Programme en vigueur — arrêté du 9 novembre 2015, applicable en 4ème depuis la rentrée 2016. Voir le texte
Théorème de Pythagore : a² + b² = c² dans un triangle rectangle. Calcul d'un côté manquant. Racine carrée. Réciproque : démontrer qu'un triangle est rectangle. Triplets de Pythagore (3-4-5, 5-12-13). Applications géométriques.
La règle d'or
Chercher l'hypoténuse, c'est additionner les carrés ; chercher un côté de l'angle droit, c'est les soustraire, et jamais soustraire les longueurs.
L'erreur que tout le monde fait
Avec une hypoténuse de 13 et un côté de 5, écrire que le troisième côté vaut 13 - 5, soit 8.
Ce sont les carrés que l'on soustrait, pas les longueurs. Le calcul est 169 - 25 = 144, dont la racine vaut 12. La bonne réponse est 12 et non 8 — un écart de moitié, sur une opération qui semblait juste.
Repérer l'angle droit avant d'écrire quoi que ce soit. Le côté qui lui est opposé est l'hypoténuse, et il reste seul de son côté du signe égal.
Le théorème de Pythagore en 4e : triangle rectangle et hypoténuse, preuve par les aires, calculer l'hypoténuse ou un autre côté, angles droits cachés, triplets pythagoriciens et réciproque.
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Théorème de Pythagore — Applications et réciproque 1. Définition et théorème Le théorème de Pythagore s’applique aux triangles rectangles : si un triangle est rectangle en A, al
Lire la ficheMesurer une longueur suppose d'ordinaire de pouvoir l'atteindre. Le théorème de Pythagore est le premier outil qui s'en affranchit : il permet de calculer une longueur qu'on ne peut pas mesurer — la hauteur d'un mur, la largeur d'une rivière, la diagonale d'un terrain — à partir de deux longueurs connues. Il ne fonctionne que dans un triangle rectangle, et c'est sa seule limite.
hypoténuse — Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. Les deux autres sont les côtés de l'angle droit. L'hypoténuse est toujours le plus long des trois : si un côté n'est pas le plus long, ce n'est pas l'hypoténuse.
Si le triangle est rectangle en , alors :
Le mot « carré » n'est pas une image : il s'agit de l'aire d'un carré. Sur un triangle de côtés 3 et 4, construis un carré sur chaque côté.
l'aire du grand carré est la somme des aires des deux petits
Voilà pourquoi on élève les longueurs au carré au lieu de les additionner : ce sont des aires que l'on additionne, pas des longueurs. La relation était connue des Babyloniens près de mille ans avant Pythagore.
Ce raisonnement est une démonstration : il ne vérifie pas le théorème sur un triangle, il l'établit sur tous. Un exemple qui marche ne prouve rien — mille exemples non plus. Une démonstration part de ce qui est déjà admis (ici, le calcul d'une aire) et conduit à la conclusion sans jamais la supposer. C'est le geste que la 4e demande pour la première fois, et il vaut bien plus qu'un résultat juste.
On soustrait les carrés, jamais les longueurs : avec une hypoténuse de 13 et un côté de 5, écrire 13 − 5 = 8 est faux.
Pourquoi — il faut calculer 169 − 25 = 144, puis la racine, qui vaut 12. La bonne réponse est 12, pas 8.
Le réflexe — repérer l'angle droit avant d'écrire quoi que ce soit. Le côté opposé est l'hypoténuse, et il reste seul de son côté du signe égal.
triplet pythagoricien — Trois entiers tels que forment un triplet pythagoricien : (3 ; 4 ; 5), (5 ; 12 ; 13), (8 ; 15 ; 17), (7 ; 24 ; 25). Les reconnaître fait gagner un temps considérable — et tout multiple d'un triplet en est un aussi, puisque multiplier les trois côtés par 2 multiplie les trois carrés par 4.
Le théorème ne sert presque jamais sur un triangle rectangle donné tel quel. Il sert dès qu'une figure contient un angle droit — et la plupart en contiennent un : rectangle, carré, losange, triangle isocèle coupé par sa hauteur. Le travail consiste à le trouver.
Quelle est la longueur de la diagonale d'un rectangle de 8 cm sur 6 cm ?
la diagonale mesure 10 cm
Quelle est la hauteur d'un triangle équilatéral de 6 cm de côté ?
la hauteur mesure environ 5,20 cm
Arrondir dès la première ligne, puis continuer le problème avec la valeur arrondie.
Pourquoi — chaque arrondi ajoute son erreur à la suivante. Sur un exercice en deux temps, le résultat final peut être faux à l'unité près alors que chaque étape semblait juste.
Le réflexe — garder dans tous les calculs et n'arrondir qu'à la toute dernière ligne, à la précision demandée par l'énoncé.
Dans un triangle où est le plus grand côté, si , alors le triangle est rectangle en .
Avec cm, cm et cm, les deux calculs se mènent séparément, puis on compare.
les deux résultats sont égaux : le triangle est rectangle en A
Avec cm, cm et cm, le même travail donne l'inverse.
le triangle n'est pas rectangle
Écrire d'emblée l'égalité reviendrait à supposer vrai ce qu'on cherche à établir. En 3e, la trigonométrie prendra le relais dès qu'un angle est en jeu ; Pythagore ne fait jamais intervenir que des longueurs.
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Calculer une longueur avec le théorème de Pythagore
Justifier que le triangle est rectangle avant d'écrire la moindre égalité.
Nommer hypoténuse le côté opposé à l'angle droit, qui est le plus long des trois.
Additionner les carrés pour obtenir l'hypoténuse, les soustraire pour un côté de l'angle droit.
Prendre la racine carrée du résultat, sans s'arrêter au carré.
Arrondir à la dernière ligne seulement, à la précision demandée par l'énoncé.
Un arrondi posé en cours de route ajoute son erreur à toutes les étapes suivantes.
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4 contrôles sur ce chapitre, chacun avec sa durée, son barème sur vingt et un corrigé qui explique chaque réponse. Trois niveaux — Essentiel, Standard, Approfondi — se complètent sans reposer une question : on commence par celui qui correspond, et la note dit lequel faire ensuite.
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Ce chapitre est au programme de Mathématiques au collège, en classe de 4ème. Il est défini par le Bulletin Officiel de l'Éducation nationale, le texte de référence qui fixe ce qui doit être enseigné dans chaque matière.
Théorème de Pythagore : a² + b² = c² dans un triangle rectangle. Calcul d'un côté manquant. Racine carrée. Réciproque : démontrer qu'un triangle est rectangle. Triplets de Pythagore (3-4-5, 5-12-13). Applications géométriques. Les notions à maîtriser sont : hypoténuse, côté de l'angle droit, racine carrée, triplet, démonstration, angle droit.
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