apparaît.
Une somme de deux carrés ne se factorise pas ; seule la différence de deux carrés le fait.
4
Contrôler le résultat en redéveloppant la forme factorisée.

Se tester

Touches 1 à 4

Mathématiques4ème

Question 1

En athlétisme, un lanceur de poids souhaite calculer la force nécessaire pour atteindre une distance de

20

mètres. La trajectoire du poids est modélisée par la fonction

h(x) = -0,01x^2 + 0,5x + 2

, où

x

est la distance horizontale en mètres et

h(x)

la hauteur du poids en mètres. Le lanceur sait que le poids touche le sol quand

h(x) = 0

. Il écrit l'équation

-0,01x^2 + 0,5x + 2 = 0

et propose de la factoriser pour résoudre. Pourquoi cette méthode est-elle incorrecte pour résoudre cette équation ?

Aucun compte requis — réponds, la correction s'affiche aussitôt.

Signaler une erreur

Se tester en conditions de contrôle

4 contrôles sur ce chapitre, chacun avec sa durée, son barème sur vingt et un corrigé qui explique chaque réponse. Trois niveaux — Essentiel, Standard, Approfondi — se complètent sans reposer une question : on commence par celui qui correspond, et la note dit lequel faire ensuite.

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Questions fréquentes

Calcul littéral — Développement et factorisation : c'est en quelle classe ?

Ce chapitre est au programme de Mathématiques au collège, en classe de 4ème. Il est défini par le Bulletin Officiel de l'Éducation nationale, le texte de référence qui fixe ce qui doit être enseigné dans chaque matière.

Que faut-il savoir sur Calcul littéral — Développement et factorisation ?

Développement : double distributivité (a+b)(c+d). Identités remarquables : (a+b)² = a²+2ab+b², (a-b)² = a²-2ab+b², (a+b)(a-b) = a²-b². Factorisation : facteur commun, identités remarquables. Résolution d'équations. Les notions à maîtriser sont : développer, factoriser, identité remarquable, facteur commun, distributivité.

Où télécharger la fiche PDF de Calcul littéral — Développement et factorisation ?

Sur cette page, dans le bloc « Imprimer » : 3 documents à télécharger — le cours, les exercices et le corrigé — soit 7 pages au format A4, prêtes à imprimer. Le téléchargement est gratuit, immédiat, et ne demande ni compte ni adresse e-mail.

Le corrigé de Calcul littéral — Développement et factorisation est-il fourni ?

Oui, et c'est un document à part : chaque exercice y est repris étape par étape, avec le barème détaillé en fin de fiche — ce qui est attendu, combien de points, et ce qui fait perdre le point. Un parent qui ne se souvient plus du programme peut corriger une copie avec.

Comment réviser Calcul littéral — Développement et factorisation efficacement ?

Commence par lire la fiche de révision pour remettre la règle en place, puis enchaîne immédiatement sur le quiz de cette page. Répondre juste après avoir lu ne suffit pas : reviens sur le chapitre deux ou trois jours plus tard. C'est l'espacement des révisions, plus que leur durée, qui fait tenir une notion en mémoire. Une session de quinze minutes répétée vaut mieux qu'une heure unique.

Faut-il un compte pour s'entraîner sur Calcul littéral — Développement et factorisation ?

Non. Les quiz, les corrections détaillées et les fiches de révision sont accessibles sans créer de compte et sans donner d'adresse e-mail. Le compte gratuit sert uniquement à conserver la progression d'un appareil à l'autre.

Cahier de vacances

Ce chapitre se révise aussi pendant les vacances, dans un livret à imprimer avec son corrigé.

vacances de la Toussaint

Cahier de vacances de la Toussaint — maths 4e

Séance 4 · livret et corrigé en PDF

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