Résous l'inéquation -3x + 4 < 10 et représente la solution sur une droite graduée.

La solution est x > -2. Sur la droite, on hachure à droite de -2 avec un crochet ouvert.

La solution est x ≥ -2. Sur la droite, on hachure à gauche de -2 avec un crochet fermé.

La solution est x < -2. Sur la droite, on hachure à gauche de -2 avec un crochet ouvert.

La solution est x > -2. Sur la droite, on hachure à gauche de -2 avec un crochet ouvert.

📐 Mathématiques4e4èmeSans inscription

Équations et inéquations du premier degré

Programme en vigueur — arrêté du 9 novembre 2015, applicable en 4ème depuis la rentrée 2016. Voir le texte

Résolution algébrique d'équations ax + b = c. Vérification. Inéquations : résolution, représentation sur droite graduée. Mise en équation de problèmes concrets.

La règle d'or

Une équation est une balance : tout ce qu'on fait d'un côté se fait de l'autre, et « faire passer » n'est qu'un raccourci qui cache le signe.

L'erreur que tout le monde fait

Résoudre -3x > 12 en écrivant x > -4.

Diviser les deux membres par un nombre négatif renverse le sens de l'inégalité : la réponse est x < -4. L'oubli du renversement donne l'ensemble exactement opposé, et c'est la pire erreur possible puisqu'elle a toutes les apparences d'une réponse.

Tester une valeur. Pour x = 0, -3 × 0 vaut 0, qui n'est pas supérieur à 12 : zéro n'est donc pas solution, ce qui exclut x > -4.

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Notions à maîtriser

équation
inéquation
résolution
vérification
solution
ensemble de solutions

Réviser

Fiche de révision

Équations & inéquations : les bases à maîtriser

Équations et inéquations du premier degré Définitions Une équation du premier degré est une égalité qui contient une inconnue (souvent notée x) élevée à la puissance 1. Exemple

Lire la fiche

Une équation est une balance. Tout ce qu'on fait d'un côté, on le fait de l'autre, sinon elle penche et l'égalité est perdue. Ce seul principe suffit à résoudre toutes les équations du premier degré — le reste n'est que de l'organisation.

1Résoudre, c'est isoler

Définition

solution d'une équation — Une solution est un nombre qui rend l'égalité vraie quand on le met à la place de $x$ . Résoudre, c'est trouver toutes les solutions — souvent une seule au premier degré, parfois aucune, parfois une infinité.

Deux gestes seulement : enlever les constantes, puis diviser par le coefficient.

La résolution algébrique de $ax + b = c$

Retirer $b$ des deux côtés pour isoler le terme en $x$ .
Diviser les deux côtés par $a$ , le coefficient de $x$ .diviser par $a$ n'est légitime que si $a \neq = 0$ — sinon il n'y a plus d'inconnue.
Vérifier en remplaçant $x$ par la valeur trouvée dans l'équation de départ, pas dans une ligne intermédiaire.

On dit résolution algébrique parce qu'elle procède par calcul, et qu'elle donne la valeur exacte. Une équation se résout aussi graphiquement — en traçant les deux membres comme deux fonctions et en lisant l'abscisse du point d'intersection — mais la lecture d'un graphique ne donne jamais qu'une valeur approchée. Le graphique contrôle ; l'algèbre décide.

Exemple

Résoudre $5 x - 7 = 2 x + 8$ .

On rassemble les $x$ à gauche en retirant $2 x$ des deux côtés : $3 x - 7 = 8$
On ajoute 7 des deux côtés : $3 x = 15$
On divise par 3 : $15/3 = 5$
Vérification dans l'équation de départ : à gauche $5 \times 5 - 7 = 18$ , à droite $2 \times 5 + 8 = 18$ . $5 \times 5 - 7 = 18$

x = 5

Piège

Oublier de changer le signe quand un terme change de côté.

Pourquoi — « faire passer de l'autre côté » n'est pas une opération : c'est un raccourci qui cache l'addition ou la soustraction réellement faite. Quand on ne voit plus l'opération, on ne voit plus le signe.

Le réflexe — écrire l'opération dans la marge — « $- 2 x$ des deux côtés » — au moins jusqu'à ce que le geste soit automatique.

2Les inéquations, et le piège du signe

Règle

Une inéquation se résout comme une équation, sauf sur un point : multiplier ou diviser les deux côtés par un nombre négatif renverse le sens de l'inégalité.

- 2 x < 6 ⟺ x > - 3

Cercle ouvert pour une inégalité stricte, plein quand la borne est incluse.

Piège

Résoudre $- 3 x > 12$ en écrivant $x > - 4$ .

Pourquoi — diviser par $- 3$ renverse l'inégalité. La bonne réponse est $x < - 4$ , et l'oubli du renversement donne l'ensemble exactement opposé — la pire erreur possible, puisqu'elle a l'air d'une réponse.

Le réflexe — tester une valeur. Pour $x = 0$ : $- 3 \times 0 = 0$ , qui n'est pas supérieur à 12. Zéro n'est donc pas solution, ce qui exclut $x > - 4$ .

Une équation peut n'avoir aucune solution — $2 x + 1 = 2 x + 5$ donne $1 = 5$ , ce qui est faux quel que soit $x$ — ou en avoir une infinité — $2 (x + 3) = 2 x + 6$ donne $6 = 6$ , vrai pour tout $x$ . Ces deux cas se reconnaissent au moment où l'inconnue disparaît.

3Mettre un problème en équation

Du texte à l'équation, en quatre temps

Nommer l'inconnue avec son unité : « soit $x$ la largeur, en cm ». Une lettre sans phrase ne vaut rien.c'est la seule étape que le correcteur peut vérifier sans refaire le calcul, et elle est notée à part.
Exprimer les autres grandeurs en fonction de $x$ — la longueur devient $x + 7$ , le second nombre $30 - x$ .
Traduire la phrase qui contient une égalité : « le périmètre est de 46 cm » donne le signe $=$ .
Répondre par une phrase. « $x = 8$ » n'est pas une réponse : « la largeur mesure 8 cm » en est une.

Le choix de l'inconnue n'est pas imposé : on peut prendre la longueur plutôt que la largeur. Une équation différente mènera au même couple de dimensions — mais l'une des deux est presque toujours plus simple à écrire. Prendre la plus petite grandeur évite les soustractions.

▢Ai-je écrit l'opération faite des deux côtés, plutôt que « je fais passer » ?
▢Ai-je renversé l'inégalité si j'ai divisé par un nombre négatif ?
▢Ai-je vérifié dans l'énoncé de départ ?
▢Ai-je répondu par une phrase, avec l'unité ?

L'essentiel en 6 points

·Une équation est une balance : ce qu'on fait d'un côté, on le fait de l'autre.
·Ne jamais dire « faire passer » : dire l'opération, et le signe suivra.
·Vérifier dans l'équation de départ, jamais dans une ligne intermédiaire.
·Diviser une inéquation par un négatif renverse le sens de l'inégalité.
·Cercle ouvert pour $<$ et $>$ , plein pour $⩽$ et $⩾$ .
·Si l'inconnue disparaît : soit aucune solution, soit une infinité.

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Au sommaire du cours

1. Résoudre, c'est isoler
2. Les inéquations, et le piège du signe
3. Mettre un problème en équation

Conforme au programme officiel · version 2026.1.

Exercices corrigés

Résoudre et vérifier

Calculer

a. $4 x + 9 = 25$
b. $7 x - 3 = 4 x + 12$
c. $5 (x - 2) = 3 x + 4$

›Voir le corrigé

a. On retire 9, puis on divise par 4 : $4 x = 16$
Donc $x = 4$ . Vérification : $4 \times 4 + 9 = 25$
b. On retire $4 x$ et on ajoute 3 : $3 x = 15$
Donc $x = 5$ . Vérification à gauche $7 \times 5 - 3 = 32$ , à droite $4 \times 5 + 12 = 32$ . $7 \times 5 - 3 = 32$
c. On développe d'abord : $5 x - 10 = 3 x + 4$ , donc $2 x = 14$ et $x = 7$ . $5 \times 7 - 10 = 25$

Résoudre les inéquations et représenter les solutions

Raisonner

a. $3 x + 4 ⩽ 19$
b. $- 2 x > 10$
c. $5 - x ⩾ 2 x - 4$

›Voir le corrigé

a. On retire 4 puis on divise par 3, qui est positif : le sens ne change pas. $3 x ⩽ 15$
Donc $x ⩽ 5$ , cercle plein en 5 et hachures vers la gauche.
b. On divise par $- 2$ , donc on renverse : $10/ (- 2) = - 5$
Donc $x < - 5$ , cercle ouvert. Contrôle avec $x = 0$ : $0 > 10$ est faux, zéro n'est bien pas solution.
c. On ajoute $x$ et 4 des deux côtés : $9 ⩾ 3 x$ , donc $x ⩽ 3$ .

Mettre en équation, puis résoudre

Modéliser

a.Le périmètre d'un rectangle est 46 cm. Sa longueur dépasse sa largeur de 7 cm. Quelles sont ses dimensions ?

›Voir le corrigé

Choix de l'inconnue. Soit $x$ la largeur en cm. La longueur vaut alors $x + 7$ .
Mise en équation. Le périmètre vaut deux fois la somme des deux dimensions : $2 (x + x + 7) = 46$
On divise par 2, puis on retire 7 : $2 x = 16$
Donc $x = 8$ : la largeur mesure 8 cm et la longueur 15 cm. $8 + 7 = 15$
Vérification. Le périmètre vaut bien 46 cm. $2 \times (8 + 15) = 46$
Nommer l'inconnue en toutes lettres — « soit $x$ la largeur en cm » — rapporte des points à part entière.

Combien de solutions ?

Raisonner

a. $3 x + 5 = 3 x - 2$
b. $4 (x + 1) = 4 x + 4$
c. $6 x - 1 = 2 x + 11$

›Voir le corrigé

a. En retirant $3 x$ , il reste $5 = - 2$ : c'est faux. Aucune solution.
b. En développant, $4 x + 4 = 4 x + 4$ , donc $0 = 0$ : vrai quel que soit $x$ . Une infinité de solutions.
c. En retirant $2 x$ et en ajoutant 1 : $4 x = 12$
Donc $x = 3$ , une seule solution. Les trois cas possibles se reconnaissent au moment où l'inconnue disparaît — ou ne disparaît pas.

Un problème de choix

Modéliser

a.Un club de sport propose deux formules. A : 60 € d'inscription puis 4 € la séance. B : 10 € la séance, sans inscription. À partir de combien de séances la formule A devient-elle plus avantageuse ?

›Voir le corrigé

Soit $n$ le nombre de séances. La formule A coûte $4 n + 60$ , la formule B coûte $10 n$ .
A est plus avantageuse quand son coût est strictement inférieur : $4 n + 60 < 10 n$
On retire $4 n$ des deux côtés, puis on divise par 6 : $60/6 = 10$
Donc $n > 10$ : à partir de 11 séances, la formule A revient moins cher.
Contrôle à la charnière : pour 10 séances, A coûte 100 € et B coûte 100 € — exactement le même prix, ce qui confirme le basculement juste après.

Trouver l'erreur

Raisonner

a.« $- 4 x > 8$ donc $x > - 2$ »
b.« $2 x + 6 = 14$ donc $2 x = 20$ »

›Voir le corrigé

a. La division par $- 4$ renverse le sens : la bonne réponse est $x < - 2$ .
Preuve par un exemple : $x = 0$ donnerait $0 > 8$ , ce qui est faux — zéro n'est donc pas solution, alors que l'énoncé fautif l'inclut.
b. On a ajouté 6 à droite au lieu de le retirer. Il fallait : $14 - 6 = 8$
Donc $2 x = 8$ et $x = 4$ . C'est l'erreur de signe la plus fréquente du chapitre, et elle vient du raccourci « faire passer de l'autre côté ».

Ce qui rapporte des points, ce qui en coûte

Effectuer la même opération des deux côtés2 ptsPerdu si : Changer un terme de côté sans changer son signe
Renverser l'inégalité en divisant par un négatif2 ptsPerdu si : Donner l'ensemble exactement opposé au bon
Nommer l'inconnue avec son unité avant de mettre en équation2 ptsPerdu si : Écrire une équation sans dire ce que $x$ représente
Vérifier la solution dans l'énoncé de départ1 ptPerdu si : Rendre une solution fausse qu'un contrôle aurait attrapée
Conclure par une phrase répondant à la question posée1 ptPerdu si : S'arrêter à « $x = 8$ » sans dire ce que 8 désigne

La méthode

Résoudre une équation ou une inéquation du premier degré

1
Développer et réduire chaque membre séparément.
2
Rassembler les termes en x d'un côté en écrivant dans la marge l'opération faite des deux côtés.
3
Diviser les deux membres par le coefficient de x pour isoler l'inconnue.
4
Renverser le sens de l'inégalité si ce coefficient est négatif, dans le cas d'une inéquation.
5
Vérifier la solution dans l'équation de départ, jamais dans une ligne intermédiaire.

Se tester

Touches 1 à 4

Mathématiques4ème

Question 1

Résoudre l'équation suivante et indiquer la valeur de

x

5x - 12 = 23

Aucun compte requis — réponds, la correction s'affiche aussitôt.

Signaler une erreur

Se tester en conditions de contrôle

4 contrôles sur ce chapitre, chacun avec sa durée, son barème sur vingt et un corrigé qui explique chaque réponse. Trois niveaux — Essentiel, Standard, Approfondi — se complètent sans reposer une question : on commence par celui qui correspond, et la note dit lequel faire ensuite.

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Questions fréquentes

Équations et inéquations du premier degré : c'est en quelle classe ?

Ce chapitre est au programme de Mathématiques au collège, en classe de 4ème. Il est défini par le Bulletin Officiel de l'Éducation nationale, le texte de référence qui fixe ce qui doit être enseigné dans chaque matière.

Que faut-il savoir sur Équations et inéquations du premier degré ?

Résolution algébrique d'équations ax + b = c. Vérification. Inéquations : résolution, représentation sur droite graduée. Mise en équation de problèmes concrets. Les notions à maîtriser sont : équation, inéquation, résolution, vérification, solution, ensemble de solutions.

Où télécharger la fiche PDF de Équations et inéquations du premier degré ?

Sur cette page, dans le bloc « Imprimer » : 3 documents à télécharger — le cours, les exercices et le corrigé — soit 6 pages au format A4, prêtes à imprimer. Le téléchargement est gratuit, immédiat, et ne demande ni compte ni adresse e-mail.

Le corrigé de Équations et inéquations du premier degré est-il fourni ?

Oui, et c'est un document à part : chaque exercice y est repris étape par étape, avec le barème détaillé en fin de fiche — ce qui est attendu, combien de points, et ce qui fait perdre le point. Un parent qui ne se souvient plus du programme peut corriger une copie avec.

Comment réviser Équations et inéquations du premier degré efficacement ?

Commence par lire la fiche de révision pour remettre la règle en place, puis enchaîne immédiatement sur le quiz de cette page. Répondre juste après avoir lu ne suffit pas : reviens sur le chapitre deux ou trois jours plus tard. C'est l'espacement des révisions, plus que leur durée, qui fait tenir une notion en mémoire. Une session de quinze minutes répétée vaut mieux qu'une heure unique.

Faut-il un compte pour s'entraîner sur Équations et inéquations du premier degré ?

Non. Les quiz, les corrections détaillées et les fiches de révision sont accessibles sans créer de compte et sans donner d'adresse e-mail. Le compte gratuit sert uniquement à conserver la progression d'un appareil à l'autre.

Cahier de vacances

Ce chapitre se révise aussi pendant les vacances, dans un livret à imprimer avec son corrigé.

vacances de la Toussaint

Cahier de vacances de la Toussaint — maths 4e

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