Fiche à trous · 4ème · Mathématiques

Théorème de Pythagore — Applications et réciproque

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Mesurer une longueur suppose d'ordinaire de pouvoir l'atteindre. Le théorème de Pythagore est le premier outil qui s'en affranchit : il permet de calculer une longueur qu'on ne peut pas mesurer — la hauteur d'un mur, la largeur d'une rivière, la diagonale d'un terrain — à partir de deux longueurs connues. Il ne fonctionne que dans un triangle rectangle, et c'est sa seule limite.

Le vocabulaire du triangle rectangle

Définition — hypoténuse :

Le théorème

Propriété

La démonstration par les aires

Exemple

Le mot « carré » n'est pas une image : il s'agit de l'aire d'un carré. Sur un triangle de côtés 3 et 4, construis un carré sur chaque côté.

Résultat :

10.

Voilà pourquoi on élève les longueurs au carré au lieu de les additionner : ce sont des aires que l'on additionne, pas des longueurs. La relation était connue des Babyloniens près de mille ans avant Pythagore.

Ce raisonnement est une démonstration : il ne vérifie pas le théorème sur un triangle, il l'établit sur tous. Un exemple qui marche ne prouve rien — mille exemples non plus. Une démonstration part de ce qui est déjà admis (ici, le calcul d'une aire) et conduit à la conclusion sans jamais la supposer. C'est le geste que la 4^e demande pour la première fois, et il vaut bien plus qu'un résultat juste.

Les deux façons de s'en servir

Méthode A — chercher l'hypoténuse

Méthode B — chercher un côté manquant de l'angle droit

Piège

On soustrait les carrés, jamais les longueurs : avec une hypoténuse de 13 et un côté de 5, écrire 13 − 5 = 8 est faux.

repérer l'angle droit avant d'écrire quoi que ce soit. Le côté opposé est l'hypoténuse, et il reste seul de son côté du signe égal.

Définition — triplet pythagoricien :

Applications géométriques

Le théorème ne sert presque jamais sur un triangle rectangle donné tel quel. Il sert dès qu'une figure contient un angle droit — et la plupart en contiennent un : rectangle, carré, losange, triangle isocèle coupé par sa hauteur. Le travail consiste à le trouver.

Exemple

Quelle est la longueur de la diagonale d'un rectangle de 8 cm sur 6 cm ?

Résultat :

23.

Exemple

Quelle est la hauteur d'un triangle équilatéral de 6 cm de côté ?

Résultat :

Piège

Arrondir dès la première ligne, puis continuer le problème avec la valeur arrondie.

garder $27$ dans tous les calculs et n'arrondir qu'à la toute dernière ligne, à la précision demandée par l'énoncé.

La réciproque : démontrer qu'un angle est droit

Règle

Exemple

Avec $A B = 6$ cm, $A C = 8$ cm et $B C = 10$ cm, les deux calculs se mènent séparément, puis on compare.

Résultat :

Exemple

Avec $A B = 4$ cm, $A C = 5$ cm et $B C = 6$ cm, le même travail donne l'inverse.

Résultat :

Écrire d'emblée l'égalité reviendrait à supposer vrai ce qu'on cherche à établir. En 3^e, la trigonométrie prendra le relais dès qu'un angle est en jeu ; Pythagore ne fait jamais intervenir que des longueurs.

Ai-je justifié que le triangle est rectangle, avant d'écrire quoi que ce soit ?
L'hypoténuse est-elle bien seule d'un côté du signe égal ? C'est elle, et elle seule, qui est le plus grand côté.
Je cherche l'hypoténuse → j'additionne. Je cherche un côté de l'angle droit → je soustrais.
Ai-je pris la racine carrée à la fin, ou me suis-je arrêté au carré ?
N'ai-je arrondi qu'à la dernière ligne, à la précision demandée ?
Ma conclusion est-elle une phrase, avec l'unité ?

Corrigé · à détacher

Théorème de Pythagore — Applications et réciproque

1. Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. Les deux autres sont les côtés de l'angle droit. L'hypoténuse est toujours le plus long des trois : si un côté n'est pas le plus long, ce n'est pas l'hypoténuse.
2. Rectangle en A — l'hypoténuse est [BC].
3. Si le triangle $A B C$ est rectangle en $A$ , alors :
4. $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$
5. Carré sur le premier côté
6. Carré sur le second côté
7. Carré sur l'hypoténuse
8. Et en effet
9. l'aire du grand carré est la somme des aires des deux petits
10. 9 + 16 = 25 — l'égalité est une égalité d'aires.
11. Je repère l'angle droit : $A B C$ est rectangle en $A$ , avec $A B = 3$ cm et $A C = 4$ cm. L'hypoténuse est $[B C]$ , et c'est elle que je cherche.
12. J'écris le théorème.
13. Je n'ai que le carré : je prends la racine.
14. $A B C$ est rectangle en $A$ , avec $B C = 13$ cm et $A B = 5$ cm. Ici $B C$ est l'hypoténuse : c'est une donnée, pas l'inconnue.
15. J'écris le théorème dans le même sens.
16. J'isole l'inconnue.
17. Je prends la racine.
18. Trois entiers $(a; b; c)$ tels que $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ forment un triplet pythagoricien : (3 ; 4 ; 5), (5 ; 12 ; 13), (8 ; 15 ; 17), (7 ; 24 ; 25). Les reconnaître fait gagner un temps considérable — et tout multiple d'un triplet en est un aussi, puisque multiplier les trois côtés par 2 multiplie les trois carrés par 4.
19. La diagonale coupe le rectangle en deux triangles rectangles : les côtés du rectangle sont les côtés de l'angle droit, la diagonale est l'hypoténuse.
20. J'applique le théorème.
21. Je prends la racine.
22. la diagonale mesure 10 cm
23. Deux figures sans triangle rectangle apparent — et un angle droit dans chacune.
24. La hauteur d'un triangle équilatéral tombe au milieu du côté opposé : elle crée deux triangles rectangles de côtés 3 et $h$ , d'hypoténuse 6.
25. Ici l'inconnue est un côté de l'angle droit : je soustrais.
26. La racine de 27 n'est pas entière — on garde la valeur exacte, puis on arrondit.
27. la hauteur mesure environ 5,20 cm
28. Dans un triangle $A B C$ où $[B C]$ est le plus grand côté, si $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ , alors le triangle est rectangle en $A$ .
29. D'un côté
30. De l'autre
31. les deux résultats sont égaux : le triangle est rectangle en A
32. D'un côté
33. De l'autre
34. On compare
35. le triangle n'est pas rectangle