Fiche à trous · 4ème · Mathématiques

Introduction aux fonctions

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Une fonction est une machine : on entre un nombre, il en sort exactement un autre. Toute la nouveauté du chapitre tient dans ce mot exactement — et dans le vocabulaire qui permet de dire lequel entre et lequel sort. Confondre image et antécédent coûte plus de points que n'importe quel calcul.

Image et antécédent

Définition — image et antécédent :

Calculer une image, chercher un antécédent

Fonctions linéaires et affines

Définition — linéaire et affine :

Propriété

Le sens de variation se lit directement sur $a$ : si $a > 0$ la fonction est croissante, si $a < 0$ elle est décroissante, et si $a = 0$ elle est constante. Aucun calcul n'est nécessaire — c'est l'un des rares endroits du programme où le signe d'un nombre donne toute la réponse.

Piège

Répondre « 3 » à la question « quelle est l'image de 3 par $f$ ? »

relire la phrase en remplaçant par la machine : « ce qui sort quand j'entre 3 ». Ce qui entre est l'antécédent, ce qui sort est l'image.

Du tableau au graphique

Tracer une fonction affine en deux points

Exemple

Tracer $f (x) = - \frac{1}{2} x + 3$ et lire l'antécédent de 0.

Résultat :

Une lecture graphique donne un ordre de grandeur, jamais une valeur exacte : sur une copie, elle s'annonce comme telle — « environ 6 » — et se confirme par le calcul quand l'énoncé le permet. Écrire un résultat exact lu sur un dessin est une affirmation qu'on ne peut pas soutenir.

Image ou antécédent ? Ce qui entre est l'antécédent, ce qui sort est l'image.
Pour un antécédent, ai-je bien posé et résolu une équation ?
$a > 0$ croissante, $a < 0$ décroissante — ai-je regardé le signe avant de calculer ?
Ai-je vérifié qu'un point du graphique satisfait bien mon expression de $f$ ?

Corrigé · à détacher

Introduction aux fonctions

1. Si $f (3) = 7$ , alors 7 est l'image de 3, et 3 est un antécédent de 7. L'image se calcule, l'antécédent se cherche. Un nombre a toujours une seule image, mais peut avoir plusieurs antécédents — ou aucun.
2. $f : x ⟼ f (x)$
3. L’antécédent entre, l’image sort. L’ordre du vocabulaire suit celui de la flèche.
4. Une image se calcule : on remplace $x$ par le nombre donné et on effectue.
5. Un antécédent se cherche : on écrit $f (x) =$ la valeur voulue, et on résout l'équation.
6. Vérifier en refaisant le chemin dans l'autre sens : l'antécédent trouvé doit bien redonner l'image de départ.
7. Une fonction linéaire s'écrit $f (x) = a x$ : elle traduit une situation de proportionnalité, et sa représentation passe par l'origine. Une fonction affine s'écrit $f (x) = a x + b$ : c'est une linéaire décalée de $b$ . Toute linéaire est affine ; l'inverse est faux, sauf si $b = 0$ .
8. $a$ mesure la pente, $b$ dit où la droite coupe l’axe vertical.
9. La représentation graphique d'une fonction affine est une droite. Le coefficient directeur $a$ se lit comme le déplacement vertical pour un déplacement horizontal de 1 ; l'ordonnée à l'origine $b$ est la valeur de $f (0)$ .
10. $a = \frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}}$
11. Calculer deux images seulement — souvent $f (0)$ et $f (1)$ , ou deux valeurs qui tombent juste.
12. Placer les deux points, tracer, puis prolonger de part et d'autre : une fonction affine ne s'arrête pas aux points calculés.
13. Contrôler avec un troisième point. S'il n'est pas aligné, c'est un calcul qui est faux, pas la règle.
14. Deux valeurs commodes :
15. Et pour $x = 4$ , choisi parce qu'il tombe juste :
16. La droite passe par $(0; 3)$ et $(4; 1)$ . Elle coupe l'axe horizontal en $x = 6$ , ce qu'on confirme par le calcul :
17. l'antécédent de 0 est 6, lu puis vérifié