Fiche à trous · 4ème · Mathématiques

Équations et inéquations du premier degré

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Une équation est une balance. Tout ce qu'on fait d'un côté, on le fait de l'autre, sinon elle penche et l'égalité est perdue. Ce seul principe suffit à résoudre toutes les équations du premier degré — le reste n'est que de l'organisation.

Résoudre, c'est isoler

Définition — solution d'une équation :

La résolution algébrique de $ax + b = c$

On dit résolution algébrique parce qu'elle procède par calcul, et qu'elle donne la valeur exacte. Une équation se résout aussi graphiquement — en traçant les deux membres comme deux fonctions et en lisant l'abscisse du point d'intersection — mais la lecture d'un graphique ne donne jamais qu'une valeur approchée. Le graphique contrôle ; l'algèbre décide.

Exemple

Résoudre $5 x - 7 = 2 x + 8$ .

Résultat :

Piège

Oublier de changer le signe quand un terme change de côté.

écrire l'opération dans la marge — « $- 2 x$ des deux côtés » — au moins jusqu'à ce que le geste soit automatique.

Les inéquations, et le piège du signe

Règle

13.

Piège

Résoudre $- 3 x > 12$ en écrivant $x > - 4$ .

tester une valeur. Pour $x = 0$ : $- 3 \times 0 = 0$ , qui n'est pas supérieur à 12. Zéro n'est donc pas solution, ce qui exclut $x > - 4$ .

Une équation peut n'avoir aucune solution — $2 x + 1 = 2 x + 5$ donne $1 = 5$ , ce qui est faux quel que soit $x$ — ou en avoir une infinité — $2 (x + 3) = 2 x + 6$ donne $6 = 6$ , vrai pour tout $x$ . Ces deux cas se reconnaissent au moment où l'inconnue disparaît.

Mettre un problème en équation

Du texte à l'équation, en quatre temps

Le choix de l'inconnue n'est pas imposé : on peut prendre la longueur plutôt que la largeur. Une équation différente mènera au même couple de dimensions — mais l'une des deux est presque toujours plus simple à écrire. Prendre la plus petite grandeur évite les soustractions.

Ai-je écrit l'opération faite des deux côtés, plutôt que « je fais passer » ?
Ai-je renversé l'inégalité si j'ai divisé par un nombre négatif ?
Ai-je vérifié dans l'énoncé de départ ?
Ai-je répondu par une phrase, avec l'unité ?

Corrigé · à détacher

Équations et inéquations du premier degré

1. Une solution est un nombre qui rend l'égalité vraie quand on le met à la place de $x$ . Résoudre, c'est trouver toutes les solutions — souvent une seule au premier degré, parfois aucune, parfois une infinité.
2. Deux gestes seulement : enlever les constantes, puis diviser par le coefficient.
3. Retirer $b$ des deux côtés pour isoler le terme en $x$ .
4. Diviser les deux côtés par $a$ , le coefficient de $x$ .
5. Vérifier en remplaçant $x$ par la valeur trouvée dans l'équation de départ, pas dans une ligne intermédiaire.
6. On rassemble les $x$ à gauche en retirant $2 x$ des deux côtés :
7. On ajoute 7 des deux côtés :
8. On divise par 3 :
9. Vérification dans l'équation de départ : à gauche $5 \times 5 - 7 = 18$ , à droite $2 \times 5 + 8 = 18$ .
10. x = 5
11. Une inéquation se résout comme une équation, sauf sur un point : multiplier ou diviser les deux côtés par un nombre négatif renverse le sens de l'inégalité.
12. $- 2 x < 6 ⟺ x > - 3$
13. Cercle ouvert pour une inégalité stricte, plein quand la borne est incluse.
14. Nommer l'inconnue avec son unité : « soit $x$ la largeur, en cm ». Une lettre sans phrase ne vaut rien.
15. Exprimer les autres grandeurs en fonction de $x$ — la longueur devient $x + 7$ , le second nombre $30 - x$ .
16. Traduire la phrase qui contient une égalité : « le périmètre est de 46 cm » donne le signe $=$ .
17. Répondre par une phrase. « $x = 8$ » n'est pas une réponse : « la largeur mesure 8 cm » en est une.