Probabilités — Calcul et arbres

probabilité — Un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure la chance qu'un événement se produise. Dans une situation d'équiprobabilité, on compte : nombre de cas favorables divisé par nombre de cas possibles. $P=0$ signifie impossible, $P=1$ certain.

La probabilité de l'événement contraire complète à 1. C'est souvent le chemin le plus court : « au moins un » se calcule presque toujours par son contraire, « aucun ».

expérience composée — Une expérience composée enchaîne deux expériences aléatoires ou davantage : deux tirages successifs, un lancer suivi d'un autre, une roue puis un dé. L'arbre en est la représentation : chaque niveau de branches est une expérience, et chaque chemin complet, de la racine à une extrémité, est une issue de l'expérience composée.

Construire l'arbre d'une expérience composée

1. Un niveau par expérience : les branches du premier niveau sont les issues de la première expérience, celles du second niveau les issues de la seconde.
2. Écrire la probabilité sur chaque branche, jamais sur les nœuds. À chaque nœud, la somme des branches qui en partent vaut 1 — c'est le premier contrôle.
3. Multiplier le long d'un chemin pour obtenir la probabilité d'une issue composée.on multiplie parce que les deux conditions doivent être remplies toutes les deux.
4. Additionner entre chemins quand plusieurs issues conviennent — et vérifier que la somme de tous les chemins vaut 1.

Lire un arbre

1. Le long d'une branche, on multiplie : la probabilité d'un chemin est le produit de ses étapes.
2. Entre plusieurs branches, on additionne : un événement qui se réalise de plusieurs façons cumule leurs probabilités.
3. Contrôler que la somme de toutes les issues vaut 1.c'est gratuit et cela attrape la quasi-totalité des erreurs de recopie ou de multiplication.

Une urne contient 3 boules rouges et 7 bleues. On tire deux fois avec remise. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement une rouge ?

1. Deux chemins conviennent : rouge puis bleue, ou bleue puis rouge.
2. Chacun vaut :$0,3\times 0,7=0,21$
3. On additionne les deux :$0,21+0,21=0,42$

P = 0,42

On lance une pièce équilibrée, puis un dé équilibré à six faces. Quelle est la probabilité d'obtenir « pile » et un nombre pair ?

1. Deux expériences à la suite : c'est une expérience composée, et l'arbre a deux niveaux — deux branches, puis six.
2. La pièce.$P(\text{pile})=\frac{1}{2}$
3. Le dé : trois faces paires sur six.$P(\text{pair})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
4. On multiplie le long du chemin.$\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
5. Contrôle : les quatre chemins — pile/pair, pile/impair, face/pair, face/impair — valent chacun $\frac{1}{4}$, et leur somme vaut 1.$4\times \frac{1}{4}=1$

la probabilité vaut $\frac{1}{4}$, soit 0,25

événements incompatibles — Deux événements sont incompatibles quand ils ne peuvent pas se produire en même temps : « obtenir un 2 » et « obtenir un 5 » sur un même lancer. Dans ce cas seulement, les probabilités s'additionnent directement.

On lance un dé équilibré. Les événements $A$ « obtenir 1 ou 2 » et $B$ « obtenir 6 » sont-ils incompatibles ? Et $C$ « obtenir un nombre pair » et $D$ « obtenir un multiple de 3 » ?

1. $A$ et $B$ n'ont aucune issue commune : ils sont incompatibles. On peut donc additionner leurs probabilités.$P(A\text{ ou }B)=\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}$
2. $C$ contient 2, 4, 6 ; $D$ contient 3 et 6. Le 6 appartient aux deux : ils ne sont pas incompatibles.
3. Additionner donnerait $\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$, alors que les issues favorables sont 2, 3, 4 et 6 — quatre issues.$P(C\text{ ou }D)=\frac{4}{6}$le 6, compté deux fois dans l'addition, explique exactement l'écart d'un sixième.

on n'additionne que si les deux événements ne peuvent pas se produire ensemble