Fiche à trous · 4ème · Mathématiques

Probabilités — Calcul et arbres

Complétez de mémoire, puis vérifiez avec la page de corrigé.

Une probabilité n'annonce rien sur la prochaine partie. Elle dit ce qui arrive sur un très grand nombre d'essais — et c'est précisément pour cela qu'elle est utile : le hasard d'une fois est imprévisible, celui de dix mille fois ne l'est plus.

Ce qu'une probabilité mesure

Définition — probabilité :

Règle

La loi des grands nombres est ce qui relie la théorie à l'expérience : plus on répète, plus la fréquence observée se rapproche de la probabilité. Cent lancers d'une pièce ne donnent presque jamais 50 piles exactement, mais dix mille lancers donnent une proportion très proche de 0,5. C'est une convergence, pas une compensation.

Piège

Croire qu'après cinq « pile » d'affilée, « face » devient plus probable.

se demander ce que la pièce sait de ce qui précède. La réponse est : rien.

L'arbre : les expériences composées

Définition — expérience composée :

Construire l'arbre d'une expérience composée

Lire un arbre

Exemple

Une urne contient 3 boules rouges et 7 bleues. On tire deux fois avec remise. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement une rouge ?

Résultat :

Avec remise, les deux tirages sont indépendants et les probabilités du second niveau sont les mêmes qu'au premier. Sans remise, elles changent — l'urne n'a plus le même contenu. Repérer ce mot dans l'énoncé décide de tout l'arbre.

Exemple

On lance une pièce équilibrée, puis un dé équilibré à six faces. Quelle est la probabilité d'obtenir « pile » et un nombre pair ?

Résultat :

Piège

Additionner les probabilités le long d'un chemin de l'arbre.

le long d'un chemin, on multiplie — et le résultat est toujours plus petit que chacune des probabilités du chemin. Un produit qui grandit est une erreur.

Événements incompatibles

Définition — événements incompatibles :

Exemple

On lance un dé équilibré. Les événements $A$ « obtenir 1 ou 2 » et $B$ « obtenir 6 » sont-ils incompatibles ? Et $C$ « obtenir un nombre pair » et $D$ « obtenir un multiple de 3 » ?

Résultat :

Piège

Additionner les probabilités de « obtenir un nombre pair » et « obtenir un multiple de 3 » sur un dé.

avant d'additionner, chercher un cas qui appartient aux deux événements. S'il en existe un, l'addition directe est interdite.

Mon résultat est-il bien entre 0 et 1 ?
L'énoncé dit-il « avec » ou « sans remise » ? Je l'ai souligné ?
Ai-je multiplié le long des branches et additionné entre elles ?
La somme de toutes les issues de mon arbre vaut-elle 1 ?
Avant d'additionner deux événements : peuvent-ils vraiment se produire ensemble ?

Corrigé · à détacher

Probabilités — Calcul et arbres

1. Un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure la chance qu'un événement se produise. Dans une situation d'équiprobabilité, on compte : nombre de cas favorables divisé par nombre de cas possibles. $P = 0$ signifie impossible, $P = 1$ certain.
2. $P (A) = \frac{cas favorables}{cas possibles}$
3. La probabilité de l'événement contraire complète à 1. C'est souvent le chemin le plus court : « au moins un » se calcule presque toujours par son contraire, « aucun ».
4. $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$
5. Un résultat hors de cette échelle est forcément une erreur de calcul.
6. Une expérience composée enchaîne deux expériences aléatoires ou davantage : deux tirages successifs, un lancer suivi d'un autre, une roue puis un dé. L'arbre en est la représentation : chaque niveau de branches est une expérience, et chaque chemin complet, de la racine à une extrémité, est une issue de l'expérience composée.
7. La somme des quatre issues vaut 1 : c’est le contrôle qui attrape toutes les erreurs.
8. Un niveau par expérience : les branches du premier niveau sont les issues de la première expérience, celles du second niveau les issues de la seconde.
9. Écrire la probabilité sur chaque branche, jamais sur les nœuds. À chaque nœud, la somme des branches qui en partent vaut 1 — c'est le premier contrôle.
10. Multiplier le long d'un chemin pour obtenir la probabilité d'une issue composée.
11. Additionner entre chemins quand plusieurs issues conviennent — et vérifier que la somme de tous les chemins vaut 1.
12. Le long d'une branche, on multiplie : la probabilité d'un chemin est le produit de ses étapes.
13. Entre plusieurs branches, on additionne : un événement qui se réalise de plusieurs façons cumule leurs probabilités.
14. Contrôler que la somme de toutes les issues vaut 1.
15. Deux chemins conviennent : rouge puis bleue, ou bleue puis rouge.
16. Chacun vaut :
17. On additionne les deux :
18. P = 0,42
19. Deux expériences à la suite : c'est une expérience composée, et l'arbre a deux niveaux — deux branches, puis six.
20. La pièce.
21. Le dé : trois faces paires sur six.
22. On multiplie le long du chemin.
23. Contrôle : les quatre chemins — pile/pair, pile/impair, face/pair, face/impair — valent chacun $\frac{1}{4}$ , et leur somme vaut 1.
24. la probabilité vaut $\frac{1}{4}$ , soit 0,25
25. Deux événements sont incompatibles quand ils ne peuvent pas se produire en même temps : « obtenir un 2 » et « obtenir un 5 » sur un même lancer. Dans ce cas seulement, les probabilités s'additionnent directement.
26. $P (A ou B) = P (A) + P (B) si A et B sont incompatibles$
27. $A$ et $B$ n'ont aucune issue commune : ils sont incompatibles. On peut donc additionner leurs probabilités.
28. $C$ contient 2, 4, 6 ; $D$ contient 3 et 6. Le 6 appartient aux deux : ils ne sont pas incompatibles.
29. Additionner donnerait $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$ , alors que les issues favorables sont 2, 3, 4 et 6 — quatre issues.
30. on n'additionne que si les deux événements ne peuvent pas se produire ensemble